Властивість паралельних прямих

Якщо одна з двох паралельних прямих перетинає площину, то ї друга пряма перетинає площину.

Ознака паралельності прямих: дві прямі паралельні третій прямій, паралельні між собою. На малюнку: а||b і а||с, тоді b||с.

1. Взаємне розміщення прямої і площини у просторі. Паралельність прямої і площини. Ознака паралельності прямої і площини.

Взаємна розміщення прямої і площини

а) площина α не має з прямою а спільних точок;

б) площина α має з прямою а одну спільну точку;

в) пряма а лежить у площині α.

Взаємне розміщення прямої і площини

 

На малюнку пряма а паралельна площині α, це позначають так: а || α.

Ознака паралельності прямої і площини: якщо пряма, яка не лежить у площині, паралельна якій-небудь прямій у цій площині, то вона паралельна і самій площині.

Властивості прямої і площини, паралельних між собою.

1. Якщо пряма паралельна площині, то в цій площині знайдеться пряма, паралельна даній.

2. Якщо пряма паралельна площині, то через будь-яку точку цієї площини можна провести пряму, паралельну даній, і до того ж тільки одну.

3. Якщо одна з двох паралельних прямих паралельна даній площині, то друга пряма також паралельна даній площині або лежить у цій площині.

 

1. Паралельність площин. Ознака паралельності площин.

Випадки розміщення площин:

1) площини перетинаються по прямій;

2) площини не мають спільних точок.

Дві площини називають паралельними, якщо вони не мають спільних точок.

Позначають так: α || β.

Ознаки паралельності площин: Якщо дві прямі, які перетинаються, однієї площини відповідно паралельні двом прямим другої площини, то ці площини паралельні.

На малюнку: а α; b α; За ознакою паралельності площин зробимо висновок про те, що α || β.

 

 

1. Паралельність площин. Властивості паралельних площин.

Можливі два випадки розміщення площин:

1) площини перетинаються по прямій;

2) площини не мають спільних точок.

Дві площини називають паралельними, якщо вони не мають спільних точок.

Властивості паралельних площин

1) Якщо дві паралельні площини перетнути третьою, то прямі перетину паралельні.

На малюнку Тоді за властивістю а || b.

 

2) Відрізки паралельних прямих, кінці яких належать двом паралельним площинам, рівні між собою.

На малюнку А₂ β, В₂ b, В₂ β. Тоді за властивістю А₁А₂ = В₁В₂.

Зауважимо, що на малюнку чотирикутник А₁В₁B₂A₂ є паралелограмом.

1. Взаємне розміщення прямих у просторі. Перпендикулярність прямих у просторі.

Дві прямі, які не лежать в одній площині, називають мимобіжними.

Дві прямі в просторі називають паралельними, якщо вони лежать в одній площині і не перетинаються.

У просторі можливі три випадки взаємного розміщення двох прямих:

1) прямі лежать в одній площині і мають спільну точку - прямі, що перетинаються

2) прямі лежать в одній площині і не мають спільних точок - паралельні прямі.

3) прямі не лежать в одній площині - мимобіжні прямі.

Дві прямі називаються перпендикулярними, якщо вони перети­наються під прямим кутом.

Теорема про прямі, що перетинаються і паралельні двом перпендикулярним прямим:

Якщо дві прямі, які перетинаються, паралельні відповідно двом перпендикулярним прямим, то вони теж. перпендикулярні

1. Взаємне розміщення прямих у просторі. Мимобіжні прямі.

Дві прямі, які не лежать в одній площині, називають мимобіжними.

Дві прямі в просторі називають паралельними, якщо вони лежать в одній площині і не перетинаються.

Отже, у просторі можливі три випадки взаємного розміщення двох прямих:

1) прямі лежать в одній площині і мають спільну точку - прямі, що перетинаються

2) прямі лежать в одній площині і не мають спільних точок - паралельні прямі.

3) прямі не лежать в одній площині - мимобіжні прямі.

Ознака мимобіжності прямих

Якщо одна з двох прямих лежить у деякій площині, а друга пряма перетинає цю площину в точці, яка не лежить на першій прямій, то ці прямі мимобіжні.

1. Взаємне розміщення прямої і площини у просторі. Перпендикулярність прямої і площини. Ознака перпендикулярності прямої і площини.

Взаємна розміщення прямої і площини

а) площина α не має з прямою а спільних точок;

б) площина α має з прямою а одну спільну точку;

в) пряма а лежить у площині α.

