Розрахунки кіл змінного струму символічним методом

1. Дії з комплексними числами.

2. Вираження синусоїдних величин комплексними числами.

3. Закон Ома. Комплексні значення опорів та провідностей.

4. Визначення повної потужності за комплексами напруги і струму.

5. Розрахунок простих електричних кіл змінного струму символічним методом.

6. Розрахунок складних електричних кіл.

Дом. завд. [1] ст. 273-283 зад. 15.4 повторити стор. 71-92

1. Комплексним числом називають алгебраїчну суму матеріального і уявного чисел.

Геометричне комплексне число зображують у вигляді вектора в системі матеріальній та уявній осей. Комплексне число має три форми запису:

а) алгебраїчну А=А'+jА"; А=-А'+jА''';

б) тригонометричну А== |А|(соs α± jsin α)

в) показову А= |А| е^±^j^α

де А - комплексне число; |А| модуль або

довжина вектора; е - основа натуральногологарифму; α - кут між матеріальною віссю та відрізком, який зображує комплексне число.

Відлік кута α ведуть від матеріальної вісі проти годинникової стрілки, виражають у радіанах tg α = A”/A’.

Сполучені комплекси - відрізняються один від одного знаком перед уявною частиною, наприклад 6+j8 та 6-j8, або 20(соs 37°+jsin37°) та 20(соs37°-jsin37°);

10е⁺^j^30°та 10е^-^j^30°.

Геометрична величина j - поворотний множник на кут π/2 проти стрілки годинника.

Додавання та віднімання двох комплексних чисел виконують тільки у алгебраїчній формі:

А=(6+j8)+(4+j3)⁼(6+4)+ j(8+3)=10+11j; А=(6-j8)-(4-j3)=(6-4)+j(-8+3)=2-j5

Множення та ділення двох комплексних чисел можливо виконувати як у алгебраїчній, так і у показовій формах.

Нехай А1=12-j16; А2=4+j3; при множенні:

А=(12-j1б)(4+j3)=48-j64+j36+48=96-j28 при діленні

A=(12-j16)/(4-jЗ)= (12-j16)*(4-jЗ)/(4+j3)* (4-j3)= (48-j64-j36+j² 48)/(4²+3²)=-j100/25=-j4

Нехай А1=20е^-^j⁵^3°; А2=5e^j^37°

При множенні А=20е^—^j^53°* 5е^j^37° =20 *5е^j^(-53°+37°)=100e^-^j¹⁶

При діленні А=20е^-^53°/5е^j^37° =(20/5) е^-^j^(-53°+37°)=4e^-^j^90°

Зміна форми запису комплексного числа

1) Перетворення алгебраїчної форми у показникову

А=5е^j^37°; ^А=|А|е^jarctg^α

2) Перетворення показникової форми у алгебраїчну A=10e^-^j^37°

2. Синусоїдну функцію графічно можливо зобразити вектором, який обертається. Комплексне число також можливо зобразити вектором і визначити його модуль і фазу (аргумент - кут α), тобто будь яка синусоїдна функція може бути зображена комплексним числом.

При зображенні електричних величин комплексними числами усі формули, закони і методи розрахунків кіл постійного струму можливо застосувати для кіл змінного струму.

Напруга, виражена у комплексному вигляді, позначається великою літерою з крапкою над нею (), а її модуль тією ж літерою без крапки (U). Модуль комплексної напруги є діючим значенням напруги.

Якщо напруга u=Umsin (ωt+ψ), то вектор цієї напруги має довжину U= Um/ , то кут нахилу вектора до осі абсцис ψ. Цей вектор можливо виразити комплексним числом з модулем, який дорівнює діючому значенню, а аргументом - начальній фазі:

=Uе^jψ Якщо U = Umsin (ωt-ψ), то = Uе^-^jψ

Якщо U= Umsin ωt,то =Uе^j⁰ =U

Переводячи цей вираз у алгебраїчну форму, отримаємо =Uе^jψ=U(соsφ+jsinφ)=Uсоsψ+jUsinψ, оскільки Uсоsψ =Uа, Usinψ=Up, то =Uа+ jUp

тобто матеріальна частина комплексного числа - це активна складова напруги, а уявна частина - її реактивна складова. Знак плюс у реактивної складової значить індуктивний, а знак мінус - ємнісний характер кола.

Усі вирази, виведені для напруги, можливо віднести і до струму, де - комплекс струму, І - модуль комплексу струму.

Фаза струму відносно напруги кола залежить від характера навантаження, тобто підключених до кача елементів.

Для rL - кола: u = Umsin ωt; і = Imsin (ωt-ψ); = Uе^j⁰ = U; = Іе^-^jφабо І = Іa-j Iр

Для rС кола: u = Umsin ωt; і = Imsin (ωt+ψ); = Uе^j⁰ = U; = Іе^-^jφ=Іa+j Iр