В ряде случаев линейность связи между скоростью фильтрации и градиентом давления нарушается. Отклонения от закона Дарси имеют место как при высоких, так и при низких скоростях фильтрации, в последнем случае - за счет проявления жидкостью неньютоновских вязко-структурных свойств.
Применимость закона Дарси при увеличении скоростей фильтрации связана с числом Рейнольдса. В трубной гидравлике критическое значение числа Рейнольдса Re кр означает переход от ламинарного режима течения к турбулентному. В подземной гидромеханике Re кр характеризует границу, за пределами которой происходит нарушение линейного закона Дарси.
Формулы для определения числа Рейнольдса были получены многими исследователями.
, 7,5 £ Reкр £ 9, (Н.Н.Павловский);
, 1 £ Reкр £ 12, (В.Н.Щелкачев);
, 0,022 £ Reкр £ 0,29, (М.Д.Миллионщиков) и др.
Если вычисленное по одной из этих формул значение числа Рейнольдса оказывается меньше нижнего критического значения Re кр, то закон Дарси справедлив, если больше верхнего критического - закон Дарси нарушен.
Характерным для всех формул является то, что все они приводят к широким диапазонам изменения Re кр для различных пористых сред. Это связано с тем, что ни в одну из предложенных формул для определения Re не входит полный набор параметров, позволяющий характеризовать сложную структуру пористых сред; использование для этой цели коэффициентов пористости и проницаемости оказывается явно недостаточным.
Вместе с тем широкий диапазон изменения значений Re кр можно разбить на сравнительно узкие интервалы, соответствующие различным типам пористых сред. В этом случае верхняя граница применимости закона Дарси обозначается более четко.
Скорость фильтрации, при которой закон Дарси нарушается, называется критической скоростью фильтрации Vкр.
1.9. Нелинейные законы фильтрации -
их можно выразить с помощью формул двух видов: одночленной со степенной зависимостью и двучленной.
1. Одночленная формула.
,
в дифференциальной форме
, (1.11)
где С - const, определяемая экспериментально; n - показатель фильтрации, 1 £ n £ 2.
а) n = 1, 
- линейный закон Дарси;
б) n = 2, 
- закон А.А.Краснопольского.
2. Двучленная формула
- формула Ф.Форхгеймера, (1.12)
где b - дополнительная константа пористой среды, определяемая экспериментально.
Первое слагаемое в правой части данной формулы учитывает потери давления вследствие вязкости жидкости, второе - инерционную составляющую сопротивления движению жидкости, связанную с криволинейностью поровых каналов.
Запишем формулу (1.12) проще:
или в дифференциальной форме
.
Частные случаи:
а) при малых V BV 2<< AV, следовательно, слагаемым BV 2 можно пренебречь:
- закон Дарси (движение безынерционное);
б) при больших V AV << BV 2, следовательно, можно пренебречьслагаемым АV:
- закон Краснопольского (силы вязкости пренебрежимо малы по сравнению с силами инерции).
Закон А.А.Краснопольского имеет место лишь в средах, состоящих из частиц достаточно крупных размеров.
Двучленный закон фильтрации (1.12) является физически наиболее обоснованным и осуществляется при всех числах Рейнольдса, встречающихся в практике разработки нефтегазовых месторождений.
Обобщенный закон Дарси
Закон Дарси для течения в пористой среде однородной жидкости можно распространить на случай совместного течения двух несмешивающихся жидкостей (например, нефти и воды). При этом для каждой из фаз можно записать:
, (1.13)
где V1 и V2 - скорости фильтрации фаз; m1 и m2 - динамические вязкости жидкостей; DP1 и DP2 - разности давлений в соответствующих фазах; К1* и К2* - фазовые проницаемости, зависящие прежде всего от абсолютной проницаемости пористой среды К:
К1* = К×К1;
К2* = К×К2,
где К1 и К2 - относительные проницаемости фаз.
В общем случае давления Р1 и Р2 в фазах не совпадают из-за действия поверхностного натяжения и связаны равенством:
Р2 - Р1 = Рк,
где Рк - капиллярное давление.
Введенные понятия можно обобщить на случай совместного течения трех несмешивающихся флюидов - нефти, газа и воды, используя относительные проницаемости трех фаз.
Контрольные вопросы:
1. Сформулируйте закон Дарси. Запишите формулу закона Дарси для случая фильтрации жидкости в протяженном пласте (образце породы).
2. Выведите формулу обобщенного теоретического закона фильтрации. Дайте определения фиктивного и идеального грунтов.
3. Перечислите виды проницаемости и пористости. Дайте их определения.
4. Что собой представляют и как связаны друг с другом скорость фильтрации и действительная средняя скорость движения жидкости?
5. Что такое приведенное давление?
6. В каких случаях происходит нарушение закона Дарси? Что такое критическая скорость фильтрации?
7. Приведите выражения нелинейных законов фильтрации.