Взаємне розміщення прямої і площини

Пряму, що перетинає площину, називають перпендикулярною до цієї площини, якщо вона перпендикулярна до кожної прямої, яка лежить у площині і проходить через точку перетину

Це записують так: а α

Ознака перпендикулярності прямої і площини: якщо пряма, яка перетинає площину, перпендикулярна до двох прямих цієї площини, які проходять через точку перетину, то вона перпендикулярна до площини.

На малюнку: b α, М а₁, а₁ α; b а₁, М а₂, а₂ α, b а₂.

Тоді за ознакою матимемо b α.

1. Перпендикулярність прямої і площини. Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою.

Пряму, що перетинає площину, називають перпендикулярною до цієї площини, якщо вона перпендикулярна до кожної прямої, яка лежить у площині і проходить через точку перетину

Це записують так: а α

Властивості прямих і площин, перпендикулярних між собою.

1) Якщо площина перпендикулярна до однієї з двох паралельних площин, то вона перпендикулярна і до другої.

На малюнку: а || b і а α. Тоді за поданою властивістю отримаємо: b α.

2) Дві прямі, перпендикулярні до однієї і тієї самої площини, паралельні.

На малюнку: а α, b α. Тоді за властивістю матимемо: а ||b.

1. Перпендикуляр і похила. Теорема про три перпендикуляри.

Розглянемо площину α і точку А, що не лежить на цій площині.

 

Перпендикуляром, проведеним із даної точки до даної площини, називають відрізок, що сполучає дану точку з точкою площини і лежить на прямій, перпендикулярній до площини.

АН - перпендикуляр, опущений з точки А до площини α. Кінець цього перпендикуляра, що лежить у площині α, - точку Н називають основою перпендикуляра.

Відстанню від точки до площини називають довжину перпендикуляра, проведеного з цієї точки до площини.

Довжина відрізка АН — відстань від точки А до площини α.

Похилою, проведеною з даної точки до даної площини, називають будь-який відрізок, який сполучає дану точку з точкою площини і не є перпендикуляром.

АК - похила, проведена з точки А до площини α. Кінець цієї похилої, що лежить у площині α, - точку К - називають основою похилої. Відрізок НК, який сполучає основи перпендикуляра та похилої, називають проекцією похилої АК на площину α.

Теорема про три перпендикуляри. Якщо пряма, проведена на площині через основу похилої, перпендикулярна до її проекції, то вона перпендикулярна і до похилої. І навпаки, якщо пряма на площині перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна і до проекції похилої.

АН - перпендикуляр до площини α; АМ - похила. Через основу похилої - точку М проведено пряму а. Теорема про три перпендикуляри стверджує, що якщо а НМ, то а АМ, і навпаки, якщо а АМ, то а НМ.

1. Перпендикулярність площин. Ознака перпендикулярності площин.

Дві площини, що перетинаються, утворюють чотири двогранні кути. Якщо один з них дорівнює 90°, то інші, теж дорівнюють 90º.

 

Дві площини називаються перпендикулярними, якщо перетинаючись вони утворюють прямі

двогранні кути

Якщо площини α і β перпендикулярні, то це записують так: α β.

Ознака перпендикулярності площин: якщо площина проходить через пряму, перпендикулярну до другої площини, то ці площини перпендикулярні.

На малюнку: α β і а α. Тоді за ознакою отримаємо: α β.

1. Взаємне розміщення прямої і площини у просторі. Кут між прямою і площиною.

Взаємна розміщення прямої і площини

а) площина α не має з прямою а спільних точок;

б) площина α має з прямою а одну спільну точку;

в) пряма а лежить у площині α.

Взаємне розміщення прямої і площини

 

Якщо пряма паралельна площині або їй належить, то вважають, що кут між такими прямою і площиною дорівнює 0°.

Якщо пряма перпендикулярна до площини, то кут між ними, природно, вважаємо рівним 90°.

Нехай дано пряму а, що перетинає площину а у точці М і не є перпендикулярною до цієї площини. Основи перпендикулярів, опущених з точок прямої а на площину α належать прямій b. Цю пряму b називають проекцією прямої а на площину α.

Кутом між площиною і прямою, яка перетинає площину і не є перпендикулярною до площини, називають кут між прямою і її проекцією на площину.

