Кривая распределения – кривая линия, которая отражает закономерность изменения частот в чистом, исключающем влияние случайных факторов виде.
Теоретическая кривая распределения - кривая, выражающая общую закономерность данного типа распределения в чистом виде, исключающем влияние случайных факторов.
Закономерности распределения - закономерности изменения частот в вариационных рядах.
Нормальное распределение выражается следующей стандартизированной кривой нормального распределения: 
,
где yt - ордината кривой нормального распределения; 
- стандартизированная (нормированная) величина; e и π – математические постоянные.
В статистической практике большой интерес представляет решение вопроса о том, в какой мере можно считать полученное в результате статистического наблюдения распределение признака в исследуемой совокупности, соответствующее нормальному распределению.
Для решения этого вопроса следует рассчитать теоретические частоты нормального распределения, т.е. те частоты, которые были бы, если бы данное распределение в точности следовало закону нормального распределения. Для расчета теоретических частот применяется следующая формула:
,
величина 
определяется по специальной таблице (Приложение 1).
Следовательно, в зависимости от величины t для каждого интервала эмпирического ряда определяются теоретические частоты.
Степень расхождения теоретических и эмпирических частот оценивается с помощью особых показателей – критериев согласия, с помощью которых проверяется гипотеза о законе распределения.
Наиболее распространенным является критерий согласия К. Пирсона χ2 ("хи- квадрат"), исчисляемый по формуле:
,
где f - эмпирические частоты (частости) в интервале;
f´- теоретические частоты (частости) в интервале.
Полученное значение критерия (χ²расч) сравнивается с табличным значением (χ²табл). Последнее определяется по специальной таблице (Приложение 2) в зависимости от принятой вероятности (Р) и числа степеней свободы k (для нормального распределения k равно числу групп в ряду распределения минус 3).
Если χ²расч £ χ²табл, то гипотеза о близости эмпирического распределения к нормальному не отвергается.
При расчете критерия Пирсона необходимо соблюдать условия: число наблюдений должно быть достаточно велико (п ³ 50); если теоретические частоты в некоторых интервалах меньше 5, то интервалы объединяют так, чтобы частоты были больше 5.
Используя величину χ², В.И. Романовский предложил оценивать близость эмпирического распределения кривой нормального распределения по отношению:
,
где k - число групп; (k – 3) - число степеней свободы при исчислении частот нормального распределения.
Если < 3, то можно принять гипотезу о нормальном характере эмпирического распределения.
Распространенным критерием согласия является критерий А.И. Колмогорова ( l):
,
где D - максимальное значение разности между накопленными эмпирическими и теоретическими частотами; 
- сумма эмпирических частот.
По таблице значений вероятностей l-критерия находят соответствующую вероятность (Р). Приведем краткую выдержку из таблицы значений функции k(l) А.Н. Колмогорова:
| l | 1,23 | 1,36 | 1,63 | 1,80 | 2,00 |
| Р или k(l) | 0,9030 | 0,9505 | 0,9902 | 0,9970 | 0,9993 |
Если найденной величине l соответствует значительная по величине вероятность (Р), то расхождения между эмпирическим и теоретическим распределениями несущественны и рассматриваемое распределение следует закону нормального распределения.
Практическое и научное значение имеет распределение Пуассона. Оно характерно для редко встречающихся явлений, поэтому его называют "законом редких явлений" (или "законом малых чисел").
Закон Пуассона применяется для совокупностей, достаточно больших по объему (n ³ 50) и имеющих достаточно малую долю единиц, обладающих данным признаком (р £ 0,1), например, для распределения партий готовой продукции по числу забракованных изделий, печатных страниц по числу опечаток, станков по числу отказов, ткацких станков по числу обрывов нити и т. д.
Теоретические частоты распределения Пуассона определяются формулой:
,
где n - общее число независимых испытаний;
l - среднее число появления редкого события в п одинаковых независимых испытаниях;
т - частота данного события (т = 0, 1, 2...);
е - основание натуральных логарифмов, е = 1,271828.
Величина е-l определяется по специальной таблице (Приложение 3); m! – произведение 1×2×3×…×m; 0! – считается равным единице.
