Показатели формы распределения. Выяснение характера распределения предполагает оценку степени его однородности, а также исчисление показателей асимметрии и эксцесса

Выяснение характера распределения предполагает оценку степени его однородности, а также исчисление показателей асимметрии и эксцесса.

В практике статистического исследования приходится встречаться с самыми различными распределениями. Однородные совокупности характеризуются, как правило, одновершинными распределениями. Многовершинность свидетельствует о неоднородности изучаемой совокупности.

Симметричным является распределение, в котором частоты любых двух вариантов, равноотстоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой (). Но такое соотношение бывает крайне редко, чаще имеет место, когда частоты располагаются в вариационном ряду сдвинуто в одну или другую сторону.

Для сравнительного анализа степени асимметрии рассчитывают относительный показатель асимметрии:

.

Если , то правосторонняя асимметрия (преобладают варианты меньше средней арифметической; вершина кривой распределения сдвинута влево и правая ветвь вытянута больше, чем левая).

Если , то левосторонняя асимметрия (преобладают варианты больше средней арифметической; вершина кривой распределения сдвинута вправо и левая ветвь вытянута больше, чем правая) (рис. 5.1)

f

f

 

 

Рис. 5.1. Асимметричные ряды распределения.

 

Другой показатель асимметрии, предложенный шведским математиком Линдбергом, исчисляется по формуле: ,

где П – процент тех значений признака, которые превышают величину средней

арифметической.

Наиболее точным и распространенным является показатель асимметрии, исчисляемый по формуле:

.

Чем больше абсолютная величина коэффициента, тем больше степень скошенности. Если (независимо от знака), то асимметрия незначительная, если , то асимметрия значительная.

Оценка степени существенности этого показателя дается с помощью средней квадратической ошибки: , где n – число наблюдений.

Если , то асимметрия существенна и распределение признака в генеральной совокупности не является симметричным.

Если , то асимметрия несущественна, ее наличие объясняется влиянием случайных обстоятельств.

Для симметричных распределений рассчитывается показатель эксцесса:

.

Эксцесс – выпад вершины эмпирического распределения вверх или вниз от вершины кривой нормального распределения.

При нормальном распределении .

Если , то распределение островершинное.

Если , то распределение плосковершинное (рис. 5.2.).

 

Плосковершинное распределение

Нормальное распределение

Нормальное распределение

Рис.5.2. Ряды распределения с положительным и

Отрицательным эксцессом.

Предельным значением отрицательного эксцесса является значения ; величина положительного эксцесса является величиной бесконечной.

Слишком плоское распределение говорит о том, что у единиц изучаемой совокупности мало общности, они очень разнородны и средняя величина для такой совокупности является не типичной.

Средняя квадратическая ошибка эксцесса исчисляется по формуле:

, где n – число наблюдений.

Для приближенного определения величины эксцесса может быть использована формула Линдберга:

,

где П – процент количества вариант, лежащих в интервале, равном половине среднего квадратического отклонения (в ту или другую сторону от величины средней).