Рассмотрим процесс нагревания двух однородных тел (см. рис. 21.7). Первое тело Т1 имеет теплоемкость С 1, температуру θ1 и мощность тепловыделения Р 1. Второе тело Т2 имеет теплоемкость С 2, температуру θ2 и мощность тепловыделения Р 2. Окружающая среда имеет температуру θ0. Тепловое сопротивление между ней и первым телом равно R θ1, а между ней и вторым телом – R θ2. Тепловое сопротивление между телами – R θ12.
Рис. 21.7. Нагревание двух однородных тел
За время от момента времени t до момента t + Δ t в теле Т1 выделится энергия
Часть ее С 1Δθ1 пойдет на нагревание тела, вторая часть (θ1 – θ0)Δ t/R θ1 уйдет в окружающую среду. Третья часть (θ1 – θ2)Δ t/R θ12 перейдет к телу Т2. Запишем уравнение баланса энергии:
Отсюда получаем дифференциальное уравнение
За время от момента времени t до момента t + Δ t в теле Т2 выделится
энергия
Часть ее С 2Δθ2 пойдет на нагревание тела Т2, вторая часть (θ2 – θ0)Δ t/R θ2 уйдет в окружающую среду. Третья часть (θ2 – θ1)Δ t/R θ12 перейдет к телу Т1. Запишем уравнение баланса энергии:
Отсюда получаем второе дифференциальное уравнение
(21.3)
Для решения уравнений (21.2), (21.3) нужно задать начальные условия
Отметим, что система уравнений (21.2), (21.3) имеет характеристическое уравнение с вещественными корнями, т.е. решение всегда представляет сумму экспонент (колебательный переходный процесс невозможен).
Электрическая схема замещения для процесса нагревания двух однородных тел показана на рис. 21.8. Источникам тепла соответствуют источники тока Р 1 и Р 2. Тепловым сопротивлениям соответствуют резисторы с сопротивлениями R θ1, R θ2 и R θ12, а теплоемкостям тел – конденсаторы с емкостями С 1и С 2.
Рис. 21.8. Электрическая схема замещения для процесса нагревания двух тел
ЛЕКЦИЯ 22
Тепловые режимы работы электроприводов. Средняя мощность
и температура электродвигателей и электромагнитных устройств
Тепловые режимы работы электропривода
Рассмотрим три основных режима работы электропривода: продолжительный, кратковременный и повторно-кратковременный. Предположим, что электродвигатель или выключен, или работает некоторое время при номинальной нагрузке.
Пусть двигатель работает такое время, что он успевает нагреться до установившейся температуры, т.е. выполняется неравенство:
t р > 5 T θ.
Такой режим называется продолжительным (см. рис. 22.1). Жирной линией показано время работы.
Рис. 22.1. Изменение температуры при продолжительном режиме работы
Кратковременный режим работы предполагает, что за время работы электропривода t р двигатель не успевает нагреться до установившейся температуры, а за время паузы t п он полностью остывает. Выполняются неравенства:
t р < 3 T θ; t п > 5 T θ.
На рис. 22.2 представлен график температуры при кратковременном режи-
ме работы. Штриховыми линиями показаны графики температуры в предположении, что двигатель включается надолго.
Рис. 22.2. Температура двигателя при кратковременном режиме работы
За время работы двигателя t р он нагревается от температуры окружающей среды θ0 до температуры θm < θ∞. За время паузы t п двигатель успевает остыть до температуры θ0.
При повторно-кратковременном режиме работы выполняются неравенства:
t р < 3 T θ; t п < 3 T θ.
На рис. 22.3 показан график температуры при повторно-кратковременном режиме работы.
За время работы двигателя t р он нагревается от температуры θ1 > θ0 до температуры θ2 < θ∞. За время паузы t п двигатель остывает до температуры θ1. Чтобы найти значения температур θ1 и θ2, запишем законы изменения температуры при нагревании и охлаждении:
Подставляя вместо переменной t значения t р и t р + t п, получаем уравнения
(22.1)
(22.2)
Рис. 22.3. Температура двигателя при повторно-кратковременном режиме работы
Из этих уравнений можно найти предельные температуры двигателя θ1 и θ2. Если выполняется неравенство
t р > t п,
то средняя температура двигателя удовлетворяет неравенству
Средняя мощность и температура
электродвигателей и электромагнитных устройств
Выше были рассмотрены три характерных режима работы электропривода, при которых чередуются периоды работы двигателя с номинальной нагрузкой и периоды выключенного состояния. Однако в реальных условиях момент нагрузки и скорость вращения могут меняться в значительных пределах. В таких случаях интересна средняя температура двигателя. Поскольку двигатель как нагреваемое тело может рассматриваться в виде линейного объекта, то средняя температура может быть найдена по средней мощности потерь.
