Лекции.Орг


Поиск:




Категории:

Астрономия
Биология
География
Другие языки
Интернет
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Механика
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Транспорт
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология
Экономика
Электроника

 

 

 

 


Метод наименьших квадратов. Получение регрессионной модели происходит в два этапа:




Получение регрессионной модели происходит в два этапа:

‒ подбор вида функции;

‒ вычисление параметров функции.

Первая задача не имеет строгого решения. Здесь может помочь опыт и интуиция исследователя, а возможен и «слепой» перебор из конечного числа функций и выбор лучшей из них.

Чаще всего выбор производится среди следующих функций:

у = ах + b — линейная функция;

у = ах2 + bх + с — квадратичная функция;

у = а ln(х) + b — логарифмическая функция;

у = а еbx — экспоненциальная функция;

у = а хb ~ степенная функция.

Квадратичная функция называется также полиномом второй степени. Иногда используются полиномы и бо­лее высоких степеней, например, полином третьей степени имеет вид: у == ах3 + bх2 + cx + d.

Если вы выбрали (сознательно или наугад) одну из предлагаемых функций, то следующим шагом нужно подобрать параметры (а, b, с и пр.) так, чтобы функция располагалась как можно ближе к экспериментальным точкам. Что значит «располагалась как можно ближе»? Ответить на этот вопрос — значит предложить метод вычисления параметров. Такой метод был предложен в XVIII веке немецким математиком К. Гауссом. Он называется методом наименьших квадратов (МНК). Суть его заключается в следующем: искомая функция должна быть построена так, чтобы сумма квадратов отклонений у-координат всех экспериментальных точек от у-координат графика функции была бы минимальной.

Мы не будем здесь производить подробное математиче­ское описание метода наименьших квадратов. Достаточно того, что вы теперь знаете о существовании такого метода. Он очень широко используется в статистической обработке данных и встроен во многие математические пакеты про­грамм. Важно понимать следующее: методом наименьших квадратов по данному набору экспериментальных точек можно построить любую (в том числе и из рассмотренных выше) функцию. А вот будет ли она нас удовлетворять, это уже другой вопрос — вопрос критерия соответствия. На рис. 2.14 изображены три функции, построенные методом наименьших квадратов по данным, представленным в пре­дыдущем параграфе.


 

 

Данные рисунки получены с помощью MS Excel. График регрессионной модели называется трендом. Английское слово trend можно перевести как общее направление, или тенденция.

Уже с первого взгляда хочется отбраковать вариант ли­нейного тренда. График линейной функции — это прямая. Полученная по МНК прямая отражает факт роста заболевае­мости от концентрации угарного газа, но по этому графику трудно что-либо сказать о характере этого роста. А вот квад­ратичный и экспоненциальный тренды ведут себя очень правдоподобно. Теперь пора обратить внимание на надписи, присутствующие на графиках. Во-первых, это записанные в явном виде искомые функции — регрессионные модели:

линейная функция: у = 46,361x - 99,881; экспоненциальная функция: у = 3,4302 е0'7555; квадратичная функция: у = 21,845x2 - 106,97x: + 150,21.

На графиках присутствует еще одна величина, получен­ная в результате построения трендов. Она обозначена как R2. В статистике эта величина называется коэффициентом детерминированности. Именно она определяет, насколько удачной является полученная регрессионная модель. Коэф­фициент детерминированности всегда заключен в диапазоне от 0 до 1. Если он равен 1, то функция точно проходит через табличные значения, если 0, то выбранный вид регрессион­ной модели предельно неудачен. Чем R2 ближе к 1, тем удачнее регрессионная модель.

Из трех выбранных моделей значение R2 наименьшее у линейной. Значит она самая неудачная (нам и так это было понятно). Значения же R2 у двух других моделей до­статочно близки (разница меньше одной 0,01). Если опреде­лить погрешность решения данной задачи как 0,01, по кри­терию R2 эти модели нельзя разделить. Они одинаково удачны. Здесь могут вступить в силу качественные сообра­жения. Например, если считать, что наиболее существенно влияние концентрации угарного газа проявляется при боль­ших величинах, то, глядя на графики, предпочтение следу­ет отдать квадратичной модели. Она лучше отражает резкий рост заболеваемости при больших концентрациях примеси.





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2016-09-06; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1278 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Люди избавились бы от половины своих неприятностей, если бы договорились о значении слов. © Рене Декарт
==> читать все изречения...

2477 - | 2272 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.009 с.