Если последовательность 
сходится, то она имеет единственный предел.
Доказательство:
. Пусть последовательность имеет два предела, т.е. 
, 
, 
для определенности. Так как 
то имеет место соотношение (**), т.е. начиная с некоторого номера 
. Так как 
то выполняется (**), т.е. начиная с некоторого номера 
. Пусть 
тогда, начиная с номера 
. Пусть 
Тогда пересечение этих двух множеств, задаваемых неравенствами, пусто, т.е. нашлось, по крайней мере, одно 
для которого не выполняется (**). Это означает, что предела не существует. +
Теорема 2. Теорема Вейерштрасса - необходимое условие сходимости
Если последовательность сходится, то она ограничена.
Доказательство:
Пусть последовательность 
сходится, тогда имеет место соотношение (**), т.е. начиная с некоторого номера , 
. Положим 
, тогда 
. Рассмотрим 
,т.е. 
,что озна- чает ограниченность последовательности . +
Теорема 3. Признак Больцано-Вейерштрасса.
Если последовательность монотонно возрастает (убывает) и ограничена сверху(снизу), то она сходится.
Доказательство:
Пусть последовательность монотонно возрастает (
) и ограничена (
). Тогда из условия ограниченности следует, что - непустое ограниченное сверху множество. Следовательно, по теореме о ТВГ (глава III, п. 4) множество , значит, и последовательность имеет ТВГ.
Обозначим 
и покажем, что 
.
В силу определения ТВГ имеем 
. Кроме того, последова- тельность монотонно возрастает, поэтому найдется такой номер 
, что 
т.е. 
. Следовательно, 
или 
. Таким образом, существует такой номер , начиная с которого . +
Пример. Последовательность 
монотонно возрастает, но не ограничена, следовательно, расходится.
Пример. Последовательность 
ограничена, но не является монотонной, следовательно, расходится.
Пример. Пусть 
и 
,... или 
(*). Последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху, например, числом 
. Покажем это ММИ.
Пусть 
. Тогда 
. Тогда существует . Возведем (*) в квадрат и перейдем к пределу при 
: 
, т.е. 
. Таким образом, 
.
п. 4 Арифметические свойства пределов
Теорема 1. Пусть последовательности и 
сходятся, тогда сходится и последовательность 
, причем 
.
Доказательство:
Так как и 
, то 
, 
, где 
и 
- БМП. Рассмотрим 
, причем 
- БМП. Следовательно, 
. +
Следствие. Сумма любого конечного числа сходящихся последовательностей, является сходящейся последовательностью, предел которой равен сумме соответствующих пределов.
Теорема 2. Если , (пределы последовательностей xп и yп равны a и b соответственно), то 
.
Доказательство:
В силу определения предела последователь- ности имеем 
где , - БМП. Рассмотрим 
, при этом 
- БМП. Следовательно, 
+
Теорема 3. Если пределы последовательностей xп и yп равны a и b соответственно для любого натурального числа n и yп ≠ 0, b≠ 0 (, 
), то 
.
Доказательство:
Докажем сначала лемму.
Лемма. Если последовательность сходится 
, то последовательность 
- ограничена.
Пусть 
. Тогда имеет место соотношение (**). Пусть в (**) 
т.е. 
. Тогда существует номер , начиная с которого 
или 
. Следовательно, 
или 
. Пусть 
. Тогда 
. ▲
Рассмотрим 
. Так как 
- БМП, а - ограничена, то 
- БМП. Таким образом, . +
п. 5 Свойства пределов, связанные с неравенствами
Теорема 1. Пусть 
. Тогда, если найдется номер , начиная с которого 
, то 
.
Доказательство:
Так как 
, то для нее имеет место соотношение (**). Предположим противное, т.е. пусть 
. Тогда из соотношения (**) имеем . Так как , то можно выбрать такое 
, что 
и 
. Тогда, начиная с некоторого номера, определяемого этим , 
, что противоречит условию.
Следствие 1. Пусть и существует такой номер , начиная с которого 
. Тогда 
.
Доказательство:
Рассмотрим 
. Последовательность сходится. Более того, начиная с некоторого номера 
. Тогда 
. Но 
. Следовательно, . +
Следствие 2. Пусть и, начиная с некоторого номера , . Тогда 
.
Следствие 3. Пусть и, начиная с некоторого номера , 
. Тогда 
.
Теорема 2. Пусть , причем 
. Тогда существует такой номер , что 
.
Доказательство:
Так как , то имеет место соотношение (**), т.е. . Имеем , выберем таким, чтобы 
. Тогда найдет такой номер 
, начиная с которого, . +
Следствие 1. Пусть , причем 
. Тогда существует такой номер , начиная с которого, .
Следствие 2. Пусть , причем 
. Тогда существует такой номер , начиная с которого, 
.
Следствие 3. Пусть , причем 
. Тогда существует такой номер , начиная с которого, .