Все потери мощности в двигателе можно разделить на электрические, магнитные и механические. Электрические потери возникают в обмотках статора и ротора при протекании по ним электрических токов. Мощность электрических потерь определяется по закону Джоуля-Ленца:
p э = ri 2.
Магнитные потери возникают в магнитопроводах при изменении или вращении магнитного потока. Они состоят из потерь на гистерезис и вихревые токи и определяются формулой
где m – масса стали; Bm – амплитуда магнитной индукции; f – циклическая частота перемагничивания; ξ, η – постоянные коэффициенты. Слагаемые в скобках соответствуют потерям на гистерезис и на вихревые токи.
Механические потери вызываются трением в опорах, трением в щеточно-коллекторном узле, аэродинамическими и вентиляционными потерями. Мощность механических потерь определяется формулой
P мех = ω M мех(ω).
Предположим, что электромагнитный момент двигателя изменяется по периодическому закону. Выясним, как зависит средняя мощность потерь в двигателе от закона изменения момента для двигателей различных типов. Изменение скорости вращения учитывать не будем.
У двигателя постоянного тока независимого возбуждения электромагнитный момент определяется выражением:
M = c Ф i я.
При постоянном магнитном потоке Ф мощность электрических потерь в якоре пропорциональна квадрату электромагнитного момента:
Среднее значение мощности потерь в якоре
где М ск – среднеквадратическое значение электромагнитного момента:
Средняя температура двигателя определяется средним значением суммарной мощности потерь:
P = P 0 + kM ск2. (22.3)
Здесь P 0 – среднее значение мощности потерь всех других видов, кроме электрических потерь в якоре.
У двигателя постоянного тока последовательного возбуждения электромагнитный момент определяется выражением:
M = c Ф i,
где магнитный поток пропорционален току i, если он невелик и насыщение можно не учитывать:
Ф = k Ф i.
Следовательно, электромагнитный момент связан с током равенством
M = ck Ф i 2.
Тогда мощность электрических потерь в обмотках якоря и возбуждения определяется выражениями
Среднее значение мощности электрических потерь в якоре и обмотке возбуждения
где М ср – среднее значение электромагнитного момента:
Средняя температура двигателя последовательного возбуждения определяется средним значением суммарной мощности потерь:
P = P 0 + kM ср. (22.4)
Рассмотрим синхронный двигатель при постоянном магнитном потоке ротора-индуктора Ф. Его электромагнитный момент определяется выражением
M = c Ф I sin θ,
где I – действующее значение тока фазы обмотки статора: θ – угол между продольной осью ротора и вектором МДС статора.При фиксированном угле θ формула совпадает по виду с формулой момента двигателя постоянного тока независимого возбуждения. Можно сделать вывод, что средняя мощность потерь в синхронном двигателе определяется формулой (22.3).
Рассмотрим трехфазный асинхронный двигатель с короткозамкнутым ротором. Его электромагнитный момент определяется формулой (см. (9.7)):
откуда видно, что при постоянном скольжении s момент пропорционален квадрату тока статора. Ток ротора пропорционален току обмотки статора, а магнитный поток в двигателе пропорционален напряжению обмотки статора. Видно, что электрические и магнитные потери пропорциональны электромагнитному моменту. Следовательно, средняя мощность потерь в асинхронном двигателе определяется формулой (22.4).
Рассмотрим однофазный или трехфазный трансформатор. Потребляемая от него мощность пропорциональна току вторичной обмотки. Ток первичной обмотки приближенно пропорционален току вторичной обмотки. Следовательно, мощность электрических потерь в обмотках трансформатора пропорциональна квадрату потребляемой от трансформатора мощности.
Средняя температура трансформатора определяется средним значением суммарной мощности потерь:
(22.5)
или
. (22.6)
Здесь P 2ск – среднеквадратическое значение потребляемой от трансформатора мощности P 2:
I ск – среднеквадратическое значение действующего значения тока I 2:
Рассмотрим электромагнит постоянного тока (см. рис. 20.3). Усилие пропорционально квадрату магнитной индукции, а без учета насыщения магнитопровода – квадрату тока обмотки:
F = ci 2.
Мощность потерь в обмотке определяется равенством
p = ri 2.
Следовательно, средняя температура электромагнита определяется средним значением усилия:
P = P 0 + kF ср, (22.7)
Средняя температура двигателя или электромагнитного устройства определяется формулой
,
где R θ – тепловое сопротивление; θ – температура окружающей среды. 
