Точечный и интервальный прогноз. Доверительный интервал. Точность и надежность

Полученные оценки неизвестных характеристик могут быть отражены на числовую ось двумя способами – в виде единственного значения (точка), в виде множества значений (интервал). Тогда эти оценки называют точечными и интервальными.

Точечной называют оценку, которая определяется одним числом. При выборке малого объема точечные оценки могут значительно отличатся от оцениваемого параметра и приводить к грубым ошибкам. Тогда необходимо использовать интервальные оценки. Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала. Интервальные оценки позволяют установить точность и надежность оценок. Пусть

- оценка характеристики . Очевидно что чем точнее , тем меньше разность . Или если δ>0 и <δ, то чем меньше δ, тем точнее оценка. Число δ характеризует точность оценки. Заменив неравенство двойным , получим интервал, который с вероятностью р=1-α покрывает неизвестный параметр θ. Вероятность р называется надежностью. Наиболее часто задают надежность равную 0,95; 0,99; 0,999. Доверительным называют интервал , который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью. В рабочих расчетах точность δ заменяется выражением tσ_θ, где t-критическое значение критерия Стьюдента со степенями свободы (n-2), σ_θ-стандартное отклонение (стандартная ошибка) оценки характеристики .

Построим доверительные интервалы для – r, a, b, y.

Интерпретация уравнения регрессии При интерпретации уравнения регрессии важно помнить о следующих факторах: - величины ^а и ^б являются только оценками истинных значений а и б, следовательно, вся интерпретация тоже представляет собой оценку; - ур-ие регрессии отражает общую тенденцию для выборки, а каждое отдельное наблюдение при этом подвержено воздействию случайностей; - верность интерпретации зависит от правильности спецификации, то есть включения/исключения соответствующих объясняющих переменных и выбора вида функции регрессии.

№(25). Автокорреляция уровней ряда. Корреляционную зависимость между последова­тельными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда. Количественно ее можно измерить с помощью линейного ко­эффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени. Такой сдвиг называется лагом и обозначается τ. Коэффициент корреляции имеет вид:

Если существует корреляционная зависимость между уровнями у_t и y_t-1, т.е. каждый последующий уровень зависит от предыдущего, тогда величина лага τ=1. данную зависимость будет характеризовать коэффициент автокорреляции первого порядка:

Если τ=2 то зависимость хар-ся коэффициентом автокорреляции второго порядка:

С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорре­ляции, уменьшается. Поэтому рекомендуется брать максимальный порядок коэффициента автокорреляции и значение лага τ=n/4, где n – число уровней исходного временного ряда.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уров­ней первого, второго и т. д. порядков называют автокорреляцион­ной функцией временного ряда и обозначают ρ(τ)=r_yt,yt-τ.График зависимости ее значений от величины лага на­зывается коррелограммой. Автокорреляционная функция является безразмерной величиной и ее значения лежат в интервале [-1,1] причем ρ(0)=1. Анализ АКФ и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая. Если наиболее высоким оказался коэф. автокорреляции первого порядка, тогда исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэф. автокорреляции порядка τ, тогда исследуемый ряд содержит циклические колебания с периодом τ. Если ни один из r не оказался значимым, вывод: 1) ряд не содержит тенденций и циклических колебаний, 2) ряд имеет сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести анализ.

Моделирование тренда.

Существует несколько методов вычисления трендовой компоненты временного ряда:

-механические (методы скользящей средней – сглаживание исходного ряда по нескольким точкам),

-аналитические (построение конкретных кривых роста и оценка их параметров).

Метод скользящей средней для ряда с линейной тенденцией реализуется посредством последовательного усреднения нескольких уровней ряда. Например, у₁, у₂, …, у_n – исходный ряд данных, тогда уровни трехчленной скользящей средней рассчитывается по формуле:

Методы аналитического выравнивания сводятся к построению кривой роста. Кривая роста – некоторая функция, аппроксимирующая исходный временной ряд. Суть метода аналитического выравнивания состоит в том, чтобы заменить фактические уровни временного ряда y(t₁), y(t₂),…, y(t_n) на теоретические уровни y^(t₁), y^(t₂),…, y^(t_n). Расчет значений y^(t₁), y^(t₂),…, y^(t_n) осуществляется по некоторому формализованному уравнению, принятому за математическую модель тренда. Для построения трендов чаще всего применяют следующие функции: линейную, степенная, гиперболическая, экспоненциальная, полиномы второго и более высоких порядков. Расчет параметров трендовой модели производится на основе МНК. В качестве зависимой переменной выступают фактические уровни ряда Y(t), а независимой переменной является t-время=1,2,3,….., n. При этом для удобства расчетов значения t задаются, чтобы ∑t=0. Для нелинейных трендов необходима дополнительная процедура линеаризации.

Выбор функции тренда может быть осуществлен несколькими способами. Наиболее простым считается тот, в ходе которого анализируют цепные абсолютные приросты (первые разности уровней ряда) Δ_t, абсолютные ускорения уровней ряда (вторые разности ряда) Δ_Δ и цепные коэффициенты роста К_t. Если примерно одинаковы Δ_t, то ряд имеет линейный тренд, если же примерно постоянны Δ_Δ, то для описания тенденции временного ряда следует выбрать параболу второго порядка, и, если примерно равны К_t, необходимо использовать экспоненциальную или степенную функции.