Разложение колебаний по системам

ОРТОГОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

 

Бесконечную систему функций называют ортогональной на отрезке , если выполняются равенства

причем n =0, 1, 2,...и k =0, 1,2,...

Первое из равенств означает попарную ортогональность функций системы, второе – то, что никакая из функций не равна тождественно нулю.

Величина называется нормой функции

Если все , система функций является ортонормированной.

Простейшем примером системы, ортогональной на любом отрезке длиной может служить совокупность тригонометрических функций кратных аргументов

 

и , при k =0,1,2,…. (3)

 

 

Заданное (аналитически или графически) колебание можно

разложить в ряд

по упорядоченной системе ортогональных функций , если возможно подобрать такую совокупность постоянных коэффициентов , что разность между f(t) и суммой конечного числа членов ряда

будет достаточна, мала. Предполагается, что область задания колебания f(t) находится внутри отрезка ортогональности .

Одним из возможных критериев качества разложения (сходимости) является интегральная (усредненная) оценка квадрата этой разности:

Если при увеличении количества N суммируемых членов ряда монотонно убывает и может быть сделана сколь угодно малой, то систему ортогональных функций считают полной, а ряд (4) называют сходящимся в среднем к функции f(t). При такой сходимости функция аппроксимирующая заданную f(t) , может кратковременно значительно отклоняться от f(t) , и существенным является лишь интегральный эффект. Кстати, для большинства задач электротехники вполне достаточно сходимости со средним, которая всегда имеет место для колебаний конечной энергии.

Для определения значений коэффициентов , обеспечивающих минимальную величину , приравняем к нулю частные производные по этим коэффициентам

и получим систему из N уравнений, так как n =1, 2,…N. Осуществив преобразования каждого уравнения этой системы с учётом свойства ортогональности (2), установим, что

Ряд (4), в котором коэффициенты определены по формуле (6), называют обобщенным рядом Фурье по системе функций . Поскольку при этом , из выражения (5) можно получить важную "энергетическую" оценку для функций f(t) с интегрируемым квадратом

которую называют неравенством Бесселя. Равенство здесь имеет место в пределе (при ), если система функций полна.

Важной задачей математического анализа является выяснение условий, когда обобщенный ряд Фурье сходится к f(t) в обычном

смысле, т.е. поточечно:

В частности, при использовании ортогональной системы тригонометрических функций ответ на этот вопрос дает теорема Дирихле.

Пусть f(t) в пределах отрезка ограниченной длины удовлетворяет так называемым условиям Дирихле:

-Отрезок можно разбить на конечное число частей так, что внутри каждой части f(t) монотонна и непрерывна;

-Во всех точках нарушения непрерывности существуют пределы слева и справа

Тогда ряд (4) сходится и имеет место равенство:

 

Следовательно, во всех точках непрерывности выражение (4) переходит в точное равенство.

Теперь возможен иной способ получения формулы (6). Умножим обе части выражения (4) на С (t) и произведем интегрирование:

В силу свойств ортогональности, в правой части останется только одно

Слагаемое . Откуда следует (6).

Если функциюf(t) продолжить на всю осьпериодически с периодом Т=t1– t2, то утверждение теоремы Дирихле будет справедливо для всех .

Как правило, функции f(t), описывающие реальные колебания, которые встречаются в электротехнике и электронной технике, удовлетворяют условиям Дирихле, и специальных исследований не требуется.

Выбор наиболее рациональной ортогональной системы функций зависит от цели, преследуемой при разложении сложной функции в ряд. В задачах аппроксимации колебаний основным требованием является обеспечение наиболее быстрой сходимости ряда, т.е.наименьшего числа N членов рада (при заданной допустимой погрешности). Применяются разнообразные ортогональные системы функции: полиномы Чебышева, Эрмита, Лежандра, функции Бесселя и другие.

Однако часто решающими при выборе система функции являются простота физического воспроизведения (генерирования) этих функций и удобство последующего использования их при решении других задач. Этим требованиям удовлетворяет система основных тригонометричес­ких (гармонических) функций. Поэтому гармонический анализ получил широкое распространение во всех отраслях современней науки к техники.