Обобщенный теоретический закон фильтрации

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАКОНЫ ФИЛЬТРАЦИИ

НЕФТИ, ГАЗА И ВОДЫ.

 

Особенности фильтрации. Характеристики пористой среды.

Фильтрацией называется движение жидкостей, газов и их смесей в пористых и трещиноватых средах, т.е. в твердых телах, пронизанных системой сообщающихся между собой пор и микротрещин.

В отличие от движения жидкости по трубам фильтрации присущи следующие основные особенности:

- чрезвычайно малые размеры поровых каналов;

- крайне низкие скорости движения жидкостей;

- исключительно большая роль сил трения вследствие вязкости жидкостей, огромных поверхностей поровых каналов и их шероховатости.

Одной из основных характеристик пористой среды служит коэффициент пористости.

Коэффициентом пористости называется отношение объема пор ко всему объему пористой среды:

.

Под пористостью в теории фильтрации понимается эффективная (активная) пористость, учитывающая только те поры и микротрещины, которые соединены между собой и через которые может фильтроваться жидкость.

 

Скоростью фильтрации называется отношение объемного расхода (дебита) жидкости или газа к общей площади поперечного сечения образца породы:

.

По-другому V - это фиктивная скорость, т.е. скорость, с которой двигалась бы жидкость, если бы пористая среда отсутствовала (m =1).

Средняя величина скорости фильтрации в сечении F совпадает с истинной скоростью в тех случаях, когда скорость фильтрации не меняется по сечению пласта. В общем случае в различных точках сечения F скорость фильтрации может быть неодинакова. Тогда истинное значение скорости фильтрации в любой точке пласта определится соотношением:

,

где dQ - величина объемного расхода жидкости сквозь проходящую через данную точку элементарную площадку dF, нормальную к направлению скорости фильтрации.

 

Средняя действительная скорость движения жидкости W равна отношению объемного расхода (дебита) к площади просветов F_п:

.

Скорость фильтрации и средняя действительная скорость движения связаны соотношением:

,

где m’ - коэффициент просветности, m’ = m.

Истинное значение действительной скорости течения определится из соотношения:

.

Пользоваться понятием «средняя скорость фильтрации» достаточно удобно, поскольку с ее помощью пласт можно рассматривать как непрерывное поле скоростей и давлений, величина которых в каждой точке пласта является только функцией координат этой точки и времени и не зависит от свойств среды.

Обобщенный теоретический закон фильтрации

 

Форма и размер сечений поровых каналов резко и хаотически меняются в пространстве. Это затрудняет точное решение уравнений течения вязкой жидкости. Поэтому первые теоретические исследования порового пространства проводились с помощью идеализированных моделей. Такими моделями являлись идеальный и фиктивный грунты.

Под идеальным грунтом понимается модель пористой среды, поровые каналы которой представляют собой пучок тонких цилиндрических трубок (капилляров) с параллельными осями.

Фиктивным грунтом называется модель пористой среды, состоящая из шарообразных частиц одинакового диаметра и служащая прообразом реального грунта.

Модель идеального грунта использовалась как ступень для перехода от закономерностей трубной гидравлики к движению жидкости в фиктивном, а затем реальном грунтах.

Известно, что гидравлические потери напора при движении вязкой жидкости по трубам определяются формулой Пуазейля:

, (1.1)

где Dh - потеря напора на трение на участке длиной DL; m - динамическая вязкость жидкости; r - плотность жидкости; D - диаметр трубы.

Обозначим площадь поперечного сечения трубы f:

.

Запишем уравнение (1.1) в виде:

.

Поскольку rgDh = DP, где DP - перепад давления на длине DL, имеем:

.

Отсюда выразим скорость:

- справедливо для трубы или идеального грунта. (1.2)

Чтобы перейти от идеального грунта к фиктивному, очевидно, следует связать площадь сечения единичного порового канала f с площадью просветности фиктивного грунта, а также учесть форму порового пространства. Это можно сделать, геометризируя сечения поровых каналов и выражая плотность укладки шарообразных частиц (угол 60^о£q£90^о) через пористость. В результате разными исследователями были получены однотипные формулы закона фильтрации жидкости в фиктивном грунте:

, (1.3)

где F - площадь сечения пористой среды, d - диаметр частиц.

В них по-разному определялся лишь параметр s:

; ; и т.д.

По предложению Л.С.Лейбензона безразмерный параметр 1/96s, зависящий от пористости, был назван числом Слихтера. Из формулы (1.3) имеем:

. (1.4)

При фильтрации жидкости в реальном грунте число Sl является функцией не только пористости, но и зависит от структуры порового пространства. Кроме того, для корректного перехода от фиктивного грунта к реальному необходимо, чтобы эти грунты были эквивалентны (т.е. должны быть равны гидравлические сопротивления, оказываемые потоку жидкости). С этой целью вместо диаметра d частиц фиктивного грунта вводится эффективный диаметр d_э, определяемый по результатам механического анализа естественного грунта.

С учетом сказанного, а также имея в виду, что Q/F=V, получаем обобщенное выражение теоретических законов фильтрации:

. (1.5)

Здесь e - некоторый параметр, характеризующий структуру порового пространства.

Значения числа Sl у различных авторов различны, поскольку каждый из них при выводе закона фильтрации по-своему подходил к решению задачи о сведении фиктивного грунта к идеальному. Однако общим для всех уравнений является линейная зависимость между скоростью фильтрации и перепадом давления на единице длины, а также присутствие в формуле, выражающей закон фильтрации, квадрата эффективного диаметра частиц и числа Слихтера, зависящего от коэффициента пористости и структуры порового пространства.

В дифференциальной (векторной) форме уравнение (1.5) запишется в виде:

. (1.6)

Знак минус показывает, что давление уменьшается в положительном направлении оси l в сторону движения потока (dl прирастает, а dp уменьшается). Ввод знака «минус» в правую часть уравнения позволяет получить в левой его части абсолютное значение скорости.