Высшая алгебра.
Матрица
Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, например
Матрицы обозначаются заглавными полужирными буквами (A), а их элементы — соответствующими строчными буквами с индексами, т.е. a ij. Первый индекс нумерует строки, а второй — столбцы. В хемометрике принято обозначать максимальное значение индекса той же буквой, что и сам индекс, но заглавной. Поэтому матрицу A можно также записать как { a ij, i = 1,..., I; j = 1,..., J }. Для приведенной в примере матрицы I = 4, J = 3 и a 23 = −7.5.
Пара чисел I и J называется размерностью матрицы и обознается как I × J.
Виды матриц
1) Матрица-строка: 
;
2) Матрица-столбец: 
; 3) Нулевая матрица: 
;
4) Квадратная матрица – если 
(например n = 2 ): 
;
5) Диагональная матрица (напр. 3-го порядка, где 
любые числа 
): 
;
6) Единичная матрица (например, 3-го порядка) 
Операции над матрицами.
Пусть даны матрицы A = (аij)mxn и B = (bij)mxn.
1. Равенство матриц.
А = В тогда и только тогда, когда aij = bij (i = 1, m; j = 1, n).
Сложение матриц.
Суммой матриц А+В называется матрица С = А + В, где cij = aij + bij (i = 1, m; j = 1, n). Из определения операции сложения следуют свойства:
а) А + В = В + А.
б) (А + В) + С = А + (В + С).
Умножение матрицы на число l.
В = l · А, где bij = laij (i = 1, m; j = 1, n), т. е. каждый элемент матрицы А умножается на число l.
Произведение строки на столбец.
Если a = (a1 a2... an) и, то ab = a1b1 + a2b2 +... + anbn.
Произведение матриц.
Если А = (аij)mxp и B = (bij)pxn, то матрица С = А·В = (сij)mxn, где – произведение i-той строки матрицы А на j-тый столбец матрицы В.
Замечание. Произведение А·В определено, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.
Из определения операции умножения следует, что в общем случае А·В № В·А. Если А·В = В·А, то матрицы А и В называются коммутативными (перестановочными).
Свойства операции умножения матриц.
а) А·0 = 0·А = 0.
б) А·Е = Е·А = А.
в) (А+В)·С = А·С + В·С.
г) А(В + С) = А·В + А·С.
д) (А·В)·С = А·(В·С).
Определитель матрицы
это сумма всевозможных произведений элементов матрицы по одному элементу из каждой строки и столбца, с учетом знака. (в силу отсутствия острой необходимости, и громоздкости общей формулы, она не будет приведена, вместо это предлагается ипользовать методы описанные ниже, т.к. они проще и удобней)
Из определения видно, что опредилетель матрицы является вещественным числом.
Свойства определителя
Определитель, имеющий строку, представленной суммой двух строк, равносилен сумме определителей 
Определитель, имеющий нулевую строку, равен нулю
Определитель, имеющий две пропорцинальных строки, равен нулю
Определитель единичной матрицы равен единице
Опредилетель транспонированной матрицы равен определителю не транспонированной матрицы
Определитель не изменится, если из строки вынести множитель
Определитель не изменится, если одну из его строк домножить на число и добавить к другой cтроке
(в силу свойства 3)
При перестановке двух строк определителя, определитель меняет знак
Определитель обозначается - det (determinant) 
или 
Методы вычисления определителей.
1). Разложение по строке или столбцу.
2). Метод обращения в нуль всех, кроме одного, элементов строки или столбца. Метод состоит в том, что с учетом свойств определителя при помощи какого-либо столбца (строки) путём умножения его на соответствующие числа и вычитания из остальных столбцов (строк), зануляются все элементы выбранной строки (столбца) кроме одного, принадлежащего вычитаемому столбцу (строке).
3). Метод приведения к треугольному виду. Алгоритм, предложенный в предыдущем пункте, используется для последовательного зануления всех элементов первой строки (столбца) кроме одного, второй строки (столбца) – всех кроме двух и т.д. В итоге определитель преобразуется к треугольному виду. Величина такого определителя равна произведению элементов главной диогонали.
4). Вычисление с использованием теоремы Лапласа, согласно которой определитель 
- го порядка равен сумме произведений всех его миноров 
-го порядка, стоящих в выделенных строках (столбцах), на их алгебраические дополнения.
Обратная матрица
такая матрица A−1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:
Минор
Минором 
элемента 
матрицы n -го порядка называется определитель матрицы (n-1) -го порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием i -й строки и j -го столбца.
При выписывании определителя (n-1) -го порядка, в исходном определителе элементы находящиеся под линиями в расчет не принимаются.
Алгебраическое дополнение
Алгебраическим дополнением Аij элемента аij матрицы n-го порядка называется его минор, взятый со знаком, зависящий от номера строки и номера столбца:
то есть алгебраическое дополнение совпадает с минором, когда сумма номеров строки и столбца – четное число, и отличается от минора знаком, когда сумма номеров строки и столба – нечетное число.
