Биномиальное распределение
X=0,1,2,…n –бином-ое распредел. Pk=P[x=k]=CknPkqn-k G(z)=P0+P1z+P2z+…+Pkzk…
=∑ CknPkqn-kzk = ∑ Ckn(pz)kqn-k = (pz+q)n
G’(z)=n(pz+q)n-1p G’(1)=M[x]=np
G”(z)=n(n-1)(pz+q)n-2p2 G”(1)=n(n-1)p2
M[x]=np = ∑kPk D[x]=npq = ∑(k-np)2Pk
Распределение Пуассона
Pk=P[x=k]= (λk\k!)e-λ
G(z)= ∑(λk\k!)e-λzk=e-λ∑(λz)k\k!= e-λ ezλ= eλ(z-1)
G’(1)= eλ(z-1) λ G’(1)= λ= M[x]=m
G”(z)= eλ(z-1) λ2 G”(1)= λ2 M[x]=λ
D[x]= λ2+ λ- λ2= λ
Геометрическое распределение
X=0,1,2….
Pk=P[x=k]qkp
G(z)= ∑Pkzk=∑qkpzk=p∑(qz)k=P*1\(1-qz)=P\(1-qz)
M[x]=1\p D[x]=q\p2
№4.Теорема сложения и умножения вероятности.
P(A/B)- условная вероятность события A при условии, что соб.B произошло.
1) 
1) усл.вер-ть P(A/B) 2) усл.вер-ть P(B/A) 3) -теорема умножения для зависимых соб.А и В. Если соб.А не влияет на вер-ть соб.В и наоборот,то они независимы: P(A/B)=P(A); P(B)=P(B/A) => P(AB)=P(A)*P(B) – вер-ть произ-ния соб-й равна произ-нию вер-тей.
P(ABC)=P(H)*P(A/H)=P(BC)*P(A/BC)=P(C)*P(B/C)*P(A/BC) (ВС обозначили за Н)
Опр-е независимости для А,В и С - соб. А,В и С назыв.независимыми в совокупности,если выполн.след усл-я: 1) Если попарно независимы P(AB)=P(A)*P(B), P(BC)=P(B)*P(C), P(AC)=P(A)*P(C). 2) P(ABC)=P(A)*P(B)*P(C)
- ф-ла сложения вер-тей
Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.
№5. Формула полной вероятности и формула Байерса.
Пусть Н1,Н2…Нk подмножества пространства эл.соб-й W, такие что:
1)Hi Hj=Æ, i≠j и I,j=1,2,…,k 2)H1+H2+…+Hk = W
В этом случае говоря,что сис-ма подмножеств Н1,Н2…Нk образует разбиение множества W. Для любого соб.А,являющего подмножеством W, верна ф-ла полной вер-ти
События Hi называются гипотезами по отношению к соб.А,а вер-ти Р (Hi) трактуются как доопытные вер-ти гипотез, причем å Р (Hi)=1.
Формула Байеса Если известно, что соб.А произошло, то апостериорные вер-ти гипотез Hi,очевидно, должны быть пересчитаны, так как появилась доп.информация. Апостериорные вер-ти гипотез Hi,при условии, что А произошло,вычисляются по ф-е Байеса: 
,i=1…k, где Р(А) определяется по ф-е полной вер-ти.
№6.Дискретные случайные величины. Ряд распределения. Числовые характеристики. Пусть (W,F,P) – дискретное вероятностное пространство. Числовая ф-ция Х=Х(W) определенная на пространстве эл.соб-й Wназывается дискретной случ.величиной. Сис-ма равенств: P[x=xi]=рi, i=1,2…n,.. определяет распределение вероятностей дискретной слу.величины Х. Очевидно,что рi≥0, å рi=1 Простейшей формой закона распределения дискретной величины является ряд распределения.
| Xi | x1 | … | хn | … |
| P(x=xi) | P1 | … | pn | … |
Графической интерпретацией ряда распределения является многоугольник распределения.
Функция распределения случайной величины. Для непрерывных случайных величин применяют такую форму закона распределения, как функция распределения. Функция распределения случайной величины Х называется ф-ция F(х), определяемая для любого действительного зн-я х,как вер-ть события [Х<х], т.е. F(х)=Р[Х<х]. Функция распределения обладает следующими свойствами: 1. 0≤F(х)≤1 2. F(x)- неубывающая ф-ция х, если х2>х1,то F(х2)>F(х1) 3. F(-∞)=0 F(+∞)=1 Функция может быть изображена в виде графика. Для непрерывной величины это будет кривая изменяющееся в пределах от 0 до 1, а для дискретной величины - ступенчатая фигура со скачками.
