Распределение среднего арифметического случайных величин

Пусть X1…Xn… - независимые и одинаково распределенные случайные величины с мат.ожиданием m_iи дисперсией s_i². Среднее арифметическое их:

]=nm/n=n

.

При n->∞ -> 0. Среднее арифметическое можно представить: , т.е. можно рассмотреть как сумму случайных величин. Тогда

– в силу центральной предельной теоремы

Теорема Муавра-Лапласа.

Пусть Х – случайная величина, имеющая биномиальное распределение. (q=1-p; n испытаний)

Х – число успехов в n испытаниях по схеме Бернулли

Х=0…n

Введем величину

Причем P[X_i=1]=p M[Xi]=1*p+0*q=p

P[X_i=0]=qD[Xi]=M[Xi²]-p²=p-p²=p(1-p)=pq

X = X1 + … + Xn (они все независимы и имеют одинаковое распределение)

M[X] = M[X1 + … + Xn] = M[X1] + … + M[Xn] = np

D[X] = D[X1 + … + Xn] = D[X1] + … + D[Xn] = npq

Следовательно: X~N(np,npq)

Теорема Муавра-Лапласа позволяет количественно оценить разброс события А в некотором эксперименте, который может повторятся n раз в неизменных условиях. Приблизительное значение p равно значению наблюдаемой относительной частоты появления события А в n экспериментах, причем, чем больше n тем выше относительная точность этого результата.

 

 

№22. Теорема Чебышева и ее обобщение.

Если дисперсии n-независимых случайных величин (X1…Xn) ограничены одной и той же постоянной, то при неограниченном увеличении числа n среднее арифметическое случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий.

Док-во:

По условию: M(X₁)=m₁… M(X_n)=m_n

 

 

 

По первому неравенству Чебышева получаем:

поскольку P>1, то:

Вывод: при достаточно больших n выполнение рассматриваемого неравенства является событием практически достоверным, а неравенства противоположного смысла практически невозможно.

Таким образом предел по вероятности следует понимать не как категорическое отверждение, а как утверждение, вероятность которого гарантируется с вероятностью близкой к 1 (при n->∞)

Таким образом, при большом числе случайных величин практически достоверно, что их средняя случайная величина как угодна мало отличается от неслучаной – среднего математического ожидания, т.е. перестает быть случайной.

Этим заключением обоснован выбор средней арифметической в качестве меры истинного значения мат. ожидания.

Практическое значение:

Пример: Необходимо установить размер страхового взноса, с условием что он(?) сделает выплаты при наступлении страхового случая. Замечание Если все измерения проводятся с одинаковой точностью и дисперсией (D[X_i]=s²), то дисперсия их средней величины

Т.е. средний разброс случайной величины меньше разброса каждого измерения. Увеличивая число измерения можно уменьшить влияния случайных погрешностей (но не систематических)

 

№23. Асимптотическое распределение среднего арифметического независимых случайных величин и относительной частоты.