На малюнку кут АМВ є кутом між прямою а і площиною α. Очевидно, що кут φ між прямою і площиною задовольняє умову 0° ≤ φ≤ 90°.

1. Взаємне розміщення двох площин у просторі. Кут між двома площинами.

Якщо дві площини паралельні, то кут між ними дорівнює 0°. Якщо дві площини перетинаються, то воно утворюють чотири двогранні кути зі спільним ребром.

Величину меншого з утворених при перетині двох площин двогранного кута називають кутом між площинами.

Зрозуміло, що кут між площинами φ задовольняє умові 0° ≤ φ ≤90°. Якщо φ = 90°, то площини називають перпендикулярними.

Інше означення: Кутом між площинами, що перетинаються, називають кут між прямими, проведеними в цих площинах перпендикулярно до лінії їх перетину.

На малюнку площини α і β перетинаються по прямій m. В площині α проведено пряму а таку, що а m, а в площині β пряму bтаку, що b m; прямі а і b перетинаються. Якщо кут між прямими а і b дорівнює φ, то кут між площинами α і β також дорівнює φ.

1. Двогранний кут. Лінійний кут двогранного кута.

Двогранним кутом називають фігуру, утворену двома півплощинами тільною прямою, що їх обмежує.

На малюнку двогранний кут, півплощини, що утворюють двогранний кут, називають гранями, а пряму, що їх обмежує, - ребром двогранного кута.

Площина α, перпендикулярна ребру а двогранного кута, перетинає грані двогранного кута по променях АВ і АС. Кут ВАС називають лінійним кутом двогранного кута.

Градусною мірою двогранного кута називають градусну міру його лінійного кута.

1. Відстані у просторі: відстань від точки до площини; відстань між прямою і паралельною їй площиною; відстань між паралельними площинами; відстань між мимобіжними прямими.

Відстанню від точки до площини називають довжину перпендикуляра, проведеного з цієї точки до площини.

На малюнку 430 АВ α; довжина відрізка АВ - відстань від точки А до площини α.

Відстанню від прямої до паралельної їй площини називають довжину перпендикуляра, проведеного з будь-якої точки прямої до площини.

На малюнку: а || α, А а, АВ α. Довжина відрізка АВ - відстань від прямої а до площини α.

Відстанню між паралельними площинами називають довжину перпендикуляра, проведеного з будь-якої точки однієї площини до іншої.

На малюнку: α || β, А α, АВ β, В β. Довжина відрізка АВ - відстань між паралельними площинами α і β.

 

Відстанню між мимобіжними прямими називають довжину їх спільного перпендикуляра.

Відстань між мимобіжними прямими дорівнює відстані від однієї з цих прямих до паралельної їй площини, що проходить через другу пряму.

 

1. Декартова система координат у просторі. Координати точки у просторі. Відстань між двома точками у просторі.

Проведемо через точку О простору три попарно перпендикулярні прямі х, у, z. На кожній з прямих виберемо напрям, який позначимо стрілочкою та одиницю вимірювання. Таким чином задають прямокутну систему координат у просторі. Точку О називають початком координат, а прямі з вибраними напрямками осями координат (або координатними осями). Вісь х називають віссю абсцис, вісь у - віссю ординат, вісь z - віссю аплікат. Початок координат розбиває кожну з осей на дві півосі - додатну (яку позначають стрілочкою) і від’ємну. Площини, які проходять відповідно через осі координат х і у, у і z, х і z називають координатними площинами ху, уz, хz.

В прямокутній системі координат у просторі кожній точці М простору ставиться у відповідність єдина впорядкована трійка чисел, а кожній впорядкованій трійці чисел - єдина точка простору. Цю трійку чисел називають координатами точки.

Координати точки М – (М_х, М_y, М_z)

Точка лежить:
на осі	на площині
Ox	Oy	Oz	xOy	xOz	yOz
(х; 0; 0)	(0; у; 0)	(0; 0; z)	(х; у; 0)	(х; 0; z)	(0; y; z)

 

 

Відстань між точками А(х₁; у₁; z₁) і В(х₂; у₂; z₂) обчислюється за формулою

 

1. Вектори у просторі. Координати вектора. Дії над векторами у просторі.

Вектор — напрямлений відрізок

А — початок вектор

В — кінець вектора

Координати вектора

Якщо початком вектора є точка , кінцем – точка , то вектор має координати, які дорівнюють різницям відповідних координат точок і :