Числовые характеристики случайной величины.
Математическое ожидание случайной величины. Пусть Х- дискретная случ.величина, принимающая зн-я х1,х2.. с вероятностями р1,р2.. Математическое ожидание M[x] случ.величины X опередляется формулой ↓ Свойства мат.ожидания: 1. M[c]=c 2. M[c*X]=c*M[X] 3. M[c+X]=c+M[X] 4. M[X+Y]=M[X]+M[Y] мат.ожидание суммы равно сумме мат.ожиданий
Х- некая дискр.случ.вел-на. Рассмотрим h(X) – функцию от Х. Мат.ожидание функции случ.вел-ны:
Дисперсия Дисперсия (D[x]) характеризует разброс случ.величины Х относительно ее математического ожидания и вычисляется:
Дисперсия случайной величины всегда величина положительная. Среднеквадратическое отклонение.
Св-ва дисперсии: 1) D[X]≥0 2) D[c]=0 3) D[X]=0 4) D[cX]=c2D[X] 5) D[X+c]=D[X] 6) D[X+Y]=D[X]+D[Y]
Начальным моментом k-го порядка αk случайной величины X называется математическое ожидание k-ой степени случайной величины X.
k=1 α1=M[X]=m; k=2 α2=M[X2]
Центрированная случайная величина - это величина, равная X’=X-MX. Покажем, что математическое ожидание MX’ равно 0.
Центральным моментом k-го порядка μk случ.величины Х называется матем.ожидание k-ой степени отклонения Х от ее мат.ожидания m
Модой dx дискретной случайной величины, принимающей зн-я x1,x2.., называется такое зн-е случ.величины,кот.имеет наибольшую вер-ть: P[X= dx]=max P[X=xk] (при условии что xk –единств.зн-е,удовлетвор.этому условию.
Медианой hx случайной величины называется такое ее значение, для которого окажется ли случайная величина меньше этого значения. Квантиль порядка р=0,5 назыв. медианой hx случ.вел-ны Х (hx=х0,5) Для непрерывной случайной величины медиана это абсцисса точки, в которой площадь под кривой распределяется пополам.
№7.Повторение испытаний. Схема Бернулли. Биномиальное распределение. Формула Пуассона. Последовательные испытания наз-ся независимыми, если вероятность осущ-я любого исхода в n-ом по счету эксперименте не зависит от исходов предыдущих испытаний. Схема испытаний Бернулли: 1. послед-ть независимых испытаний с двумя исходами («успех» и «неуспех»); 2. эксперимент проводится n раз в неизменных усл-ях, т.е. вероятности «успеха»(p) и «неуспеха»(1-p=q) неизменны.
n-число испытаний, k-число благоприятных исходов, событие А – «успех», Х – случ.величина, обозначающая число «успехов» в n испытаниях по сх. Бернулли (Х=0,1,2,…n).
- формула Бернулли, где Cnk -число случайного размещения события А в послед-ти из n мест. Соответствующее распр-е случ.вел.Х наз-ся биномиальным распр-ем.
Свойства бином.распр-я:
1. 
;
2. 
-матем.ожидание
3. 
-дисперсия.
Приближенная формула Пуассона:
.
(-интенсивность потока):
= 
= 
;
Берем предел
№3.Классическая схема равновероятных событий.
Если W содержит конечное число эл.соб-й,например N соб-й, причем все эл.исходы равновозможны,т.е. p(wi)=1/N, i-1,2,..,N, то P(A)=|A|/|W|, где |A|-кол-во эл.исходоы,составляющих множество А, а |W|- число всех эл.исходов данного эксперимента. |W|=N Такая ф-ла назыв. классическим определением вер-ти (Если эл.исходы равновозможны, то вер-ть соб.А равна отношению числа исходов,благопритствующих соб.А, к числу всех эл.исходов)
№8.Распределение Пуассона. Физическая модель, приводящая к распределению Пуассона.
Если n достаточно велико, а p мало, то формулу Пуассона исп-ют вместо точных биномиальных формул для вероятностей k успехов в n испытаниях. При n→∞, p→0 при условии λ=np=const-интенсивность потока: 
= = 
; 
.