Рассмотрим электропривод с двигателем постоянного тока независимого возбуждения, который вращает объект управления по закону
α = ω0 t + А sin Ω t, (22.8)
где ω0 – средняя скорость вращения; А – амплитуда колебаний; Ω – угловая частота колебаний. Дифференцируя угол α, получаем
ω = ω0 + A Ω cos Ω t, (22.9)
ε = – A Ω2 sin Ω t, (22.10)
М = М с + J ε, (22.11)
M = M c – JA Ω2 sin Ω t, (22.12)
(см. формулы (14.9 – (14.13)). Согласно выражениям (22.9), (22.12) на плоскости M – ω получается эллипс, центр которого имеет координаты M с,ω0. (см. рис. 22.4)
Рис. 22.4. Множество требуемых сочетаний M – ω
и механическая характеристика двигателя с редуктором
Пусть выбран двигатель с номинальными параметрами M н и ωн. Среднеквадратический момент электродвигателя определяется выражением
Это значение показано на рис. 22.4 вертикальной штриховой линией. Видно, что этот момент превышает номинальный момент двигателя, т.е. электродвигатель не проходит по нагреву, хотя динамика обеспечивается.
Тот же электродвигатель с редуктором, имеющим передаточное отношение i = 1,5, допускает по нагреву момент M н i, больший среднеквадратического значения 
Он обеспечивает и динамику, т.е. характеристика агрегата лежит выше и правее эллипса. Штриховой линией показано множество постоянных значений мощности P 2.
Отметим трудность выбора двигателя, связанную с тем, что момент инерции его ротора суммируется с моментом инерции объекта управления с учетом передаточного отношения редуктора.
ГЛАВА V. ПОДОБИЕ В ЭЛЕКТРОПРИВОДАХ
ЛЕКЦИЯ 23
Соотношения подобия в механике, электричестве и магнетизме.
В природе и технике наблюдается подобие или схожесть формы живых существ и искусственных объектов. Одной из причин такого явления считают подобие оптимальных вариантов. В процессе эволюции животные, птицы и рыбы приобретают формы и пропорции, наиболее благоприятные для их среды обитания, образа жизни и способов охоты или добывания пищи. В технике результаты оптимального проектирования или оптимизации процессов часто оказываются геометрически подобными при различных значениях исходных данных. Это позволяет легко пересчитывать размеры нового варианта по размерам базового объекта, а также может быть использовано при моделировании.
Простейшим видом подобия является геометрическое подобие. Предположим, что имеется базовый объект, размеры которого будем обозначать буквами с индексом '0'. Другой объект будем называть объектом сравнения и его размеры будем обозначать буквами без индексов.
Рассмотрим два треугольника, показанные на рис. 23.1. Базовый треугольник имеет вершины A 0, B 0, C 0, а треугольник сравнения – вершины A, B, C. Одинаково расположенные точки двух объектов назовем сходственными. Фигуры называются геометрически подобными, если расстояния между их сходственными точками пропорциональны. Коэффициент пропорциональности назовем коэффициентом подобия. Для указанных треугольников имеем:
AB = γ A 0 B 0; BC = γ B 0 C 0; CA = γ C 0 A 0; h = γ h 0.
Рис. 23.1. Геометрически подобные треугольники
Определяющим называется размер, выбранный для задания коэффициента подобия. Для треугольников это может быть длина основания:
l = γ l 0 . (23.1)
Соотношение (23.1) является характерным для линейных размеров.
Площади двух подобных фигур относятся как квадраты их размеров, откуда следует:
S = γ2 S 0 . (23.2)
Объемы двух подобных тел относятся как кубы их размеров, откуда имеем
V = γ3 V 0 . (23.3)
На рис. 23.2 показаны две подобные пирамиды. За определяющий размер может быть принята высота пирамиды:
h = γ h 0
Рис. 23.2. Подобные пирамиды
В некоторых случаях пространство можно представить как прямое произведение подпространств меньшей размерности, в каждом из которых имеется свой коэффициент подобия. Такое подобие называется аффинным. Например, пусть два цилиндра имеют разные диаметры и осевую длину, причем выполняются равенства:
d = γ1 d 0 , l = γ2 l 0 .
Тогда для объемов этих цилиндров справедливо равенство:
V = γ12 γ2 V 0 . (23.4)
Для масс геометрически подобных тел справедливо равенство:
, (23.5)
где ρ0 – плотность материала базового тела; ρ – плотность тела сравнения.
