Өң ң. F=(F, +, -, *. 1) ө ә t F ң () . a+bt ү, ұғ a b F өң , F ңң ү t- ққ өү қ ( ). a ә b ө a+bt өүң .
t- қ өү ң , қ ұ ( ), ғ ү ( ү) ө қғ ә ғ ғ. ө ү a b F ң
() a+0*t=a, 0+bt=bt
F ңғ t- қ ққ өүң қ қ :
K={a+bt|a, b
ғ +, -, * қ қ:
(II) (a+bt)+(c+dt)=(a+b)+(b+d)t
(III) -(a+bt)=(-a)+(-b)t
(IV) (a+bt)*(c+dt)=(ac-bd)+(ad+bc)t.
K = {K, +, -, *, 1}, ұғ 1 F өң , ққ өү қ.
7.1. 1) F=(F, +, -, *, 1) ң. K = {K, +, -, *, 1} F өң ққ өү ң , F ө ң ң .
ә. K ң Fөң ә ң ғ . , () (IV) ғ a b F-
a+b=(a+0*t)+(b+0*t)=(a+b)+ 0 *t=a+b;
-a=-(a+0*t)=(-a)+0*t=-a;
a*b=(a+0*t)*(b+0*t)=a*b+0*t=a*b;
қ, K ң 1 F өң . ә, F ң K ң .
F K
(, +, -) . , K ғ қ (() ) ә , F ң ә қ . F ңң ө K ғ қғ қ , (), () ғ K -ғ a+bt ү
(a+b*t)+0=(a+b*t)+(0+0*t)=(a+bt)
K -ғ a+bt ө қ-қққ , (a+b*t) + ((-a) + (-b)*t)=0+0*t=0. , (, *, 1) қ.
(, *, 1) . , K -ғ ө ((V) ) F ңғ өң . ө ғ K ү:
|
|
(a+b*t)*[(c+dt)*(e+ft)]=(a+bt)[(ce-df)+(cf+de)t]=(ace-adf-bcf-bde)+(acf+ade+bce-bdf)t;
[(a+bt)*(c+dt)]*(e+ft)=[(ac-bd)+(ad+bc)t](e+ft)=(ace-bde-adf-bcf)+(acf-bdf+ade+bce)t.
ә,
(a+bt)*[(c+dt)*(c+ft)]=[(a+bt)(c+dt)](e+ft).
F ңң K ғ ө қ , :
(a+bt)*1=(a+bt)(1+0*t)=a+bt.
, (, *, 1) қ.
K ғ ө ғ қ . :
[(a+bt)+(c+dt)]*(e+ft)=[(a+c)+(b+d)t](e+ft)=(ae+ce-bf-df)+(af+cf+be+de)t;
(a+bt)*(e+ft)+(c+dt)*(e+ft)=[(ae-bf)+(af+be)t]+[(ce-df)+(cf+de)t]=(ae-bf+ce-df)+(af+be+cf+de)t.
ә,
[(a+bt)+(c+dt)]*(c+ft)=(a+bt)*(e+ft)+(c+dt)*(e+ft).
, K o ң ә. (1)- F ө K ңң ң .
Қ. F=(F, +, -, *. 1) ә -1- ө . , K ң F ңң ң :
(1) F K -ңөң ө;
(2) K - u, u2=-1;
(3) K өң ә z z=a+bu ү , ұғ a,b F
Ұ.7,2 F ң, ә ң -1- . K F өң ң ә u ңғ қң (2) ә (3) қғ K өң . K өң ө z- ғ қ z=a+bu ү , ұғ a, b F
ә. Z K ңң . z-ң ү ққ:
(4) z=a+bu, z=c+du,
ұғ a,b,c,d b , a+bu=c+du ә u= ә, u= ә =-1 ұ F өң ә ң -1- қ . , ғ ү . ә, b=d ә (4) a=c.
.7,3 F=(F, +, -, *. 1) ә ң -1- ө . F өң ң ү.
ә. t F ңғ қ қ өүң ғ :
(1) K={a+bt|a,b
ғ ң +, -, * ң қ () (V) ң ө қ. ғғ K :
K =
ң ә Ғ ө K ңң ң :
(2) F
K ң ө ә. (2)- F ңң ә K ңң , қ . -ғ ү K - ғ қ-қ ө ғ қ. a+b 0 , ұғ a, b F. a b≠0. қ , ғ ә (a/b)2=-1 ( ү . () ә (V) :
|
|
ғ, a+bt K қ қ . ә, K ң ө .
-ғ t қғ. , (V) ә () ғ :
t*t=(0+1*t)(0+1*t)=-1+0*t=-1.
, (2)- F ң K өң ө . ә, K ө F өң ң .
.7,4 F=(F, +, -, *. 1) ә ң -1- ө . K K ` - F өң ң . K `ө K ңң , F өң қ ө қ.
ә. K -u , ә K өң қ ғ ү a+bu,ұғ a,b . ә, K ' t , t2=-1 ә K ' өғ ү a+bt, ұғ a,b -ң '- ө қ , K ү a+buә ' ү a+bt қ. қ, ψ K өң қ қ қ. , :
(a+bu)+(c+du)=(a+c)+(b+d)u,
-(a+bu)=(-a)+(-b)u;
(a+bu)(c+du)=(ac-bd)+(ad+bc)u,
қ, F өң ө ү ψ ңң ' ңғ қ , F өң қ ө ө қ.
ө. ө өң ң. ә, қ ө қ ң -1- . 7.3. ғ қ ң ң R . 7.4. R қ өң ң .
Қ. ө қ өң ң .
- қ ө . ө, өң ң ө . ңң ғ қ . ғң . қ , ә -ғ z ү z=a+bi, ұғ a, b . ұ ө z ң қ . .