Случ.вел.Х наз-ся распределенной по закону Пуассона с параметром λ>0, если ее возможные значения равны 0, 1, 2….., а соответствующие вероятности определ-ся формулой 
.
; M[x]=λ,D[x]=λ
Физическая модель, приводящая к распределению Пуассона: Точка-событие, послед-ть точек – поток событий. Возьмем некот.интервал длины t. Вер-ть того, что на инт-ле t произойдет ровно n событий: Pn(t)=? 
. Простейший (Пуассоновский) поток событий, если он: Стационарный – если Pn(t) не зависит от того, где выбран интервал длины t.
Отсутствует последствие (память) - если Pn(t) не зависит, не изменяется от того, сколько событий произошло на смежных соседних интервалах. Ординарный – можно выбрать столь малый интервал ∆t, что вероятность Pn(∆t) пропорциональна длине интервала 
, а вероятность двух, трех и т.д. событий одновременно – есть величина бесконечно малая: 
Док-во: Вер-ть того, что 1 событие не произойдет: 
Рассмотрим инт-л длины (t+∆t): 
=> 
; 
, сл-но с=1, 
.
; 
,сл-но 
.Сл-но 
- вер-ть того, что на инт-ле t произойдет n событий, λ-среднее число событий,кот. происходит на 1чном инт-ле.
№10.Вероятность в непрерывных пространствах эл событий и ее св-ва. Геометрические вер-ти.
Пусть 
- непрерывное простр-во.
Алгебра событий (F) – это система подмножеств W, W={ω1,,ω2,…} кот.удовл-ет следующим свойствам: 1. ΩÎF, ÆÏF; 2. A,BÎF => A+B 
F, ABÎF, не А и не ВÎ F; 3. F 
явл-ся сигма-алгебро й, если определены операции. Для счетного числа событий.
Пусть событие А F, тогда Р(А) -вероятность, число, которое должно удовл-ть:
1.P(Ω)=1; 2.АÎВ,Р(А)≥0; 3.А∙В≠0, A+BÎF=>P(A+B)=P(A)+P(B).
=ÆÞ 
Свойства вероятностей: 1.Р(Æ)=0 -вер-ть невозможного события 2. 
3. АÌВ- если А-следствие В, то Р(А)<=Р(В). 4. P(A+B)<=P(A)+P(B) 5. непрерывности: если
А1ÌА2Ì…ÌАnÌ…,то 
;
если А1ÉА2É…ÉАnÉ…, то 
Геометрические вер-ти, Для любого подмножества А можно посчитать его площадь: Р(А)=площ.А/площ.Ω. Т.к. вер-ть пропорцион-на площади, то чем > лощадь, тем > вероятность попадания в событие. P(A)=mes(A)/mes(Ω) – мера А/мераS.
14.Мат. ожидание и дисперсия суммы случайных величин .
M[X]=mx= 
M[Y]=my= 
(M[X], M[Y])-центр распределения.Пусть X и Y - случ. вел. С конечными мат. ожиданиями. Мат. ожидание их суммы равно сумме их мат. ожиданий. M[X+Y]=
M[X]+M[Y] Пусть X и Y- взаимно независимые случ. вел с конечными мат. ожиданиями. Мат ожидание произведения XY равно произведению их мат. ожиданий. M[XY]= 
=M[X]*M[Y].
Это правило распространяется на любое конечное число взаимно независимых случ. величин. Заметим, то последнее равенство для зависимых случ. величин, вообще говоря, е выполняется. Пусть X и Y- случ. Вел с совместным распределением, задаваемым таблицей (1). Условное мат. ожидание случ. dел. X при условии, что Y принимает заданное значение Y = yj, вычисляется по формуле: M[X/Y=yj]=
Дисперсия суммы случайных величин: D[X+Y] z=X+Y => D[z]=M[(z-mz)2], а mz=mx+my
D[z]= M[((X-mx)+(Y-my))2]= M[(X-mx)2]+2 M[(X-mx)(Y-my)]+
+M[(Y-my)2]=D[X]+2cov(X,Y)+D[Y]
Таким образом: D[X±Y]=D[X]+D[Y]±2cov(X,Y) Если X и Y независимые, то cov(X,Y)=0 => D[X±Y]=D[X]+D[Y] Рассмотрим D[aX±bY]=a2D[X]+b2D[Y]±2abcov(X,Y)
№11.Непрерывные случайные величины. Случайная величина Х называется непрерывной, если для нее существует неотрицательная частично-непрерывная функция f(x), удовлетворяющая для любых значений x равенству 
(случайные величины, возможные значения которых образуют некоторый интервал). fx - плотность распределения вероятностей (плотность распр-я единичной массы на инт-ле). Св-ва: если x [a;b]: 1. f(x)>=0; 2. 
