Приклад розв’язання задачі Д.1. Другий рівень складності

Тягар D маси кг, одержавши в точці А початкову швидкість м/c, рухається по вигнутій трубі АВС, розташованій у вертикальній площині. Частини труби нахилені до горизонту під кутами 30⁰ (частина АВ) і 45⁰ (частина ВС) (рис. 21.2).

На ділянці АВ на тягар діють: сила ваги стала сила , величина якої Н, і сила опору середовища Н. Довжина ділянки АВ м. Тертям на ділянці АВ знехтувати.

 

Рис. 21. 2.

В точці В тягар, не змінюючи величини своєї швидкості, переходить на ділянку ВС. На цій ділянці на тягар діють: сила ваги сила тертя (коефіцієнт тертя ковзання ) і змінна сила , проекція якої Н.

Тягар вважати матеріальною точкою.

 

Дано: кг; м/c; H; м; ; Н; H.

 

Визначити: закон руху тягаря на ділянці ВС, тобто , де х =ВD.

 

Розв’язання. 1. Розглянемо рух тягаря на ділянці АВ. Покажемо на рис. 21.2 тягар в довільному положенні та прикладемо до нього всі діючи сили: , і . Проводимо вісь Аy за напрямом руху тягаря і складаємо диференціальне рівняння руху тягаря в проекції на цю вісь у вигляді:

. (1)

Далі розв’язання задачі таке, як показано в прикладі розв’язання задачі першого рівня складності.

Одержимо м/c.

 

2. Тепер розглянемо рух тягаря на ділянці ВС. Знайдена швидкість буде для руху по цій ділянці початковою швидкістю (). Покажемо тягар в довільному положенні та прикладемо до нього всі діючі сили: , і (рис. 21.2).

Проведемо вісь Вx за напрямом руху тягаря і складемо диференціальне рівняння руху тягаря в проекції на цю вісь:

; (8)

.

Сила тертя

.

Тоді

(9)

Поділимо обидві частини рівняння (9) на масу :

(10)

Розділимо змінні в рівнянні (10) і проінтегруємо:

;

(11)

Врахуємо, що , тоді

(12)

Розділимо змінні й знову проінтегруємо:

; (13)

. (14)

Для визначення сталих інтегрування С ₂ і С ₃ використаємо початкові умови: ; ; . Тоді, підставляючи початкові умови в рівняння (11) і (14), одержимо

; (15)

(16)

Рівняння руху тягаря на ділянці ВС приймає вигляд

;

Остаточно одержимо

, м.

 

Відповідь: , м.

 

Приклад розв’язання задачі Д.1. Третій рівень складності.

Тягар D маси кг, одержавши в точці А початкову швидкість м/c, рухається по вигнутій трубі АВС, розташованій у вертикальній площині. Частини труби нахилені до горизонту під кутами 30⁰ (частина АВ) і 45⁰ (частина ВС) (рис. 21.3).

На ділянці АВ на тягар діють: сила ваги стала сила , величина якої H, сила опору середовища Н і сила тертя ковзання . Довжина ділянки АВ м.

 

Рис. 21. 3.

 

В точці В тягар, не змінюючи величини своєї швидкості, переходить на ділянку ВС. На цій ділянці на тягар діють: сила ваги сила тертя , змінна сила , проекція якої Н, та сила опору середовища Н.

Тягар вважати матеріальною точкою.

 

Дано: кг; м/c; H; ; H; Н; м; ; Н.

Визначити: закон руху тягаря на ділянці ВС, тобто , де х =ВD.

 

Розв’язання. 1. Розглянемо рух тягаря на ділянці АВ. Покажемо на рис. 21.3 тягар в довільному положенні та прикладемо до нього всі діючи сили: , , і . Проводимо вісь Аy за напрямом руху тягаря і складаємо диференціальне рівняння руху тягаря в проекції на цю вісь у вигляді

; (1)

. (2)

Сила тертя ковзання

.

Тоді

; (3)

. (4)

Поділимо обидві частини рівняння (4) на :

(5)

Позначимо:

Тоді рівняння (5) приймає вигляд

(6)

Розділимо змінні в рівнянні (6) і проінтегруємо:

;

оскільки >0, то

(7)

Визначимо сталу інтегрування С ₁, враховуючи початкові умови: ; м/c; .

Тоді

Одержимо

;

. (8)

При :

= 9,2 м/c.

 

Примітки. Див. примітки до прикладу розв’язання задачі першого рівня складності.

 

2. Тепер розглянемо рух тягаря на ділянці ВС. Знайдена швидкість буде для руху по цій ділянці початковою швидкістю (). Покажемо тягар в довільному положенні та прикладемо до нього всі діючі сили: , , і (рис. 21.3).

Проведемо вісь Вx за напрямом руху тягаря і складемо диференціальне рівняння руху тягаря в проекції на цю вісь у вигляді

; (9)

. (10)

Сила тертя ковзання

.

Сила опору середовища

.

Рівняння (10) приймає вигляд

;

. (11)

Поділимо ліву і праву частини рівняння (11) на масу :

(12)

Позначимо:

; .

Тоді рівняння (12) приймає вигляд

. (13)

Загальне розв’язання такого неоднорідного диференціального рівняння

, (14)

де х ₁ – розв’язання однорідного рівняння

;

х ₂ – частинне розв’язання рівняння (13).

Знайдемо спочатку розв’язання х ₂. Зважаючи на вигляд правої частини рівняння (13), будемо шукати розв’язання х ₂ у вигляді

(15)

Для визначення сталої В знайдемо: ; .

Підставимо значення , і в рівняння (13) замість , і відповідно:

0+2 n ×0 - k ² B = b ₁;

. (16)

Для визначення вигляду розв’язання х ₁ складемо характеристичне рівняння:

. (17)

Розв’яжемо це квадратне рівняння: його дискримінант

;

корені квадратного рівняння

.

Тоді

. (18)

Загальне розв’язання

. (19)

 

Для визначення сталих інтегрування С ₁ і С ₂ визначимо ще

(20)

При ; тоді

; (21)

;

. (22)

 

Визначимо

; с^-1;

c^-1;

м/с²;

 

м; с^-1.

Запишемо систему рівнянь (21) і (22) у вигляді

Розв’яжемо систему рівнянь:

 

м;

м.

Остаточно одержимо рівняння руху тягаря на ділянці ВС у вигляді

або

, м.

Відповідь: , м.