Статистика – контрольные работы
Содержание
Указания для выбора контрольных заданий.....................................4
Средние величины...............................................................................5
Вариационные ряды распределения..................................................10
Ряды динамики....................................................................................20
Индексы...............................................................................................28
Статистическое изучение взаимосвязей............................................34
Выборочное наблюдение....................................................................43
Список литературы.............................................................................48
Приложение А
Приложение Б
Приложение В
Указания для выбора контрольных заданий
В процессе изучения общего курса статистики студент выполняет и в установленные для него сроки представляет контрольную работу.
Цель контрольной работы - выявить, в какой степени студентом усвоен учебный материал, умеет ли он применять на практике изученные приемы обработки статистических данных.
Выполняя работу, студент должен подробно выполнить все расчеты, не ограничиваясь только приведением ответов; применяя формулы, необходимо привести эти формулы и указать, что обозначают символы; сформулировать краткие выводы. Расчеты могут быть выполнены вручную или с применением компьютеров.
В конце работы необходимо поместить список использованной литературы.
Все страницы работы следует пронумеровать и на них оставить поля; работа должна быть написана аккуратно и разборчиво (принимается только рукописный вариант). На обложке тетради написать фамилию, имя и отчество полностью, факультет, курс, домашний адрес, номер зачетной книжки.
Настоящее задание содержит семьдесят отдельных задач. Студент решает только семь задач в соответствии с указаниями, данными ниже.
Таблица 1 - Указания для выбора вариантов задач
| Последняя цифра номера зачетной книжки студента | Номер задачи | ||||||
Замена задач при выполнении контрольной работы не допускается. Студент должен представлять решение именно тех задач, номера которых соответствуют указаниям таблицы 1.
По всем вопросам, возникающим при выполнении настоящей контрольной работы, следует обращаться на кафедру статистики института.
Средние величины
Методические указания к решению типовых задач
1-10
Обобщающей характеристикой совокупности однотипных явлений по изучаемому признаку является средняя величина. Она должна вычисляться с учетом экономического содержания определяемого показателя.
Наиболее широкий круг свойств совокупностей данных описывается определяющей функцией степенного вида: 
, принимающей различные выражения с изменением показателя z. Они представлены в таблице 2.
Таблица 2 - Виды средних величин
| Значение z | Определяющие функции | Формулы средних | Наименование средних | Обозначения средних |
| Общие | ||||
| - |
| 
| Степенная | 
|
| Частные | ||||
| -1 | 
| 
| Гармоническая |  h, -1
|
| w=х0 | 
| Геометрическая | g, 0
| |
| w=х | 
| Арифметическая | a, 1
| |
| w=х2 | 
| Квадратическая | q, 2
| |
| w=х3 | 
| Кубическая | кубич, 3
| |
| w=х4 | 
| Биквадратическая | бикв,, 4
|
Средняя величина связана с показателем степени следующим образом:
h < g < a < q < кубич < бикв
Свойства средних возрастать с повышением показателей степени определяющей функции называется правилом можарантности.
Расчет приведенных средних связан с анализом совокупностей, в которых каждое из индивидуальных значений осредненного признака, называемых вариантами, встречается только один раз. Когда значения каждого варианта встречается неоднократно, необходимо исчисление взвешенных средних. В общем виде взвешенные степенные средние описываются выражением:
,
где х - варианты осредняемого признака;
f - веса вариантов.
Если исследователь имеет дело с данными в виде рядов распределения или с интервальными рядами (признак сгруппирован), то определяется средняя взвешенная.
.
Чтобы применить эту формулу необходимо варианты признака в интервальном ряду выразить одним числом (дискретным) за такое дискретное число принимается средняя арифметическая простая из верхнего и нижнего значения интервала. Так, для первой группы дискретная величина х будет равна:
,
где хн, хв - нижнее и верхнее значение признака в интервале соответственно.
Таким образом, средняя взвешенная, как видно из формулы зависит не только от значений признака, а также от частот, то есть от состава совокупности, от ее структуры.
Частотами могут быть абсолютные и относительные величины, взятые в процентах или коэффициентах. Метод расчета средней и конечный результат от этого не изменится.
Если весами являются частоты, выраженные в коэффициентах, то вычисления упрощаются. Так как сумма коэффициентов всегда равна единице, то расчет средней сводится к определению суммы произведений вариант на частоты (в данном случае коэффициенты).
Условия для задач 1-10
Задача 1 - Имеются следующие данные о дальности перевозок и грузообороте автомашин за день:
Таблица 3
| Номер грузового автомобиля | Средняя дальность перевозки 1т груза, км | Грузооборот, тыс. км |
| А-715 | ||
| Б-813 | ||
| С-915 | ||
| М-412 | ||
| К-613 |
Определить среднюю дальность перевозки 1т груза в целом по всей группе автомашин.
Задача 2 - Имеются данные по заводам о выполнении годового плана по выпуску продукции.