; 
; 
.
если 
: 1. f(x)>=0; 2. 
; 
- норм.распр-е.
F(x) – ф-я распределения для непрер.случ.величин, определена на всей числовой оси, ее значение в точке х равно вероятности того, что случайная величина примет значение, меньшее чем х. Свойства: 1) 0<=F(X)<=1; 2) F(-∞)=0 3) F(+∞)=1; 4) F(X)-неубыв.ф-я 5) 
:
6) f(X)=dF(X)/dx 7) - 
вер-ть попадания в [c;d].
Мат.ожидание: 
, 
, где f(x)dx=P[x<X<x+dx] – элемент вер-ти. Свойства: 1. M[cX]=cM[X] 2. M[c+X]=c+M[X] 3. M[X+Y]=M[X]+M[Y]
4. X=j(x), 
Дисперсия: 
,
Начальный момент k-го порядка - 
Центральный момент k-го порядка - 
Асимметрия - 
,где δ- ср. квадратич. отклонение
Эксцесс – 
хар-ет форму распред-я в окрестности вершины
Квантиль – абсцисса (точка на оси х), которая слева от себя отделяет площадь под графиком плотности, равную Р. F(xp)=P – порядок квантили. 1. 
; 2. F(X)=P[X<x]. Квантиль порядка 0,5 – х0,5 – для любого распр-я наз-ся медианой (h) (отделяет ½ площади под плотностью слева и справа). Если распр-е симметрично, то h совпадает с мат.ож. m.
Мода (d) – абсцисса, при кот. плотность распр-я имеет максимум: f(d)=max
№12. Нормальное распределение. Нормальное распределение N(m,s2) имеет плотность, определяемую формулой:
Функция распр-я F(х)норм.распр-я равна:
Параметры m и s2 норм. распр-я равны соответственно мат.ожиданию и дисперсии случ.вел-ны Х:
Центральные моменты норм.распр-я можно вычислить из рекуррентного ур-ния: μk+2=(k+1)s2μk, k=0,1,2,… (причем μ0=1). Для норм.распр-я все центр.моменты нечетного порядка равны 0. Коэффициент ассиметрии ax норм.распр-я равен 0. ax=μ3/s3 Из формул получаем: μ2=s2, μ4=3s4 Коэффициент эксцесса равен 0: ех= μ4/s4-3=0. Стандартизированное нормальное распределение и его свойство. Норм.распр-е с нулевым мат.ожиданием и дисперсией,равной 1, назыв.стандартным норм.распр-нием: Х~ N(0,1). Ф-ла плотности j(х) станд.норм.закона равна
, -¥<x<¥. А функция распр-я:
Так как плотность распр-я станд.норм.закона j(х) симметрична относ-но оси ординат,то для ф-ции распр-я Ф(х) справедливо след.св-во: Ф(-х)=1-Ф(х)
Зн-я функции Ф(х) использ.при вычислении вер-ти попадания норм.распр-ной случ.величины Х в заданный интервал:
В практич.задач часто приходится вычислять вер-ть попадания случайной величины Х~ N(m,s2) в интервал, симметричный отн-но ее математического ожидания m:
Используя получ.рез-тат,вычислим вер-ть отклоенения от мат.ожидания норма.распр-ной случ.вел-ны на вел-ну,равную трем средневкадратич.отклонениям, 3s: P[|X-m|<3s]=2Ф(3)-1»2*0,9987-1»0,9973 Этот результат известен как «правило трех сигм»: с вер-тью 0,9974(практически=1) зн-е нормально распределенной случ. вел-ны лежит в интервале (m-3s;m+3s) Правило трех сигм это правило часто используется для подтверждения или отбрасывания гипотезы о нормальном распределении случайной величины.
№13. Системы дискретных случайных величин.
