Описание установки и вывод расчетной формулы. Для выполнения работы используются пружинный маятник, закрепленный на штативе, набор грузиков, секундомер

 

Для выполнения работы используются пружинный маятник, закрепленный на штативе, набор грузиков, секундомер, мерная линейка.

а б в

Рисунок 1 Положения пружинного маятника: а – без грузика; б – с грузиком в отсутствии колебаний; в – при смещении x грузика от положения равновесия в процессе колебаний

 

Зависимость периода колебаний T от параметров пружинного маятника: .

Отсюда жесткость пружины выразится как:

. (4)

В реальных колебательных системах всегда часть энергии расходуется на работу по преодолению сил трения (например, силы сопротивления воздуха, сил внутреннего трения и т.д.). При этом амплитуда колебаний A уменьшается со временем до нуля. Такие колебания называются затухающими.

При рассмотрении колебания в среде (в том числе и в воздухе), обладающей вязкостью, необходимо учесть силу сопротивления среды, значение которой прямо пропорционально скорости:

, (5)

где r называется коэффициентом сопротивления среды;

– скорость колеблющегося тела.

В этом случае второй закон Ньютона принимает вид:

. (6)

Перепишем (6), обозначив r / m = 2 b и k / m = w ₀²:

, (7)

где b называется коэффициентом затухания.

Формула (7) является дифференциальным уравнением затухающих колебаний. При его решении можно рассмотреть 2 случая.

1) Случай малых затуханий b << w ₀.

Потери энергии в системе малы. Решение имеет вид

x = A ₀×exp (– b × t) × cos(w × t + j), (8)

где . Тогда период колебаний

(9)

увеличивается по сравнению с периодом незатухающих колебаний. Из выражения (8) следует, что амплитуда колебаний определяется следующим образом:

A (t) = A ₀×exp (– b × t), (10)

т.е. со временем она убывает. Величина t = 1 / b называется временем релаксации – это время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e» 2,72 раз.

Изменение амплитуды колебаний во времени при не очень больших затуханиях показано на рисунке 2а, где пунктирные линии изображают функцию (10).

а б

Рисунок 2 Зависимость смещения от времени: а – случай

малых затуханий b << w ₀; б – апериодический режим b > w ₀

 

Из закона убывания амплитуд (10) следует, что отношение любых двух амплитуд, отстоящих друг от друга на один период, есть величина постоянная: A (t)/ A (t + T) = const = d.

Величину d называют декрементом затухания. Часто пользуются также понятием логарифмический декремент затухания l = ln d, который, как можно показать подстановкой d в (10) равен b × T. Отсюда b = l / T.

2) Случай b > w ₀.

Потери энергии в системе велики. В этом случае в уравнении (7) третий член перестает играть существенную роль, и решение описывает апериодический режим движения (рисунок 2б).

Сопротивление среды, при котором колебания прекращаются, называется критическим. Оно находится из условия , или b = w ₀: .