Таблица 4
| Номер завода | Фактический выпуск продукции, тыс. руб. | Процент выполнения плана выпуска продукции, % |
Определить средний процент выполнения плана
Задача 3 - Имеются данные по заводу о выполнении годового плана по выпуску продукции.
Таблица 5
| Номер завода | Плановый выход продукции, тыс. руб. | Процент выполнения плана выпуска продукции, % |
Определить средний процент выполнения плана.
Задача 4. Имеются данные лабораторных испытаний работы фильтров.
Таблица 6
| Номер фильтра | Скорость фильтрации, мл/мин | Количество профильтрованной жидкости, мл |
Определить среднюю скорость фильтрации по группе фильтров.
Задача 5 - Имеются отчетные данные по цехам завода за год.
Таблица 7
| Номер цеха | Среднегодовая численность рабочих, чел. | Средняя выработка продукции на одного рабочего, тыс. руб. | Средняя месячная зарплата рабочего, руб. |
| 1,9 | |||
| 1,2 | |||
| 2,6 | |||
| 2,4 |
Определить среднюю выработку на одного рабочего по заводу и среднюю заработную плату.
Задача 6 - Имеются следующие данные о распределении обработанных деталей по их фактической трудоемкости.
Таблица 8
| Время, затраченное на обработку детали, мин | Число деталей |
Определить среднюю фактическую трудоемкость обработки одной детали.
Задача 7 - Имеются данные о средней дальности перевозки 1т груза и количестве перевезенных тонн.
Таблица 9
| Номер грузового автомобиля | Средняя дальность перевозки 1т груза, км | Количество перевезенных тонн |
| К-410 | ||
| М-180 | ||
| С-915 | ||
| Л-500 | ||
| Н-720 |
Определить среднюю дальность перевозки 1 тонн груза.
Задача 8 - Имеются данные о средних затратах времени на обработку одной детали и общих затратах времени по пяти рабочим цеха за день.
Таблица 10
| Рабочие | Средние затраты времени на одну деталь, мин. | Всего затрачено времени, час. |
| 8,2 | ||
| 8,1 | ||
| 8,2 | ||
| 7,6 | ||
| 7,2 |
Определить среднюю фактическую трудоемкость обработки одной детали.
Задача 9 - Имеются следующие данные о стоимости продукции 1 сорта и ее удельном весе.
Таблица 11
| Номер цеха | Удельный вес, продукции 1 сорта, % | Стоимость продукции 1 сорта, тыс. руб. |
Определить средний удельный вес продукции 1сорта в целом по заводу.
Задача 10 - По заводу имеются следующие данные о стоимости и удельном весе продукции 1 сорта.
Таблица 12
| Номер цеха | Удельный вес продукции 1 сорта, % | Стоимость всей продукции, тыс. руб. |
Определить средний удельный вес продукции 1 сорта в целом по заводу.
ВАРИАЦИОННЫЕ РЯДЫ РАСПРЕДЕЛИЯ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ
11 - 20
Группировка позволяет получить такие результаты, по которым выявляется состав совокупности, характерные черты и свойства типичных явлений, обнаружить закономерности и взаимосвязи.
Первым и наиболее простым способом обобщения статистических данных являются ряды распределения.
Статистическим рядом распределения называют численное распределение единиц совокупности по изучаемому признаку. В зависимости от признака ряды могут быть вариационные (количественные) и атрибутивные.
Количественные признаки - это признаки, имеющие количественное выражение у отдельных единиц совокупности.
Атрибутивные признаки - это признаки, не имеющие количественной меры.
Вариационные ряды могут быть дискретными или непрерывными. Дискретный ряд распределения - это ряд, в котором численное распределение признака выражено одним конечным числом, например, распределение рабочих по разрядам:
| Тарифный разряд | Число рабочих, чел. |
Непрерывные ряды распределения - это ряды, в которых непрерывные признаки могут отличаться друг от друга на сколь угодно малую величину и в определенных границах принимать любые значения, например, заработная плата рабочих, стоимость основных производственных фондов и др. Когда число вариант рядов велико для дискретного признака и значения вариант не повторяются для непрерывного признака, строятся интервальные ряды распределения.
Интервальный ряд распределения это ряд, в котором значения признака заданы в виде интервала, например, предыдущий пример можно представить в виде интервала:
| Тарифный разряд | Число рабочих, чел. |
| 1 - 2 | |
| 3 - 4 | |
| 5 - 6 |
При построении интервальных рядов распределения необходимо определить число групп, какие взять интервалы (равные, неравные, закрытые, открытые).
Число групп можно определить по формуле:
n = 1 + 3,332 lg N
где N - число единиц совокупности;
n - число групп.
Специальные методические исследования позволили установить, что наиболее четко закономерности выступают в количественных группировках, в которых не более 7 - 10 групп.