Рассмотрим две случайные величины X и Y, определенные на одном дискретном вероятностном пр-ве (Ω,F,P). Обозначим значения, кот. принимает случ. величина Х через х1, х2, …, хn, а значения случ. величины Y через y1,y2,…,yn. Распределение вероятностей X и Y обозначим соответственно pх1, pх2, …, pхn и py1, py2, …, pyn. Вер-ть события, состоящего в том, что Х=хi и Y=yj, обозначим как P[X=xi; Y=yj]=pij. Опр Система равенств P[X=xi; Y=yj]=pij, pij>0, 
, pij=1, i=1,2,.., n, j=1,2,..,m определяет совместное распределение дискретных случайных величин X и Y или системы 2-ух дискр. случ. величин (X,Y). Распределение системы 2-ух дискр. случ. вел. (X,Y) записывают в виде таблицы распределения.
Суммируя вер-ти pij по строкам, получим рапределение случ. вел X: 
, i=1,2,.., n, суммирование вер-тей pij по столбцам дает распределение случ. вел. Y: 
, j=1,2,..,m. Аналогично определяется
распределение системы более чем 2-ух случ. вел. Условные распределения: Условная вер-ть события Х=хi при условии, что Y=yj (pyi>0) определяется формулой 
Система равенств (1) при, i=1,2,.., n задает условное распределение случ. вел. X при условии,что случ. вел Y принимает заданное значение Y= yj. Опр Определение независимости случ. величин. Пусть таблица (1) суть таблица распределения случ. вел X и Y. Случ. вел-ны X и Y наз. независимыми, если события X=xi и Y=yj независимы для всех i и j таких, что 1≤i≤n, 1≤j≤m, т.е. 
или
pij= pxi´pyj.Если X и Y независимые случ. вел., то таблица распределения имеет вид таблицы умножения. Аналогично определяется взаимная независимость более чем 2-ух случ. вел. Для независ. случ. вел. Условные вер-ти равны безусловным вер-тям P[X=xi/Y=yi]=P[X=xi], P[X=xi/Y=yi]=P[Y=yi]
Опр Случайные величины X1, X2,..,Xn определенные на одном дискретном вероятностном пр-ве наз. взаимно независимыми, если для любой комбинации значений xi1, xi2,.., xin.. 
Опр П усть случ. величины X и Yимеют конечные дисперсии. Ковариацией X и Y наз.. математическое ожидание произведения центрированных случ. величин (X-mx) и (Y-my): cov(X,Y)=M[(X-mx)(Y-my)]= M[XY]-mxM[Y]-mxM[X]+mxmy=M[XY]-mxmy 
(Центрированной случайной величиной, соответствующей величине Х, называется отклонение случайной величины Х от её математического ожидания) Св-ва cov: 1.Если X и Y независимые случ. вел, то cov(X,Y)=0, обратное же неверное, т.е. если cov(X,Y)=0, это не значит,что величины независимы.. cov(aX,bY) = abcov(X,Y), где a и b – константы 3.cov(X,Y)≤ 
Это неравенство явл. следствием неравенства Коши-Буняковского: (M[XY])2≤M[X2]*M[Y2] Док-во нер-ва: Рассмотрим очевидное неравенство M[(aX+Y)2] ≥0, где а-любое действительное число, а≠0. Преобразуем левую часть этого неравенства, используя св-ва мат. ожиданий M[(aX+Y)2]=M[a2X2+2aXY+Y2]=a2M[X2]+2aM[XY]+M[Y2]≥0 Т. К. Полученный относительно a трехчлен принимает только неотрицательные значения, то его дискриминант будет меньше или равен нулю: 4(M[XY])2-4M[X2] *M[Y2]≤0 Отсюда следует неравенство (M[XY])2≤M[X2]*M[Y2]. Заменим X на (X-mx), а Y на (Y-my), получим: (M[(X-mx)(Y-my)])2≤M[(X-mx)2]*M[(Y-my)2] или (cov(X,Y))2≤D[X]*D[Y] Механическая интерпретация.n-мерные случ. величины (x1, x2,..,xn)- n-мерный случ. вектор (x1, x2,..,xn)= 
M[ 
] =(M[x1],…, M[xn]), т.е мат. ожидание вектора равняется вектору мат. ожиданий. Cov(Xi;Yj)=M[(Xi-mxi)(Yj-myj)], j,i=1,..,n
-ковариационная матрица (симметрична) 
-корреляционная м-ца(симметрична) D[x1+x2+x3]=D[x1]+D[x2]+D[x3]+2cov(x1,x2)+2cov(x2,x3)+2cov(x1,x3)
№15.Коэффициент корреляции как характеристика статистической связи. Некоррелицированность и независимость с.в.
