Таблица для вычисление коэффициентов полинома
В [6] отмечается, что в случае, когда характеристика нелинейного элемента аппроксимируется выражением, содержащим более трех точек, значение функции целесообразно выбирать при равноотстоящих значениях аргумента. Кроме того, если число заданных точек превышает число подлежащих определению коэффициентов аппроксимации, рекомендуется использовать «метод наименьших квадратов», при котором среднеквадратичная ошибка минимальна, т.е. при этом способе сумма квадратов отклонений полинома данной степени от кривой является наименьшей.
В соответствии с этим, несмотря на существующие компьютерные программы, целесообразно привести краткую рецептуру пользования этим методом, что позволит студенту осмыслить математическую суть метода и с помощью простых микрокалькуляторов выполнить любую аппроксимацию за оптимально короткое время.
В [7] показано, что вычислить коэффициенты полинома по способу наименьших квадратов наиболее рационально с помощью введенных Ю.Б. Кобзаревым ортогональных полиномов для заданного числа N – равноотстоящих точек.
Обозначим через 
полином степени l. Тогда система полиномов будет ортогональной для данного числа точек, если при любых 
выполняется равенство
. (4.16)
Воспользовавшись известными ортогональными многочленами Чебышева по методу Ю.Б. Кобзарева в [7] найдены пять, а в [8] все семь полиномов, образующих такую систему на отрезке 
для N=11 равноотстоящих точек [7, 8,], т.е. при 
; –0,8; … 0 … 0,8; 1,0 имеем:
(4.17)
Система (17) ортогональных полиномов обладает тем замечательным свойством, что разложение по ним любой заданной функции дает наилучшее приближение в смысле наименьших квадратов. Поэтому вместо, например, выражения (18) коэффициента передачи по степеням напряжения 
с неизвестными коэффициентами, можно записать его, представив в виде суммы (19) рассмотренных выше полиномов:
, (4.18)
. (4.19)
Здесь Р – степень полинома; р – целое число, равное номеру слагаемого; 
– коэффициент, имеющий размерность 
, который можно назвать крутизной порядка р, т.е. 
есть крутизна нулевого порядка, 
– первого порядка и т.д.
Входящая сюда величина х пропорциональна напряжению , отсчитываемому от середины участка аппроксимации 
, т.е. при изменении в пределах 
, х меняется от –1 до 1, поэтому
. (4.20)
Для определения коэффициента 
в (19) умножим обе части равенства на полином 
и просуммируем по всем точкам 
. Тогда, используя свойство ортогональности (16), находим
. (4.21)
Отсюда
, (4.22)
где 
– нормированный полином
. (4.23)
Так как нулевому узлу соответствует левый конец участка аппроксимации, т.е. 
, то сумму (6.22) удобно разбить на суммы, где х <0 и х >0, так как четные полиномы (р = 0, 2, 4, 6) на этих участках ничем не отличаются, а нечетные (р =1, 3, 5, 7) отличаются лишь знаками. В связи с этим целесообразно ввести нечетную 
и четную 
компоненты коэффициента усиления К:
(4.24)
где 
- шаг изменения х (в нашем случае при N =11 
);
- величина коэффициента усиления в точках 
.
Теперь вместо сумм по положительным и отрицательным значениям можно взять суммы только по положительным с использованием четной и нечетной составляющей коэффициента усиления. Тогда
(4.25)
Сведя в табл. 4.1 значения коэффициентов нормированных полиномов 
и используя их, легко найти коэффициенты по формулам (4.25), далее в (19) сгруппировать члены по степеням х и перейти к представлению коэффициента усиления в виде полинома по степеням . Коэффициенты этого полинома будут подобраны наилучшим в смысле наименьших квадратов способом, при котором экспериментальная кривая 
будет практически сливаться с теоретической кривой 
.
