Теорема 3. Теорема о двух милиционерах

Пусть , , причем начиная с

некоторого номера , . Тогда .

Доказательство:

Так как последовательности и сходятся, то имеет место соотношение (**), т.е. и . Пусть . Тогда начиная с номера . Отсюда получим , или , т.е. .

П. 6 Принцип компактности и принцип полноты

 

Определение 1. Пусть - некоторая последовательность. Рассмотрим последовательность натуральных чисел такую, что . Тогда последовательность называют подпоследовательностью последовательности . Если последовательность сходится, то ее предел называют частичным пределом последовательности .

Пример. Рассмотрим последовательность. Тогда является подпоследовательностью последовательности.

Теорема 1. Если последовательность сходится к, то любая ее подпоследовательность сходится к.

Доказательство:

Пусть , тогда имеет место соотношение (**), т.е. начиная с некоторого номера . Так как члены подпоследовательно-

сти являются членами последовательности , то при имеем . Следовательно, . +

Ясно, что можно привести примеры последовательностей, которые расходятся, но их подпоследовательности являются сходящимися.

Пример. Последовательность является расходящейся, но одна ее подпоследовательность сходится к, а другая подпоследовательность сходится к.

Теорема 2. Теорема Больцано-Вейерштрасса - принцип компактности.

Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

 

Доказательство:

Пусть последовательность ограничена, т.е.. Следовательно, множество ограничено. По принципу ТВГ и ТНГ имеем. Построим ССС следующим образом.

Разделим отрезок пополам. Тогда, по крайней мере, в одном из полученных интервалов содержится бесконечное число членов последовательности. Пусть является таковым. Далее, отрезок поделим пополам и выберем тот из полученных, который содержит бесконечное число членов последовательности. Обозначим его и т.д. В результате получим СВС:, причем длина -го отрезка равна.

Назовем самый крайний левый член последовательности, который уже попадает в интервал . Далее, назовем самый крайний левый член последовательности, который уже попадает в интервал при условии, что , и т.д. получим некоторую подпоследовательность , причем .

В соответствии с теоремой Кантора о существовании и единственности точки , принадлежащей всем ССС сразу, имеем и . То по теореме о двух милиционерах подпоследовательность . +

Пример. Рассмотрим последовательность . В последовательности можно выделить подпоследовательности и , которые сходятся к 0 и 1 соответственно.

 

Определение 2. Последовательность называется фундаментальной, если выполняется соотношение (***): .

Другими словами, модуль разности между сколь угодно далекими членами последовательности может быть сколь угодно мал, если эти члены достаточно далеко.