В качестве меры линейной зависимости между случ. величинами X и Y используют коэффициент корреляции, вычисляемый по формуле Св-ва коэфиициента корреляции: 1. 
Док-во: рассмотрим систему 2-ух случ. вел: (X,Y) Проведем нормировку (стандартизацию), т.е. M[X]= mx D[X]=σx2 Xxнормиров=(x-mx)/σx Нормированная величина – это тогда, когда M[Y]=my D[Y]= σy2 Yyнормиров= (y-my)/σy mч=0, а σx=1 Cov(Xx,Yy)=M[{(x-mx)/σx}]*M[{(y-my)/σy}]=
2. Если X и Y – незав. случ. вел, то r(Х,У)=0, причем обратное неверно 3.Если X и Y связаны линейной функциональной зависимостью: Y=aX+b, где a,b – const, a≠0,то 
Док-во: Т.к M[Y]=aM[X]+b=amx+b, то имеем cov(X,Y)=M[(X-mx)*(Y-my)]=M[(X-mx)(aX+b-amx-b)]=M[(X-mx)a(X-mx)]=aD[X] Вычислим дисперсию случ. вел. Y=aX+b D[Y]=D[aX+b]=a2D[X] Таким образом, коэффициент корреляции равен: Следовательно, r(Х,У)=1, если a>1 и r(Х,У) =-1, если a<0 Т.е коэффициент корреляции является показателем линейной зависимости, но если ρxy=0. это не значит,что между ними нет никакой связи, это значит, что нет линейной зависимости.Если коэффициент корреляции между случ. вел. X и Y равен 0, то говорят, что X и Y некоррелированны. Некоррелированность случ. вел X и Y означает только, что между ними нет линейной зависимости и не означает статистическую независимость случ. вел X и Y.
№18.Функции случайных величин. Функции дискретных случайных величин. Если каждому возможному значению случайной величины Х соответствует одно возможное значение случайной величины Y, то Y называют функцией случайной величины Х y=φ(x)
Функции непрерывных случайных величин аний. M{}
y=φ(x) – непрерывная дифференцируемая монотонная ф-ция
1.Монотонно возрастает (Лекции 13 рисунок)
{y<Y}равносильно{x<X}
{x<X}: Fx(x)=P(x<X)= - ф-ция распределения
P(y<Y)=Gy(y)-ф-ция распределения
2.Монотонно убывает (Лекции 13 рисунок)
X>x
P(y>Y)=Gy(y)
Функция плотности вероятности для функции случайной величины y=φ(x) - 
Математическое ожидание y=φ(x) 1. Пусть X- дискрет случ. вел, тогда yn= φ(xn) 
; 
2. Пусть X –непрер. Случ. Вел
Для вычисления числовых характеристик неслучайной ф-ции случайной величины не надо знать закона распределения зависящей от X случайной величины Y, а достаточно знать закон распределения случайного аргумента т. ожиданий. M{}
Пример.
X=y3
| x | -2 | -1 | |||
| P | 0.1 | 0.15 | 0.3 | 0.05 | 0.4 |
X→Y
| x | -8 | -1 | |||
| P | 0.1 | 0.15 | 0.3 | 0.05 | 0.4 |
| x | |||
| P | 0.3 | 0.2 | 0.5 |
Y=x2
№16.Системы 2-ух непрерывных случ. вел. Определение ф=ции распределения и плотности, условные распределения, зависимость и независимость случ. вел. Числовые характеристики.