Вычисление коэффициентов полинома, используемого при гармоническом анализе для определения коэффициентов и параметров нелинейности и, в конечном итоге, для выбора оптимального режима усилительного прибора рассмотрим на конкретном примере задания.
Таблица 4.1
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
| 0,000000 | -0,291375 | 0,000000 | 1,092658 | 0,000000 | -5,1062086 | 0,000000 | |
| 0,2 | 0,0454545 | -0,262238 | -0,339938 | 0,728439 | 2,003205 | -1,5318624 | -12,765522 |
| 0,4 | 0,0909091 | -0,174825 | -0,558470 | -0,182110 | 2,003205 | 4,5955891 | -0,9118072 |
| 0,6 | 0,1363636 | -0,029138 | -0,534189 | -1,092658 | -0,500801 | 3,7020048 | 15,045106 |
| 0,8 | 0,1818182 | 0,174825 | -0,145688 | -1,092658 | -3,004808 | -6,1274442 | -10,485929 |
| 1,0 | 0,2272727 | 0,437063 | 0,728439 | 1,092658 | 1,502404 | 1,9148344 | 2,2795937 |
4.3.Типовое задание «Определение параметров нелинейности усилителя аппаратуры ВЧ связи по ЛЭП на основе аппроксимации его коэффициента усиления и выбор оптимального режима»
Задание на курсовую работу:
1. Аппроксимировать полиномом седьмой степени экспериментальную зависимость коэффициента усиления Кэ = f (Uсм) заданного усилительного каскада на полевом транзисторе (ПТ) типа 2П902А (рис. 1).
2. На основе вычисленных коэффициентов аппроксимации и гармонического анализа с использованием метода МКП по формулам (4.4, 4.5 и 4.9-4.11) определить параметры нелинейности третьего порядка и выбрать оптимальный режим работы каскада.
Аппроксимация [ Вариант № 2- ПТ 2П902А (К)]
Аппроксимацию проводим в следующей последовательности.
1. Задаем 11 экспериментальных значений коэффициента усиления в равноотстоящих точках напряжения смещения «затвор-исток» в интервале 
В. Эти данные, а также вспомогательные значения нечетных 2 Кн и четных 2 Кч компонент коэффициента усиления в симметричных точках смещения Uзи сводим в табл. 4.2.
2. Находим коэффициенты разложения ортогональных полиномов по формулам (4.25) преобразовав их при N =11 в выражения (4.26):
Рис. 1. Типовой исследуемый каскад ВЧ усилителя на полевом транзисторе 2П902А
Таблица 4.2
| х | -1,0 | -0,8 | -0,6 | -0,4 | -0,2 | 0,2 | 0,4 | 0,6 | 0,8 | 1,0 | |
| Uзи | 0,4 | 0,8 | 1,2 | 1,6 | 2,0 | 2,4 | 2,8 | 3,2 | 3,6 | 4,0 | |
| Кэ | 1,6 | 6,6 | 10,9 | 13,9 | 17,65 | 18,9 | 19,6 | 20,05 | 20,3 | ||
| 2 Кн | - | - | - | - | - | 3,75 | 8,0 | 18,45 | 20,3 | ||
| 2 Кч | - | - | - | - | - | 31,55 | 29,8 | 26,2 | 21,65 | 20,3 | |
| В 0 | 0,000574 | 1,5964132 | 6,605958 | 10,901099 | 13,88494 | 16,013656 | 17,65900 | 18,873555 | 19,6215 | 20,0416 | 20,3008 |
(4.26)
Заметим, что при определении коэффициента D 0 
используется вторая формула (4.25), а из табл. 4.1 следует, что при N =11 нулевой полином для
любого х имеет величину 
, поэтому в соответствии с формулой (4.22) можно найти сумму всех значений табл. 4.2, и поделить на 11, т. е.
.