Для определения оптимального числа групп в зависимости от количества наблюдений можно воспользоваться следующей шкалой:
| Число наблюдений | Оптимальное число групп |
| до 40 | |
| 40 - 60 | 3 - 4 |
| 60 - 100 | 4 - 5 |
| 100 - 300 | 5 - 7 |
| свыше 300 | 8 - 10 |
Равные интервалы применяют в том случае, когда максимальное значение признака превышает не более, чем в 10 раз минимальное значение и интервал определяют:
При большом колебании группировочного признака используют неравные интервалы, построенные на принципе кратности. Обычно последующие интервалы возрастают в 2-3 раза. Их недостаток заключается в том, что объекты с разным уровнем экономического развития часто попадают в одну группу. Избежать этого можно путем применения специализированных интервалов, т.е. интервалов, отображающих экономическое содержание групп.
По построению интервалы бывают замкнутые и открытые. В замкнутых (закрытых) интервалах верхняя и нижняя границы их имеют определенное числовое выражение, например, заработная плата на одного рабочего 600-700 рублей, 700-800 рублей, 800-900 рублей и т.д.
В открытых интервалах нижняя и верхняя группы не имеют строго очерченных численных границ, например:
| Группы магазинов по объему товарооборота, млн. руб. | Количество магазинов |
| до 25 | |
| 25-50 | |
| 50-120 | |
| 120-180 | |
| 180 и более | |
| Итого |
После образования интервалов необходимо образовать группы частот (повторяемости явлений). Это возможно на основе различных методик. Наиболее простая сводится к тому, что предварительно составляется ранжированный ряд распределения, то есть ряд, в котором значение признака располагается в возрастающем или убывающем порядке и счет ведется по группам.
Применение средних и индивидуальных величин для характеристики изучаемой совокупности - необходимый прием разработки рациональных группировок.
Для дискретного ряда распределения средняя арифметическая исчисляется по формуле:
(простая средняя арифметическая).
Для интервальных рядов средняя арифметическая определяется:
(взвешенная средняя арифметическая),
где - варианты;
n - число наблюдений;
f - частота (вес или повторение).
Вариационный ряд характеризуется еще одним средним показателем - медианой. Медиана - показатель средней величины вариационного ряда. Она определяется по формуле:
где fme - нижняя граница медианного интервала;
i - величина интервала;
Sme-1 - сумма накопленных частот до медианного интервала.
Абсолютные величины каждой изучаемой единицы совокупности различны, что связано с влиянием на нее большого количества различных факторов. Свойство единиц отличаться друг от друга называют изменчивостью признака. Для погашения индивидуальных отклонений используют средние величины, характеризующие основные свойства изучаемых объектов.
Однако средних величин недостаточно. Для характеристики совокупности нужно знать, как группируются признаки вокруг средней величины для чего используются показатели среднего квадратического отклонения и коэффициента вариации.
Среднее квадратическое отклонение характеризует степень изменчивости признака в абсолютных величинах и определяется по формуле:
(для дискретного ряда)
для интервального ряда
Для нормального ряда распределения отклонение от средней () относят на три сигмы (3s) влево и вправо.
Порядок расчета среднеквадратического отклонения:
а) рассчитывают среднюю арифметическую ();
б) определяют отклонения от средней величины (х- 
);
в) отклонения возводят в квадрат (х- )2;
г) квадрат каждого отклонения умножают на частоту (х- )2f;
д) суммируют произведение квадратов отклонений от средней величины на частоту 
;
е) сумму отклонений делят на сумму частот
;
ж) определяют квадратическое отклонение
Изменчивость признака в вариационных рядах можно определить не только в абсолютных, но и в относительных величинах. Коэффициент вариации определяется по формуле:
или 
Он показывает на сколько процентов в среднем отклоняются значения признака ряда от средней величины. Изменчивость признака считается незначительной, если коэффициент вариации не более 10%. При коэффициенте вариации от 11 до 30% изменчивость будет средней, а свыше 30 - большой. Исследования показывают, что при коэффициенте вариации не более 15% нет необходимости определять степень достоверности получения статистических данных и ряд является однородным. По мнению других авторов [4] эти границы могут несколько отличаться, но не существенно.
При разработке статистических данных целесообразно использовать графики. Они дают наглядное представление об изменчивости явлений. График - условное изображение статистической совокупности с помощью геометрических образов (точек, линий, поверхностей и т.д.) и фигур - знаков. Вариационные ряды изображаются в виде гистограммы и полигона (для интервальных рядов - гистограммы, для дискретных - полигон).
Фактические вариационные ряды необходимо оценивать на основе критериев согласия, на сколько они согласуются с нормальным распределением. Существуют несколько критериев согласия:
- критерий А.Н. Колмогорова;
- критерий 
(хи- квадрат);
- критерий В.И. Романовского;
- критерий Ястремского и др.
Рассмотрим оценку ряда распределения на основе критерия А.Н. Колмогорова. Он основан на сравнении кумулятивных частот в вариационном ряду:
где D - максимальное отклонение суммы фактических частот от суммы теоретических частот;
n - число уровней ряда.