Например. Рассмотрим построение кривой нормального распределения на примере, характеризующем распределение партий деталей по длительности производственного цикла:
Таблица 5.2
| Границы интервала, час | Наблюдаемая частота, fi | Нормированное отклонение для нижней границы
интервала,
 = 
| Нормированное отклонение для верхней границы
интервала,
 = 
| Значение интегральной функции Лапласа для
F()
| Значение интегральной функции Лапласа для
F()
| Оценка вероятности попадания в интервал Pi | Частота теоретического распределения
|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7=6-5 | 8=7*71 |
| -∞ - 28 | -∞ | -1,927 | -0,5000 | -0,4732 | 0,0268 | 1,9 | |
| 28-113 | -1,927 | -1,393 | -0,4732 | -0,4177 | 0,0555 | 3,94 | |
| 113-198 | -1,393 | -0,852 | -0,4177 | -0,3023 | 0,1154 | 8,19 | |
| 198-283 | -0,852 | -0,312 | -0,3023 | -0,1217 | 0,1806 | 12,82 | |
| 283-368 | -0,312 | +0,229 | -0,1217 | +0,0910 | 0,2127 | 15,11 | |
| 368-453 | +0,229 | +0,769 | +0,0910 | +0,2791 | 0,1884 | 13,40 | |
| 453-538 | +0,769 | +1,31 | +0,2791 | +0,4049 | 0,1258 | 8,93 | |
| 538-623 | +1,31 | +1,86 | +0,4049 | +0,4686 | 0,0637 | 4,52 | |
| 623-708 | +1,86 | +2,39 | +0,4686 | +0,4915 | 0,0229 | 1,63 | |
| 708- +∞ | +2,39 | +∞ | +0,4915 | +0,5000 | 0,0085 | 0,59 | |
| Итого |
Нормальное распределение определяется двумя параметрами – это средняя арифметическая и среднее квадратическое отклонение. По нашим данным 
=331 ч., σ = 157,25 ч. Все последующие расчеты для определения теоретических частот представлены в графах 3-8 табл.5.2. Значения граф 5 и 6 определяются по таблицам интегральной функции Лапласа (Приложение 4). 7 графа определяется разностью гр.6 – гр.5. Теоретическая частота гр.8 
= 
. Например, для первого интервала = 0,0268·71 = 1,9 и т.д.
Расчет критерия Пирсона: при расчете нужно соблюдать следующие условия:
1) число наблюдений должно быть достаточно велико (п ³ 50);
2) если теоретические частоты в некоторых интервалах меньше 5, то интервалы объединяют так, чтобы частоты были больше 5.
Воспользуемся данными примера, приведенного в табл.5.2, для расчета критерия "хи-квадрат", предварительно округлив теоретические частоты в гр.8, а также объединив частоты двух и трех последних интервалов, выполняя требование ³5. Получим частоты эмпирического и теоретического распределений, приведенные в табл.5.3.
Таблица 5.3
| Номер интервала | Эмпирические частоты | Теоретические частоты | 
| 
|
| 0,17 | ||||
| 2,00 | ||||
| 0,08 | ||||
| 0,00 | ||||
| 1,23 | ||||
| 0,00 | ||||
| 0,57 | ||||
| Итого | 4,05 |
χ²расч = 4,05.
Для проверки гипотезы о нормальности распределения число степеней свободы равно (k-3), где k – число групп. Следовательно, число степеней свободы равно: 7-3=4.
Уровень значимости выбирается таким образом, что Р (χ²расч > χ²табл)=a (величина a принимается равной 0,05 или 0,01).
При уровне значимости 0,05 и числе степеней свободы 4: χ²табл=9,5.
Таким образом, расчетное значение критерия Пирсона не превышает табличное значение (4,05<9,5) при a =0,05, т.е. проведенный расчет дает право не отвергать гипотезу о нормальном характере эмпирического распределения.
Например, по критерию Романовского:
= 
Так как рассчитанное отношение значительно меньше 3, следует принять гипотезу о нормальности эмпирического распределения.