Для определения 
используем первую формулу (4.26). Входящие в нее нечетные компоненты 
берем из табл. 4.2 (это разностные значения 
в симметричных точках), а значения полинома – из табл. 4.1
Для определения 
используем вторую формулу (4.26), в которой четные компоненты 
являются суммарными значениями в симметричных точках аргумента х, кроме точки х =0, в которой значение 
.
Аналогично находим остальные коэффициенты:
; 
; 
;
; 
; 
;
; 
.
Полином по степеням х находится по формуле (4.19), с преобразованием ее в (4.27), в которой аппроксимирующий полином в отличие от аппроксимируемой функции 
обозначен как 
:
, (4.27)
где 
– ортогональные полиномы.
Группируя коэффициенты по степеням х и собирая подобные члены, приходим к удобным выражениям для вычисления членов А 0, А 1 х, А 2 х 2, А 3 х 3 и т.д. этого полинома:
;
;
;
;
;
;
; 
.
В итоге полином по степеням х:
; (4.28)
|
Для перевода этого полинома в истинный полином по степеням необходимо уточнить, удовлетворяют ли значения 
условиям трех нижеследующих формул:
- при совпадении значений и х
= 0 и х = 0; (4.29)
- при несовпадении значений и х
при = 0 … 
, (4.30)
при 
(4.31)
Примечание. Чтобы не усложнять расчет при заданном интервале смещений Uсм = (– U1…– Un) [ формула (4.31)], рекомендуется перевести этот интервал смещений в интервал, заданный в формуле (4.30) и дальнейший расчет производить на основе
полученного «нормированного» полинома относительно значений Uсм = Uзи.н. = Uзи + U1. Полученный интервал будет соответствовать формуле (4.30),т.е. Uзи.н = 0 … Un. Удобно также переводить «отрицательные» («левые») интервалы UЗИ в симметричные нормированные интервалы с нулевыми значениями «х» и UЗИ. Ниже будет приведена таблица, облегчающая перевод заданных отрицательных интервалов смещений в их нормированные значения.
Рассматриваемый полином удовлетворяет требованиям формулы (4.30). Подставляя в (6.28) значение
, получаем истинный теоретический полином Во по степеням :
(4.32)
По найденному уравнению вычисляем и заносим в нижнюю графу табл. 4.2 значения В 0 в контрольных точках напряжения смещения .
Из сопоставления экспериментальных значений и теоретических В 0 рис. 2 видим, что совпадение очень хорошее. Абсолютная ошибка находится в пределах сотых долей, что характеризует пригодность результатов аппроксимации для дальнейшего гармонического анализа различных нелинейных явлений. В заключение отметим, что с помощью простых современных микрокалькуляторов без привлечения компьютерных программ такую аппроксимацию можно выполнить в пределах 30 минут.
Таблица нормирования некоторых реальных интервалов смещений UЗИ
| Реальный интервал смещений UЗИ | Нормированный интервал UЗИ Н = | Формула нормировки |
| -12…….-8,5……-5,0; ∆UЗИ =0,7 | UЗИ +12 = 0……3.5…….7,0 | х = 2/7 UЗИ - 1. |
| -12…….-8,5…….-5,0; ∆UЗИ =0,7 | UЗИ +8,5 = -3,5…..0……3.5 | х = 2/7 UЗИ. |
| -5,6……-3.6……-1.6; ∆UЗИ =0,4 | UЗИ +5,6 = 0…..2,0……4.0 | х = 0,5 UЗИ -1 |
| -5,6……-3.6……-1.6; ∆UЗИ =0,4 | UЗИ +3,6 = -2…..0……+2,0 | х = 0,5 U ЗИ. |
| -7.4……-5.4……-3.4; ∆UЗИ =0,4 | UЗИ +7.4 = 0…..2,0……4.0 | х = 0,5 UЗИ -1 |
| -7.4……-5.4……-3.4; ∆UЗИ =0,4 | UЗИ +5,4 = -2…..0……+2,0 | х = 0,5 U ЗИ. |