А.Н. Колмогоров установил, что когда n неограниченно возрастает, вероятность того, что D будет меньше величины 
приближается к значениям функции 
. По таблицам вероятностей k(l) находят величину l, соответствующую данной величине вероятности k(l).
Порядок расчета критерия Колмогорова:
а) определяются отклонения от средней величины (х- );
б) рассчитывается среднее квадратическое отклонение;
;
в) определяется нормированное отклонение;
г) в зависимости от расчетного значения t по таблицам значения функции нормального распределения (приложение А) находим значение ft (f - табличное);
д) рассчитывается теоретические значения частот fтеор. по формуле:
где i - интервал;
n - число наблюдений;
s - среднеквадратическое отклонение;
е) определяются кумулятивные фактические и теоретически частоты;
ж) на основе фактических и теоретических частот рассчитывается разница 
;
з) рассчитывается критерий Колмогорова для определения соответствия эмпирического распределения нормальному.
С этой целью задается уровень значимости a, например, a=5% уровнем, наиболее часто используемом экономистами. Для этого уровня значимости по таблицам значений функции А.Н. Колмогорова (приложение Б) находится l=1,36. Зная количество уровней ряда n находится отношение 
. На основе рассчитанной разницы фактических и теоретических частот (пункт ж) выбирается абсолютная максимальная величина D. Она сравнивается со значением . Если D< , то с вероятностью Р, равной 1-a, то есть в нашем случае 1-0,05=0,95, можно утверждать, что рассматриваемое распределение следует закону нормального распределения. Если же D> , то эмпирическое распределение не следует закону нормального распределения.
Условия для задач 11-20
По приведенным ниже данным:
а) построить дискретный или интервальный вариационный ряд (число групп равно десяти, интервалы равные);
б) для полученного интервального ряда вычислить с точностью до 0,1
1)среднюю арифметическую;
2) медиану;
3) коэффициент вариации;
4) среднее квадратическое отклонение;
в) построить графики ряда (полигон и гистограмму);
г) определить, насколько фактическое распределение согласуется с нормальным;
д) изложить письменно основное содержание выполненной работы, указав на значение и принципы вычисления показателей (средней арифметической, среднего квадратического отклонения, медианы и коэффициента вариации), а также выводы, которые можно сделать на основе вычисленных показателей.
Задача 11 - Имеются данные о выполнении норм выработки 100 рабочими (в %):
Таблица 13
| 105,7 | 130,9 | 85,4 | 128,2 | 156,2 | 174,1 | 120,6 | 160,7 | 134,0 | 147,2 |
| 135,4 | 129,2 | 111,1 | 129,1 | 125,1 | 104,4 | 170,1 | 106,6 | 124,3 | 75,4 |
| 76,1 | 130,1 | 137,0 | 145,0 | 128,3 | 100,0 | 178,8 | 132,0 | 108,9 | 115,6 |
| 129,1 | 75,1 | 115,2 | 150,2 | 172,0 | 123,3 | 111,5 | 150,1 | 124,0 | 112,4 |
| 101,2 | 85,0 | 106,4 | 172,3 | 140,1 | 107,5 | 98,0 | 138,1 | 108,0 | 122,4 |
| 101,6 | 102,1 | 115,2 | 120,0 | 98,0 | 110,0 | 154,2 | 115,0 | 99,1 | 95,5 |
| 81,0 | 127,1 | 160,3 | 140,1 | 90,0 | 176,0 | 75,2 | 176,0 | 109,2 | 112,3 |
| 118,2 | 114,9 | 128,6 | 179,1 | 109,1 | 90,2 | 139,8 | 105,1 | 153,1 | 152,3 |