Осевой момент инерции тела с двумя закрепленными точками определяется интегралом
где r – расстояние от элемента массы dm до оси вращения. Видно, что при полном подобии тел имеет место равенство
(23.6)
При аффинном подобии формула изменяется:
(23.7)
Видно, что при увеличении диаметра цилиндра в два раза момент инерции возрастает в 16 раз.
Важной составной частью электропривода является электродвигатель, имеющий ряд электрических и магнитных параметров. Рассмотрим сначала электрические величины.
Активное сопротивление проводника с длиной l и с постоянным сечением S определяется по формуле:
где ρ – удельное сопротивление.
Рассмотрим два геометрически подобных проводника, выполненных из различных материалов. Их активные сопротивления удовлетворяют равенству
(23.8)
а при аффинном подобии
(23.9)
Для активной проводимости имеем обратные формулы. При полном геометрическом подобии
(23.10)
а при аффинном подобии
(23.11)
Электрический ток I и напряжение U определяются формулами
(23.12)
(23.13)
где E – напряженность электрического поля; j – плотность тока; E = ρ j.
Емкость конденсатора С может быть определена по формуле
где S – площадь одной пластины конденсатора; δ – расстояние между пластинами; ε – диэлектрическая проницаемость материала между пластинами. Получаем формулу для емкости:
(23.14)
Обмотка с числом витков w и током I создает магнитодвижущую силу
F = wI.
Эту формулу желательно преобразовать, чтобы в нее входили линейные размеры и плотность тока:
F = k з.м bhj,
где k з.м – коэффициент заполнения поперечного сечения катушки медью; b, h – ширина и толщина катушки; j – плотность тока. Отсюда следует, что при подобии двух катушек справедлива формула:
(23.15)
При протекании тока по катушке в ней выделяется мощность в виде тепла. Эта мощность определяется по закону Джоуля-Ленца:
P=RI 2.
Активное сопротивление катушки и ток даются выражениями
, 
где S – площадь сечения проводника по меди; j – плотность тока; l ср – средняя длина одного витка катушки.
Подставляя эти выражения в формулу мощности Р, получаем формулу
или
P = ρ j 2 V м,
где V м – объем меди катушки.
Если имеются две геометрически подобные катушки, то для мощности потерь имеем формулу
(23.16)
Рассмотрим теперь магнитные величины.
Магнитное сопротивление ферромагнитного стержня длиной l и с постоянным сечением S определяется по формуле:
где μ – магнитная проницаемость стержня.
Рассмотрим два геометрически подобных стержня, выполненных из различных материалов. Их магнитные сопротивления удовлетворяют равенству
(23.17)
а при аффинном подобии
(23.18)
Для магнитной проводимости Λ имеем обратные формулы. При полном геометрическом подобии
(23.19)
а при аффинном подобии
(23.20)
Магнитный поток Ф и магнитное напряжение U м определяются формулами
(23.21)
(23.22)
где Н – напряженность магнитного поля, H = B/ μ.
Индуктивность катушки L определяется формулами
Здесь w – число витков катушки. Отсюда получаем формулу
(23.23)
Как видно, без числа витков здесь не обойтись.
Мощность потерь в стали (магнитных потерь) определяется формулой
где P в.т, P г – мощности потерь на вихревые токи и гистерезис; ξ, η – постоянные коэффициенты; Bm – амплитуда магнитной индукции; f – частота перемагничивания; V c – объем стали.
Отсюда следует, что мощности потерь в геометрически подобных магнито-проводах при одинаковой частоте связаны соотношением
(23.24)
Отметим, что формулы (23.8) – (23.11) похожи на формулы (23.17) – (23.20), формулы (23.12) – (23.13) похожи на формулы (23.21) – (23.22), формула (23.14) похожа на формулу (23.23), а формула (23.16) похожа на формулу (23.24).
Обратимся теперь к теплопроводности. При теплопередаче теплопровод-ностью имеет место формула:
где λ – коэффициент теплопроводности; S – площадь стенки;δ – ее толщина; θ1 и θ2 – температура стенки с двух сторон. Эту формулу можно записать в виде
Здесь тепловое сопротивление R θ и тепловая проводимость G θ определяются формулами Здесь тепловое сопротивление R θ и тепловая проводимость G θ определяются формулами
При полном геометрическом подобии получаем соотношения:
При теплопередаче конвекцией имеет место формула:
где α – коэффициент теплоотдачи; S – площадь стенки;θ1 и θ0 – температура стенки и температура воздуха на некотором расстоянии от стенки. Эту формулу можно записать в виде
Здесь тепловое сопротивление R θ и тепловая проводимость G θ определяются формулами