Пусть на вероятностном пр-ве (Ω,F,P) заданы непрерывные случ. вел X1=X1(ω), X2=X2(ω),.., Xn=Xn(ω), ωÎΩ. Опр Совместной ф-цией распределения F(x1, x2,…, xn) случ. вел X1,X2,..,Xn наз-ся вероятность события [X1<x1;X2,x2;…;Xn<xn]: F(x1, x2,…, xn) =P [X1<x1;X2,x2;…;Xn<xn] Фукция распределения: F(X,Y)=P[X<x,Y<y] Если пользоваться геом. интерпретацией системы образом случ. точки, то ф-ция распред. есть не что иное, как вер-ть попадания случ точки (X,Y) в бесконечный квадрат с вершиной в точке (x,y), лежащий левее и ниже ее.()ки, то ф-ция распред. Е 1.Ф-ция распред. Есть неубывающая ф-ция обоих своих аргументов,т.е при x2>x1, F(x2,y)≥ F(x1,y) при y2>y1 F(x,y2) ≥F(x,y1) 2.Повсюду на -∞ ф-ция распред. равна нулю: F(x,- ∞)= F(-∞,y)= F(-∞,- ∞)=0 3. F(x,+ ∞)=F1(x1(): распред. я обоих своих аргументов,т.е), F(+∞,y)=F2(y) 4. F(+∞,+ ∞)=1 2()Неотрицательная ф-ция n переменных f(x1, x2,…, xn) наз-ся совместной плотностью распределения случ. величин X1,X2,..,Xn, если их совместная ф-ция распределения может быть представлена в виде F(x1, x2,…, xn) =Геометрически функцию f(x,y) можно изобразить некоторой поверхностью – поверхность распределения. Если пересечь поверхность распред. Плоскостью, перелелльной плоскости XOY, и спроектировать полученное сечение на плоскость XOY, получится кривая, в каждой точке которой плотность расред. постоянна. Плотность распределения имеет след. св-ва: 1. f(x1, x2,…, xn) ≥; (это ясно из того, что плотность распред. есть предел отношения двух неотриц. величин: вероятности попадания в прямоугольник и площади прямоугольника) 2. 
; (геометрически это cв-во означает,что полный объем тела, ограниченного поверхностью распределения и плоскостью XOY равен едицице.) 3.Если ф-ция определена, вектор попадет в некоторую область,тогда вер-ть определяется: P[(x1,x2,..,xn)ÎG]=
(геометрически вер-ть попадания в область G изображается объемом цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью распред и опирающегося на область G. Зная совместную плотность распределения f(x1, x2,…, xn) случ. вел X1,X2,..,Xn можно найти плотность распред. каждой случ. вел. Для двумерного вектора (X1,X2) с плотностью f(x1, x2) распределение случ. вел X1, f1(x1) равна f1(x1) = 
, а плотность распред. случ. вел. X2, f2(x2) равна f2(x2) = 
Опр Случ. величины X1,X2,..,Xn наз-ся независимыми, если для любых действительных переменных x1, x2,…, xn, F(x1, x2,…, xn) =F1(x1)* F2(x2)*…* Fn(xn), где Fi(xi)-ф-ция распред. случ. вел Xi, i=1,2..,n Равносильное определение независимости случайных величин X1,X2,..,Xn записывается так f(x1, x2,…, xn) =f1(x1)* f2(x2)*…* fn(xn), где fi(xi)-плотность распред. случ вел. Xi, i=1,2..,n f1(x)= 
f2(y)= 
X и Y независимы, если
f(X,Y) = f1(x)* f2(y) X и Y независимы, если f(X/Y)= f1(x); f(Y/X)= f2(y) Условные плотности распределения. Распределение Y, если X принимает какое-либо значение f(Y/X) Распределение X, если Y принимает какое-либо значение f(X/Y) Условная ф-ция и распределения. Распред. X, при условии Y=y
f(X/y)=f(x,y)/f2(y) f(Y/x)= f(x,y)/f1(x)
Числовые характеристики: 1. Мат ожидание: 
т. ожиданий. M{} т. ожиданий. M{}2.Дисперсия
Св-ва:
M[X+Y]=M[X]+M[Y] M[X*Y]=M[X]*M[Y], если X и Y независимые D[X+Y]]=D[X]+D[Y], если X и Y независимые
3.Ковариация
4.Коэффициент корреляции
(Св-ва ковариации билет 13, св-ва корреляции билет 15)
№17.Нормальный закон на плоскости.
Двумерное нормальное распределение –это распределение системы двух случайных величин (X,Y) с плотностью распределения f(x,y), определяемой формулой.