| 112,0 | 75,1 | 180,0 | 114,0 | 165,0 | 150,0 | 151,1 | 149,8 | 129,7 | 102,0 |
| 110,0 | 116,9 | 118,0 | 125,5 | 125,5 | 110,1 | 126,2 | 116,5 | 118,0 | 116,5 |
Задача 12 - Имеются следующие данные о стоимости основных фондов 100 заводов (в млн. руб.):
Таблица 14
| 18,0 | 39,3 | 21,0 | 21,0 | 15,0 | 24,8 | 19,3 | 17,6 | 21,0 | 20,0 |
| 30,1 | 31,5 | 18,5 | 22,5 | 29,9 | 27,2 | 35,2 | 24,8 | 32,9 | 29,4 |
| 30,9 | 21,5 | 25,4 | 19,0 | 12,0 | 26,2 | 21,3 | 38,5 | 19,3 | 41,5 |
| 12,5 | 29,2 | 24,2 | 28,9 | 28,2 | 25,3 | 38,2 | 36,2 | 23,4 | 40,0 |
| 21,8 | 18,0 | 26,2 | 26,9 | 23,4 | 31,6 | 21,5 | 22,1 | 34,3 | 30,0 |
| 27,0 | 28,7 | 19,5 | 36,0 | 25,7 | 26,2 | 25,7 | 23,8 | 23,9 | 23,3 |
| 22,6 | 22,1 | 24,9 | 25,4 | 13,0 | 22,6 | 27,6 | 28,0 | 19,0 | 27,1 |
| 15,6 | 15,0 | 32,7 | 32,1 | 25,6 | 16,2 | 26,8 | 20,1 | 20,4 | 31,7 |
| 22,0 | 22,6 | 19,6 | 26,7 | 16,7 | 22,8 | 28,7 | 21,2 | 33,0 | 22,0 |
| 33,6 | 29,2 | 38,8 | 26,0 | 24,8 | 31,0 | 27,7 | 22,1 | 34,0 | 31,0 |
Задача 13 - Имеются следующие данные о пробеге 100 шин нового типа (в тыс. км):
Таблица 15
| 40,1 | 42,1 | 44,2 | 48,9 | 40,6 | 43,9 | 43,2 | 43,7 | 49,4 | 43,7 |
| 47,5 | 42,6 | 41,3 | 42,3 | 46,9 | 46,7 | 38,0 | 46,2 | 44,8 | 46,1 |
| 46,9 | 41,9 | 48,2 | 44,4 | 46,4 | 44,7 | 44,8 | 43,2 | 51,2 | 40,0 |
| 45,8 | 43,9 | 49,8 | 47,7 | 44,5 | 43,6 | 44,5 | 46,1 | 44,5 | 46,1 |
| 47,2 | 46,7 | 47,9 | 47,7 | 43,4 | 46,3 | 44,5 | 46,1 | 47,9 | 43,7 |
| 45,2 | 50,2 | 42,6 | 45,5 | 40,4 | 43,1 | 43,2 | 43,7 | 40,3 | 44,5 |
| 44,1 | 43,6 | 49,1 | 42,8 | 43,7 | 41,8 | 46,6 | 44,8 | 43,2 | 46,6 |
| 42,9 | 48,8 | 46,1 | 39,1 | 41,5 | 45,5 | 47,9 | 47,3 | 47,4 | 40,3 |
| 47,0 | 45,0 | 50,8 | 39,4 | 43,3 | 48,8 | 40,0 | 44,8 | 49,9 | |
| 52,0 | 46,0 | 51,2 | 40,7 | 43,9 | 44,8 | 43,7 | 49,4 | 43,7 | 44,8 |
Задача 14 - Имеются следующие данные о средней дневной заработной плате 100 рабочих сборочного цеха (в руб.):
Таблица 16
| 5,5 | 3,3 | 4,9 | 4,9 | 4,7 | 6,4 | 4,6 | 4,6 | 5,0 | 5,3 |
| 7,4 | 3,5 | 4,1 | 5,9 | 3,4 | 4,7 | 4,0 | 3,4 | 6,5 | 5,0 |
| 4,0 | 4,4 | 6,2 | 2,7 | 4,0 | 4,1 | 3,7 | 5,4 | 4,5 | 6,1 |
| 3,0 | 4,5 | 55,3 | 4,4 | 4,2 | 4,0 | 6,8 | 5,2 | 5,8 | 5,1 |
| 3,6 | 5,9 | 4,1 | 4,7 | 2,8 | 4,9 | 3,3 | 3,1 | 5,5 | 5,8 |
| 6,0 | 4,0 | 3,7 | 5,0 | 5,0 | 6,3 | 3,6 | 3,1 | 6,3 | 2,6 |
| 3,5 | 3,6 | 5,9 | 3,7 | 5,4 | 6,6 | 2,9 | 4,2 | 5,5 | 4,1 |
| 4,1 | 3,7 | 4,0 | 5,5 | 5,3 | 5,7 | 4,3 | 4,4 | 3,8 | 5,5 |
| 4,3 | 4,7 | 3,6 | 5,1 | 4,5 | 4,8 | 4,2 | 4,8 | 3,8 | 4,2 |
| 2,9 | 5,7 | 3,8 | 3,6 | 5,2 | 3,2 | 5,6 | 2,4 | 3,4 | 2,9 |
Задача 15 - Располагаем следующими данными о результатах испытания ударной вязкости 100 цилиндрических образцов из малоуглеродистой стали (в кг м/см2):
Таблица 17
| 11,4 | 11,7 | 11,5 | 11,3 | 11,3 | 11,7 | 11,2 | 11,8 | 11,5 | 12,2 |
| 11,0 | 10,4 | 11,4 | 11,7 | 11,5 | 11,2 | 11,6 | 11,2 | 11,2 | 11,4 |
| 12,1 | 11,6 | 11,5 | 11,5 | 11,5 | 11,5 | 11,4 | 10,9 | 11,7 | 11,8 |
| 11,4 | 11,8 | 10,8 | 11,4 | 11,6 | 12,0 | 11,3 | 11,7 | 11,5 | 11,6 |
| 11,3 | 11,2 | 11,5 | 11,3 | 11,4 | 11,6 | 11,1 | 11,2 | 11,1 | 11,4 |
