Теорема 1. О единственности предела

Если последовательность сходится, то она имеет единственный предел.

Доказательство:

 

. Пусть последовательность имеет два предела, т.е. , , для определенности. Так как то имеет место соотношение (**), т.е. начиная с некоторого номера . Так как то выполняется (**), т.е. начиная с некоторого номера . Пусть тогда, начиная с номера . Пусть Тогда пересечение этих двух множеств, задаваемых неравенствами, пусто, т.е. нашлось, по крайней мере, одно для которого не выполняется (**). Это означает, что предела не существует. +

Теорема 2. Теорема Вейерштрасса - необходимое условие сходимости

Если последовательность сходится, то она ограничена.

Доказательство:

Пусть последовательность сходится, тогда имеет место соотношение (**), т.е. начиная с некоторого номера , . Положим , тогда . Рассмотрим ,т.е. ,что озна- чает ограниченность последовательности . +

Теорема 3. Признак Больцано-Вейерштрасса.

Если последовательность монотонно возрастает (убывает) и ограничена сверху(снизу), то она сходится.

Доказательство:

Пусть последовательность монотонно возрастает () и ограничена (). Тогда из условия ограниченности следует, что - непустое ограниченное сверху множество. Следовательно, по теореме о ТВГ (глава III, п. 4) множество , значит, и последовательность имеет ТВГ.

Обозначим и покажем, что .

В силу определения ТВГ имеем . Кроме того, последова- тельность монотонно возрастает, поэтому найдется такой номер , что т.е. . Следовательно, или . Таким образом, существует такой номер , начиная с которого . +

Пример. Последовательность монотонно возрастает, но не ограничена, следовательно, расходится.

Пример. Последовательность ограничена, но не является монотонной, следовательно, расходится.

Пример. Пусть и ,... или (*). Последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху, например, числом . Покажем это ММИ.

Пусть . Тогда . Тогда существует . Возведем (*) в квадрат и перейдем к пределу при : , т.е. . Таким образом, .

 

п. 4 Арифметические свойства пределов

 

Теорема 1. Пусть последовательности и сходятся, тогда сходится и последовательность , причем .

 

Доказательство:

Так как и , то , , где и - БМП. Рассмотрим , причем - БМП. Следовательно, . +

Следствие. Сумма любого конечного числа сходящихся последовательностей, является сходящейся последовательностью, предел которой равен сумме соответствующих пределов.

 

Теорема 2. Если , (пределы последовательностей x_п и y_п равны a и b соответственно), то .

Доказательство:

В силу определения предела последователь- ности имеем где , - БМП. Рассмотрим , при этом - БМП. Следовательно, +

 

Теорема 3. Если пределы последовательностей x_п и y_п равны a и b соответственно для любого натурального числа n и y_п ≠ 0, b≠ 0 (, ), то .

Доказательство:

Докажем сначала лемму.

Лемма. Если последовательность сходится , то последовательность - ограничена.

Пусть . Тогда имеет место соотношение (**). Пусть в (**) т.е. . Тогда существует номер , начиная с которого или . Следовательно, или . Пусть . Тогда . ▲

Рассмотрим . Так как - БМП, а - ограничена, то - БМП. Таким образом, . +

 

 

п. 5 Свойства пределов, связанные с неравенствами

 

Теорема 1. Пусть . Тогда, если найдется номер , начиная с которого , то .

Доказательство:

Так как , то для нее имеет место соотношение (**). Предположим противное, т.е. пусть . Тогда из соотношения (**) имеем . Так как , то можно выбрать такое , что и . Тогда, начиная с некоторого номера, определяемого этим , , что противоречит условию.

 

Следствие 1. Пусть и существует такой номер , начиная с которого . Тогда .

Доказательство:

Рассмотрим . Последовательность сходится. Более того, начиная с некоторого номера . Тогда . Но . Следовательно, . +

Следствие 2. Пусть и, начиная с некоторого номера , . Тогда .

Следствие 3. Пусть и, начиная с некоторого номера , . Тогда .

 

Теорема 2. Пусть , причем . Тогда существует такой номер , что .

Доказательство:

Так как , то имеет место соотношение (**), т.е. . Имеем , выберем таким, чтобы . Тогда найдет такой номер , начиная с которого, . +

 

Следствие 1. Пусть , причем . Тогда существует такой номер , начиная с которого, .

Следствие 2. Пусть , причем . Тогда существует такой номер , начиная с которого, .

Следствие 3. Пусть , причем . Тогда существует такой номер , начиная с которого, .