Плотность распределения случ. вел X, f1(x), вычисляется интегрированием f(x,y) по y:
Аналогично вычисляется плотность распред случ вел Y,f2(y):
Формула (1) показывает,что в случае двумерного нормального распределения с плотностью (1) компоненты X и Y имеют нормальное распред, причем M[X]=m1, D[X]=σ12, M[Y]= m2, D[Y]=σ22
Ковариация X и Y равна
cov(X,Y)=M[(X-m1)(Y-m2)]= = 
Отсюда следует,что параметр ρ в (1) есть коэффициент корреляции
Св-ва:
1.Если (X,Y) имеет норм. распред.:
Каждая компоненты этого распределения также имеет нормал. распределение
2. Если ρ=0 => f(x,y)= f1(x) ´ f2(x) => X и Y – независимые
3.Условная плотность распределения:
f(X/y) и f(Y/x) – нормальные плотности
Геометрически плотность f(x,y) двуменого нормального распределения (1) представляет «холмообразную» поверхность. Проекция вершины холма на плоскость xOy имеет координаты (m1, m2) Эта точка называется центром рассеивания.
Сечение поверхности Z=f(x,y) плоскостями, параллельными плоскости xOy, есть кривые, определяемые ур-нием:
, где λ – const. Проекциями этих кривых на плоскость xOyбудут эллипсы. Т.к. плотность f(x,y) имеет на этих кривых постоянное значение, то соответствующие эллипмсы наз. э ллипсами равных вероятностей
Эллипсы равных вероятностей имеют общий центр – центр рассеивания с координатами(m1, m2) и общие оси симметрии (они наз главными осями ξ и η)
№19. Функции нескольких случайных величин. Вычисление мат ожиданий и дисперсий для суммы случайных величин.
Математическое ожидание
Дисперсия
Св-ва мат. ожидания и дисперсии:
1.M[X+Y] = M[X] + M[Y]
2.M[X*Y] = M[X] * M[Y]
3.D[X+Y] = D[X] + D[Y]
Коэффициент ковариации
Св-ва мат. ожидания и дисперсии:
1.Если X и Y независимы, то Cov(X,Y) = 0 (обратное неверно!)
2.Cov(aX,bY) = ab*Cov(X,Y), где a и b – константы
3.Cov(X,Y) 
Коэффициент корреляции
Св-ва мат. ожидания и дисперсии:
1.|ρ(X,Y)| ≤ 1, этот результат следует из свойства 3 для ковариации случайных величин X и Y.
2.Если Х и Y – независимые случайные величины, то ρ(X,Y) = 0 (по свойству 1 для ковариации)
3.Если X и Y связаны линейной функциональной зависимостью: Y=aX + b, где a и b – константы, а ≠ 0, то |ρ(X,Y)| = 1
Теорема Бернулли.
Пусть А – случайный исход некоторого экспериментов, P(A)=p – вероятность этого исхода. Предположим, что эксперимент повторяется n раз в неизменных условиях (т.е. вероятность Р(А)=р не изменяется при повторении экспериментов). Тогда относительная частота появление события А при n -> ∞ сходится по вероятности к р:
, или 
где n – общее число исходов,
m – число благоприятных исходов,
p – вероятность появления случ. величины.
Док-во:
Пусть 
Причем P[Xi=1]=p, а P[Xi=0]=q.
Вычислим математическое ожидание случайной величины Xi:
M[Xi] = 1*p + 0*q = p
И математическое ожидание их среднего арифметического:
Случайные величины Xi, i=1…n по условию взаимно независимы, а их среднее арифметическое есть относительная частота появления события А в середине n экспериментов
Теорема Бернулли дает математическое обоснование экспериментальным результатам, в которых наблюдается устойчивость частот при увеличении числа экспериментов.
Устойчивость среднего арифметического можно объяснить тем, что случайное отклонения от среднего, неизбежные в каждом отдельном результате, в массе однородных результатов взаимно поглощаются, нивелируются, выравниваются. Вследствие этого средний результат фактически перестает быть случайным и может быть предсказан достаточно точно.
№20. Центральная предельная теорема. Теорема Муавра-Лапласа. Асимптотическое распределение среднего арифметического случайных величин.
Центральная предельная теорема.
Одна из формулировок: Пусть X1…Xn… - независимые и одинаково распределенные случайные величины с мат.ожиданием m и дисперсией σ2. Рассмотрим величину X=X1+…+Xn, при n->∞ функция распределения случайной величины
имеет нормальное распределение N(0,1) и равномерно по х сходится к функции распределения стандартного нормального закона Φ(х), где
Формулировка Ляпунова Пусть X1…Xn… - независимые и одинаково распределенные случайные величины с мат.ожиданием m и дисперсией σ2.
Следствия ЦПТ.