| 10,9 | 10,8 | 11,4 | 11,3 | 11,5 | 11,5 | 11,4 | 11,9 | 12,1 | 11,3 |
| 11,4 | 11,6 | 11,6 | 10,8 | 12,2 | 11,4 | 11,2 | 11,7 | 11,5 | 11,6 |
| 11,6 | 10,7 | 11,4 | 11,5 | 11,0 | 11,4 | 11,3 | 11,5 | 11,2 | 12,1 |
| 11,7 | 11,8 | 11,5 | 11,3 | 11,4 | 11,9 | 11,8 | 10,6 | 11,0 | 11,9 |
| 11,6 | 11,5 | 11,3 | 11,4 | 12,5 | 11,3 | 11,5 | 11,4 | 11,5 | 11,7 |
Задача 16 - Имеются следующие данные об ударной вязкости стали в 100 испытания (в кг м/см2):
Таблица 18
| 3,6 | 6,5 | 3,1 | 7,5 | 5,1 | 4,3 | 6,7 | 6,0 | 3,8 | 6,8 |
| 5,9 | 7,1 | 5,4 | 5,3 | 5,0 | 3,7 | 7,4 | 5,2 | 6,2 | 5,9 |
| 5,2 | 7,0 | 5,8 | 6,0 | 5,5 | 3,0 | 6,7 | 3,2 | 4,2 | 9,0 |
| 5,0 | 6,1 | 6,5 | 6,8 | 5,6 | 6,8 | 5,8 | 4,3 | 4,8 | 6,8 |
| 4,6 | 8,6 | 5,4 | 9,0 | 4,1 | 6,2 | 3,6 | 6,1 | 3,0 | 4,0 |
| 4,5 | 7,3 | 6,1 | 6,2 | 4,6 | 3,2 | 7,7 | 6,0 | 4,5 | 6,1 |
| 7,2 | 6,9 | 5,5 | 6,1 | 8,2 | 3,4 | 8,3 | 6,6 | 4,7 | 7,9 |
| 5,9 | 7,4 | 5,7 | 6,7 | 5,9 | 5,8 | 4,4 | 4,6 | 3,8 | 4,8 |
| 6,1 | 4,7 | 5,1 | 7,8 | 4,7 | 3,9 | 6,6 | 8,3 | 5,2 | 5,6 |
| 3,7 | 8,3 | 5,9 | 8,7 | 6,5 | 4,1 | 7,8 | 7,5 | 6,8 | 4,7 |
Задача 17 - Имеются следующие данные о дальности поездки 100 пассажиров пригородного автобуса (в км):
Таблица 19
| 41,2 | 5,0 | 25,5 | 32,5 | 32,5 | 25,5 | 21,4 | 48,5 | 10,0 | 43,7 |
| 20,5 | 28,0 | 39,0 | 25,5 | 25,5 | 20,5 | 15,5 | 32,5 | 15,5 | 21,4 |
| 25,5 | 29,0 | 20,4 | 21,4 | 62,0 | 32,8 | 49,9 | 25,6 | 20,5 | 47,2 |
| 34,0 | 32,7 | 42,3 | 25,6 | 25,6 | 16,8 | 25,6 | 38,0 | 32,7 | 32,5 |
| 30,0 | 20,5 | 29,5 | 21,9 | 63,0 | 10,0 | 40,0 | 52,0 | 6,9 | 44,2 |
| 41,0 | 21,8 | 21,6 | 38,0 | 16,8 | 20,5 | 5,0 | 39,0 | 25,6 | 52,0 |
| 32,7 | 29,5 | 28,0 | 21,5 | 21,3 | 32,4 | 20,5 | 3,0 | 32,0 | 4,0 |
| 31,0 | 29,7 | 30,5 | 21,4 | 30,0 | 27,1 | 21,4 | 32,7 | 25,4 | 34,5 |
| 29,8 | 28,0 | 52,0 | 32,6 | 30,5 | 25,5 | 45,5 | 30,0 | 8,0 | 28,0 |
| 20,5 | 25,4 | 34,0 | 20,5 | 29,0 | 30,0 | 25,6 | 21,3 | 29,0 | 32,7 |
Задача 18 - Имеются следующие данные о количестве выработанных каждым из 100 рабочих машиностроительного завода за смену деталей (в шт.):
Таблица 20
Задача 19 - Имеются следующие данные о числе операций обработки 100 штук деталей в механическом цехе машиностроительного завода:
Таблица 21
Задача 20 - Имеются следующие данные о длительности обработки на револьверном станке каждой из 100 шестерен (в мин.):
Таблица 22
| 59,0 | 55,8 | 57,7 | 56,3 | 57,4 | 65,2 | 61,0 | 39,9 | 49,5 | 54,6 |
| 55,1 | 66,0 | 53,4 | 53,4 | 44,4 | 53,8 | 60,4 | 48,2 | 49,1 | 58,1 |
| 56,7 | 56,1 | 59,0 | 69,5 | 54,6 | 48,5 | 60,7 | 40,0 | 64,3 | 50,5 |
| 58,2 | 56,5 | 50,0 | 54,0 | 56,1 | 15,0 | 63,0 | 53,0 | 54,4 | 53,1 |
| 49,0 | 55,3 | 56,2 | 59,2 | 54,0 | 60,9 | 54,58 | 52,1 | 55,4 | 48,0 |
| 66,0 | 49,3 | 53,2 | 62,0 | 60,0 | 59,0 | 55,6 | 57,5 | 56,4 | 49,2 |
| 51,2 | 55,2 | 53,3 | 60,4 | 68,1 | 50,3 | 55,1 | 59,4 | 50,5 | 46,5 |
| 57,4 | 55,4 | 59,5 | 56,6 | 51,0 | 63,1 | 61,1 | 52,3 | 69,3 | 47,8 |
| 46,4 | 58,6 | 57,6 | 46,7 | 50,5 | 51,1 | 55,0 | 55,8 | 56,1 | 56,0 |
| 64,7 | 62,2 | 52,0 | 59,0 | 62,2 | 53,0 | 50,0 | 61,9 | 44,0 | 44,5 |
РЯДЫ ДИНАМИКИ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ
21-30.
