Глава IV
Числовые последовательности
П. 1 Определение и примеры
Определение 1. Рассмотрим множество 
натуральных чисел и множество 
действительных чисел. Если 
, то правило такого соответствия 
и его результат называется числовой последовательностью и обозначается 
, где 
– общий член последовательности.
Замечание. Очевидно, что последовательность – множество значений функции натурального аргумента, т.е. 
.
Замечание. Существенно, что в определении последовательности аргумент 
пробегает все множество .
Последовательность конечного числа элементов (конечная последовательность) называют кортежем или вектором. Такие последовательности рассматривать не будем.
Способы задания последовательности
1. аналитический: 
;
2. рекуррентный: 
.
Арифметическая прогрессия 
, геометрическая прогрессия 
, факториал 
, где 
причем 
, - примеры задания последовательностей рекуррентным способом.
Последовательности бывают:
1. ограниченные;
БМП (бесконечно малые последовательности);
Неограниченные;
4. ББП (бесконечно большие последовательности).
Определение 2. Последовательность называется ограниченной, если существуют такие действительные числа m и M (
), что 
(для любого натурального числа n).
Определение 2*. Пусть 
(А – максимальное из чисел m и M). Тогда последовательность называется ограниченной, если 
.
Пример. Последовательность 0,1,0,1,... ограничена, т.к. 
Определение 3. Последовательность называется БМП ( бесконечно малой последовательностью), если для любого положительного e (эпсилон) найдется номер, зависящий от e, такой, что, как только n>N выполняется неравенство 
(
)
Пример. Рассмотрим последовательность 
. Для того, чтобы 
необходимо, чтобы 
, т.е. 
(
– целая часть числа 
). Задавая 
некоторые значения, будем получать номер 
, начиная с которого члены последовательности попадут в -коридор. Например, если =10, то =0, тогда 
=1; если =1, то =1, тогда =2; если =0,1, то =10, тогда =11, и т.д.
Замечание. Обычно БМП обозначают первыми буквами алфавита.
Пример. Последовательность ограничена, но не является БМП.
Определение 4. Последовательность 
называется неограниченной, если
для любого неотрицательного числа А найдется n, такой что 
.
(
.)
Определение 5. Последовательность называется ББП, если для любого положительного М найдется номер, зависящий от М, такой, что, как только n>N выполняется неравенство 
(
).
Пример. Последовательность 
является ББП, а последовательность 
является неограниченной, но не является ББП.
П. 2 Свойства БМП
Вспомним определение БМП: если для любого положительного e (эпсилон) найдется номер, зависящий от e, такой, что, как только n>N выполняется неравенство
(*) 
, то 
- БМП.
Теорема 1. Сумма двух БМП есть БМП.
Доказательство:
 |
Пусть
и 
- БМП. Тогда соотношение (*) имеет место для каждой из данных последовательностей. Выберем 
, тогда для последовательности найдется номер 
, начиная с которого 
, а для последовательности найдется номер 
начиная с которого 
Рассмотрим последовательность 
. Пусть 
тогда, начиная с номера , 
, т.е. для 
, начиная с номера 
. Это означает, что последовательность является БМП. +
Следствие. Сумма любого конечного числа БМП есть БМП. (Доказать самостоятельно).
Теорема 2. БМП ограничена.
Доказательство:
Пусть - БМП. Тогда для нее имеет место соотношение (*), т.е. начиная с некоторого члены 
войдут в -коридор. Другими словами, из этого -коридора выпадает не более чем конечное число первых членов последовательно-
сти . Пусть 
, тогда 
, что означает ограниченность последовательности .
Теорема 3. Если - БМП, а ограничена, то последовательность 
является БМП.
Доказательство:
Так как 
-БМП, то имеет место соотношение (*). Выберем 
и найдем номер 
, начиная с которого члены последовательности войдут в 
-коридор, где число 
. Тогда, начиная с номера , будет выполняться неравенство 
. +
Следствие 1. Произведение двух БМП есть БМП. (Доказать самостоятельно).
Следствие 2. Произведение любого конечного БМП есть БМП. (Доказать самостоятельно).
Теорема 4. Для того, чтобы последовательность была БМП, необходимо и достаточно, чтобы 
была ББП.
Доказательство:
Необходимость. Пусть - ББП. Тогда имеет место соотношение (*), т.е., начиная с некоторого номера 
. Пусть 
, тогда 
, т.е. 
, что означает: - ББП.
Достаточность доказать самостоятельно.
п. 3 Сходящиеся последовательности
Определение 1. Последовательность 
называется сходящейся, если 
, где - БМП, а число 
. Тогда число называется пределом последовательности . Обозначается 
(
при , стремящимся к бесконечности, стремится к (или равно) ).
Определение 1*. Последовательность сходится к , т.е. 
если если для любого положительного e (эпсилон) найдется номер, зависящий от e, такой, что, как только n>N выполняется соотношение 
:
(**) 
.
Покажем, что определения 6 и 6* эквивалентны.
Пусть 
в смысле определения 6. Тогда , где - БМП. Следовательно, 
- БМП, тогда выполняется соотношение (*), т.е. 
. Получим соотношение (**).
Теперь пусть 
в смысле определения 6*. Тогда выполняется соотношение (**). Полагая 
, получим 
, которая является БМП в соответствие с соотношением (*). Тогда 
.