.7,5 ө, Rқ өң ң, u a, b, c, d - қ .
(1) a+bi=c+di ғ, a=c ә b=d;
(2) (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;
(3) -(a+bi)=(-a)+(-b)I;
(4) (a+bi)(c+di)=(ac-bd)(ad+bc)i
(5) a+bi (a+bi)-1=
ә. a+bi=c+di . b=d, a=c. b 2=-1, ү . ә, b ғ ү . ң ғқ, (2), (3) ә (4) ң .
a+bi . (1) өң өң ө ғқ, (a+bi)(a-bi)= .
|
|
ә: (a+bi)-1=
Қ. қ ө ң ө .
қ ңң ө . F=<F, +, -, *, 1> - қ ө . 0, 1 ә F ғ +, -, n=1++1 қ ұқ. ә F қ ү ғ . F ғ ө қ ұқ, ғ mn-1 m/nү қ ұ. ә, F қ ң Q ғ . Q ғ F ңң қ ұқ ә Q-ғ қғ . ғ, , Q=<Q, +, -, *, 1>, F өң ө . ә, F қ ң Q ң ұ.
Қ. қ ң өң ң .
, , ң қ . ңң ң , ә қ ө .
ғ . z=a+bi , ұғ a, b , a bi z қ .
Қ. K z=a+biә z=a-bi ғ .
ңң өң қ өң ө.
.7,6 z ә z' , :
(1)
(2)
(3) *z;
(4)
(5) z= ғ, z
(6) z=a+bi, z = .
.7,7 z ғ z' өң ө өң , ө қ.
.
Қ. a+bi (a, b ң қ қ ү a2+b2 , ғ (a2+b2)1/2 . ң z=a+bi қ |z| |a+bi| қ . , қғ ә; |z|2=a2+b2.
7.8. ү z ә u
(1) |z|2=z
(2) |z|=0 ғ, z=0;
(3) |zu|=|z|*|u|;
(4) |z-1||z|-1 z
(5) |z+u|
(6) |z|-|u| |z+u|;
(7) ||z|-|u||
ә. (1) z=a+bi, 2
(2) |z|=|a+bi|=0, |z|2=a2+b2=0. a, b қ , ғ a2+b2=0 a=b=0, t.e. z=0.
(3) (1)
|zu|2=(zu)()=|z|2|u|2=(|z|*|u|)2.
ң ғ |zu|2=(|z|*|u|)2 (3).
(4) (3) , z ғ
|z*z-1|=|z|*|z-1|=1.
, |z-1|=|z|-1
(5) (1)
|z+1|2=(z+1)*( 2+z+ +1.
қ, z=a+bi, z+ =2a 2(a2+b2)1/2=2|z|. қ |z+1|2 (|z|+1)2; , |z+1|≤|z|+1. (3) ә ғ ң қ, u
|z+u|=|u(zu-1+1)|=|u||zu-1+1| |u|(|zu-1|+1)=|u|(|z||u|-1+1).
, |z+u|≤|z|+|u|.
(6) қ z=-u+(z+u) ә |-u|=|u|,
|
|
(5)|z|≤|-u|+|z+u|=|u|+|z+u|. ,
|z|-|u|≤|z+u|
1)
2) ;
2)
Қ:
ғ қ қ . қ ққ ңң ә ңң ә қ . ңң қ қ. , 2+1=0 ә 2-4+5=0 қ ңң қ қ . қ ңң қ ң қ . ұ ә қ . , +=, (,∈N) ү , ө ә ү , ү ң. ү = ңң , ө ұғ , ққ. ң ң, 2-2=0 ң қ , ң ө , ұғ , қ ң. , N , Z-ү , Q- , R-қ ұғ , ү қ ө. N Z Q R қ, ңң ү , қ ң қ . 2+1=0 ң ққ. ұ ңң қ ү қ. Ө -1- ң қ . қ -1- ң ң ұғ қ. ң i қ . i2=-1 ң . i . 2+1=0, ғ 2=-1 ңң 1=i, 2=-i ө. , ө ғ i2=-1 ғқ, i i=-1 ң қ. ұ қ қ ұғ қғ ұ . Ө, √ қ ү ққ ә ұ ү ғ ғ қ, ң ә . қ ғ ү ұғ -1 өң ғ қ. ғ, i=-1 ң ғ ү ө қ. , -1 ө, ғ ү ұғ қ қ, ғ ң ғ қ. >0 , - ө ү : -= i. ғ қ . қ. ә қ , +i ө ( ) . ұ - ң қ ө , i ө . : a=Rea+bi, b=Ima+bi. ғ қ.1. ң қ ө қ ө, ө ө ң , ұ ө ң , ғ z=a+bi, w=c+di ү a=c, b=d ң , z ә w ө ң ә : z=w.2. z=a+bi ә w=c+di ң қ a+c+(b+d)i , ғ z+w=a+ib+c+id=a+c+ib+d. , қ ү ң қ ө қ ө, қ ө қ, . z-w=a+ib-c+id=a-c+i(b-d)
z=a+bi ә w=c+di ң ө ac-bd+i(ad+bc) ү , ғ z∙w=a+ib∙c+id=ac-bd+i(ad+bc). ө өү өү ө , i2=-1 ң , .z=a+ib ә z=a-ib ү ө ү . ү ң ө қ . ң қ өң , өң ң қ-қ , қ-қ . Қ-қ ң қ 0- ң. z=a+ib ү a2+b2 ң ә z қ , ғ z =a2+b2. ә z ң ү z ү z∙z=z2 ң ө. - ө ө :zw=a+ibc+id=ac+bd+i(bc-ad)c2+d2 =ac+bdc2+d2+bc-adc2+d2i
|
|
ғ ә:
1. ..
2. ..
3. ..