В зависимости от характера отображаемого явления ряды динамики подразделяются на ряды абсолютных, относительных и средних величин.
Наиболее простым показателем анализа динамики является абсолютный прирост (Dу), характеризующий абсолютный размер увеличения (или уменьшения) уровня явления за определенный промежуток времени
где Dу - абсолютный прирост;
уi - текущий уровень ряда;
уi - 1 - предшествующий уровень;
i - номер уровня.
Если сравнение ведем каждого последующего уровня с каждым предыдущим, то получаем цепные абсолютные приросты, если сравнение ведем каждого последующего уровня с одним уровнем, то получаем абсолютные базисные приросты:
где у0 - базисный уровень.
Абсолютный прирост выражает абсолютную скорость роста. Относительная скорость изменения уровня явления, то есть интенсивность роста, выражается коэффициентами роста и прироста, а также темпами роста и прироста.
Коэффициент роста - это отношение двух уровней ряда динамики и показывает, во сколько раз сравниваемый уровень больше базисного. Коэффициент роста может быть исчислен с переменной и постоянной базой сравнения.
Если база меняется, то исчисляются цепные коэффициенты роста про формуле:
где Кр - коэффициент роста. Если эту величину выразить в процентах, то получим темп роста.
Если база постоянная, то исчисляются базисные коэффициенты роста:
Наряду с коэффициентами роста исчисляются и коэффициенты прироста. Они показывают относительное увеличение (уменьшение) прироста. Коэффициенты прироста рассчитываются делением абсолютного прироста на базисный абсолютный уровень или цепной.
(по цепной системе),
(по базисной системе).
Средний абсолютный прирост определяется:
(по цепной системе),
(по базисной системе).
где 
- средний абсолютный прирост;
уn- последний уровень временного ряда;
у0 - базисный (начальный) уровень ряда.
Одно из требований, предъявляемых к использованию абсолютных и относительных величин, заключается в том, что их необходимо брать вне отрыва друг от друга. Поэтому важное значение имеет расчет показателя абсолютного значения одного процента прироста. Этот показатель рассчитывается по данным величин цепной системы:
Абсолютное значение 1% прироста = 
За 100% принимается базисный уровень.
1% будет равен 0,01 базисного уровня.
Если коэффициенты роста выражаются в процентах, то их называют темпами роста
Тр=К*100%
Темп роста показывает, на сколько процентов уровень данного периода больше (меньше) базисного уровня.
Средний коэффициенты роста, а следовательно и прироста, определяется на основе средней геометрической.
где 
- средний коэффициент роста;
к1, к2, кm - коэффициенты роста (по цепной системе);
m - число коэффициентов роста.
Так как произведение 
, то средний коэффициент роста можно определить по формуле:
Средний темп роста представляет собой средний коэффициент роста, выраженный в процентах
При анализе рядов динамики необходимо определить общую тенденцию развития. На развитие явления во времени могут оказывать влияние различные факторы, одни из них могут формировать в рядах динамики определенную тенденцию в развитии, другие - оказывают кратковременное воздействие.
При выявлении общей тенденции развития явления применяются различные приемы и методы выравнивания:
а) укрупнение интервалов;
б) сглаживание рядов динамики на основе скользящих средних;
в) аналитическое выравнивание и др.
Сглаживание рядов динамики на основе скользящих средних основана на вычислении звеньев подвижной средней из такого числа уровней ряда, которая соответствует длительности наблюдаемых в ряду динамики циклов. То есть изначально выбирается период скольжения, равный двум, трем, четырем и т.д. периодам. Так, для ряда внутригодовой динамики применяется чаще всего четырехчленные скользящие средние. Их расчет состоит в определении средних величин из четырех уровней ряда с отбрасыванием при вычислении каждой новой средней одного уровня ряда слева и присоединением одного уровня справа:
(первая средняя),
(вторая средняя),
(третья средняя).
и т.д.
Чтобы получить сглаженные уровни ряда, необходимо провести центрирование расчетных средних, определяемых как простая средняя арифметическая из 2-х рядом лежащих скользящих средних:
(1-й сглаженный средний уровень),
(2-й сглаженный средний уровень)
(3-й сглаженный средний уровень)
и т.д.
Центрированные средние наносят на график с эмпирическими данными. Особенность способа сглаживания рядов динамики на основе скользящих средних заключается в том, что полученные средние не дают теоретических рядов, в основе которых лежала бы определенная математическая закономерность.
Более совершенным приемом изучения общей тенденции в рядах динамики является аналитическое выравнивание. Оно основано на допущении, что изменения в рядах динамики могут быть выражены определенным математическим законом. На основе теоретического анализа выявляется характер явления во времени и на этой основе выбирается то или иное математическое выражение типа закономерности изменения явления: по линейной, степенной, показательной функции и др.
Данный прием сводится к следующему:
а) на основе экономического анализа явления за рассматриваемый период времени выявляется характер этого явления;
б) исходя из характера явления выбирается то или иное математическое уравнение;
в) определяются параметры уравнения;
г) рассчитываются выровненные уровни ряда динамики, которые наносятся на график, эмпирических значений.
д) определяется устойчивость динамического ряда;
е) прогнозируются уровни динамического ряда на основе полученной модели аппроксимации на предстоящий период.
Задача аналитического выравнивания решается с помощью известного метода наименьших квадратов смысл которого состоит в том, что вычисленная линия теоретических уровней должна проходить в максимальной близости к фактическим уровням ряда, то есть
где y - исходные (эмпирические) уровни динамического ряда;
- расчетные уровни ряда динамики.
Выравнивание по прямой осуществляется по формуле:
где y - исходные (эмпирические) уровни ряда динамики
a и b - параметры уравнения,
t - время
Параметры уравнения находятся на основе системы уравнений:
Пример расчета параметров а и b приведен в таблице 23.
В полученное параметризованное уравнение подставляют значения t и получают расчетные значения результативного признака 
, которые и, являются тенденцией данного явления. Их наносят на график с эмпирическими данными.
Таблица 23 - Расчетная таблица для аналитического выравнивания ряда динамики по прямой
| Годы (t) | Эмпирические уровни ряда (y) | Условные обозначения времени (t) | t2 | yt | 
|
| -4 | -884 | 219,32 | |||
| -3 | -705 | 241,24 | |||
| -2 | -544 | 263,16 | |||
| -1 | -285 | 285,08 | |||
| 307,0 | |||||
| +1 | 328,92 | ||||
| +2 | 350,84 | ||||
| +3 | 372,76 | ||||
| +4 | 394,68 | ||||
| Всего |
При условии, что St=0 исходные нормальные уравнения принимают вид:
an=Sy
bSt2=Sty
откуда 
отсуда а=2763/9=307
b=1315/60=21,9167
Параметризованное уравнение
у=307+21,92t
Устойчивость в рядах динамики характеризует устойчивость процесса направленного изменения уровней ряда. С точки зрения полной устойчивости направленного изменения уровней динамического ряда следует считать такое изменение, в процессе которого каждый следующий уровень выше всех предшествующих (устойчивый рост) либо ниже всех предшествующих (устойчивое снижение). Всякое нарушение строго ранжированной последовательности уровней свидетельствует о неполной устойчивости изменений.
Для определения устойчивости тенденции динамического ряда по предложению М.М. Юзбашева можно воспользоваться коэффициентом корреляции рангов Ч. Спирмэна:
,
где n - число уровней;
D - разность рангов уровней и номеров периодов времени.
Коэффициент Спирмэна изменяется от +1 до -1. Плюс свидетельствует о возрастании уровней, минус - об убывании уровней. Если rc >0,7, можно говорить об устойчивости направленного изменения уровней динамического ряда.
Определив устойчивость в динамическом ряду, можно приступать к прогнозированию рассматриваемого явления по полученной аппроксимирующей модели =307+21,92t.
Для этого в параметризованную модель подставляют перспективные значения t и получают расчетное значение . Поскольку рассматриваемые методы являются вероятностными, прогнозные значения должны рассчитываться с доверительным интервалом, определяемым по формуле:
D=tm
где D - предельная ошибка или доверительный интервал;
t - кратность, соответствующая определенной вероятности, так для вероятности 0,954 t=2, для вероятности 0,997 t=3.
m - средняя ошибка или ошибка репрезентативности.
Ошибка репрезентативности определяется:
,
где 
- дисперсия по y;
n - число уровней ряда.
Таким образом, прогнозные значения должны быть даны в интервале:
от ( -tm) до ( +tm).
Условия для задач 21-25*
Таблица 24 - произво
