Первый закон Ньютона. Масса. Сила 2 страница

Потенциальная энергия — механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.

Пусть взаимодействие тел осуществляется посредством силовых полей (например, поля упругих сил, поля гравитационных сил), характеризующихся тем, что работа, совершаемая действующими силами при перемещении тела из одного положения в другое, не зависит от того, по какой траектории это перемещение произошло, а зависит только от начального и конечного положений. Такие поля называются потенциальными, а силы, действующие в них,— консервативными. Если же работа, совершаемая силой, зависит от траектории перемещения тела из одной точки в другую, то такая сила называется диссипативной; ее примером является сила трения.

Тело, находясь в потенциальном поле сил, обладает потенциальной энергией II. Работа консервативных сил при элементарном (бесконечно малом) изменении конфигурации системы равна приращению потенциальной энергии, взятому со знаком минус, так как работа совершается за счет убыли потенциальной энергии:

dA=-dП. (12.2)

Работа d А выражается как скалярное произведение силы F на перемещение d r и выражение (12.2) можно записать в виде

F d r =-dП. (12.3)

Следовательно, если известна функция П(r), то из формулы (12.3) можно найти силу F по модулю и направлению.

Потенциальная энергия может быть определена исходя из (12.3) как

где С — постоянная интегрирования, т. е. потенциальная энергия определяется с точностью до некоторой произвольной постоянной. Это, однако, не отражается на физических законах, так как в них входит или разность потенциальных энергий в двух положениях тела, или производная П по координатам. Поэтому потенциальную энергию тела в каком-то определенном положении считают равной нулю (выбирают нулевой уровень отсчета), а энергию тела в других положениях отсчитывают относительно нулевого уровня. Для консервативных сил

или в векторном виде

F =-gradП, (12.4) где

(i, j, k — единичные векторы координатных осей). Вектор, определяемый выражением (12.5), называется градиентом скаляра П.

Для него наряду с обозначением grad П применяется также обозначение ÑП. Ñ («набла») означает символический вектор, называемый оператором Гамильтона или набла-оператором:

Конкретный вид функции П зависит от характера силового поля. Например, потенциальная энергия тела массой т, поднятого на высоту h над поверхностью Земли, равна

П = mgh, (12.7)

где высота h отсчитывается от нулевого уровня, для которого П₀ = 0. Выражение (12.7) вытекает непосредственно из того, что потенциальная энергия равна работе силы тяжести при падении тела с высоты h на поверхность Земли.

Так как начало отсчета выбирается произвольно, то потенциальная энергия может иметь отрицательное значение (кинетическая энергия всегда положительна!}. Если принять за нуль потенциальную энергию тела, лежащего на поверхности Земли, то потенциальная энергия тела, находящегося на дне шахты (глубина h'), П =-mgh'.

Найдем потенциальную энергию упругодеформированного тела (пружины). Сила упругости пропорциональна деформации:

F_{х упр}= -kx,

где F_x_упр — проекция силы упругости на ось х; k — коэффициент упругости (для пружины — жесткость), а знак минус указывает, что F_x_упр направлена в сторону, противоположную деформации х.

По третьему закону Ньютона, деформирующая сила равна по модулю силе упругости и противоположно ей направлена, т. е.

F_x=-F_x_упр=kx Элементарная работа dA, совершаемая силой F_xпри бесконечно малой деформации dx, равна

dA = F_x dx = kxdx,

а полная работа

идет на увеличение потенциальной энергии пружины. Таким образом, потенциальная энергия упругодеформированного тела

П =kx²/2.

Потенциальная энергия системы, подобно кинетической энергии, является функцией состояния системы. Она зависит только от конфигурации системы и ее положения по отношению к внешним телам.

Полная механическая энергия системы — энергия механического движения и взаимодействия:

Е = Е+П,

т. е. равна сумме кинетической и потенциальной энергий.

Закон сохранения энергии

Закон сохранения энергии — результат обобщения многих экспериментальных данных. Идея этого закона принадлежит М. В. Ломоносову (1711 —1765), изложившему закон сохранения материи и движения, а количественная формулировка закона сохранения энергии дана немецким врачом Ю. Майером (1814—1878) и немецким естествоиспытателем Г. Гельмгольцем (1821 — 1894).

Рассмотрим систему материальных точек массами m₁, m ₂ ,..., m_n, движущихся со скоростями v ₁, v ₂,..., v _n. Пусть F '₁, F '₂,..., F ' _n — равнодействующие внутренних консервативных сил, действующих на каждую из этих точек, a f ₁, F ₂,..., F _n— равнодействующие внешних сил, которые также будем считать консервативными. Кроме того, будем считать, что на материальные точки действуют еще и внешние неконсервативные силы; равнодействующие этих сил, действующих на каждую из материальных точек, обозначим f ₁, f ₂,..., f_n. При v<<с массы материальных точек

постоянны и уравнения второго закона Ньютона для этих точек следующие:

Двигаясь под действием сил, точки системы за интервал времени dt совершают перемещения, соответственно равные d r ₁, d r ₂,..., d r _n. Умножим каждое из уравнений скалярно на соответствующее перемещение и, учитывая, что dr_i = v_idt, получим:

Сложив эти уравнения, получим

Первый член левой части равенства (13.1)

где dT есть приращение кинетической энергии системы. Второй член

равен элементарной работе внутренних и внешних консервативных сил, взятой со знаком минус, т. е. равен элементарному приращению потенциальной энергии dП системы (см. (12.2)).

Правая часть равенства (13.1) задает работу внешних неконсервативных сил,

действующих на систему. Таким образом, имеем

d(T+ П )=dA. (13.2)

При переходе системы из состояния 1 в какое-либо состояние 2

т. е. изменение полной механической энергии системы при переходе из одного состояния в другое равно работе, совершенной при этом внешними неконсервативными силами. Если внешние неконсервативные силы отсутствуют, то из (13.2) следует, что

d(Т+П) = 0,

откуда

Т+П = E=const, (13.3)

т. е. полная механическая энергия системы сохраняется постоянной. Выражение (13.3) представляет собой закон сохранения механической энергии: в системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, полная механическая энергия сохраняется, т. е. не изменяется со временем.

Механические системы, на тела которых действуют только консервативные силы (внутренние и внешние), называются консервативными системами. Закон сохранения механической энергии можно сформулировать так: в консервативных системах полная механическая энергия сохраняется.

Закон сохранения механической энергии связан с однородностью времени, т. е. инвариантностью физических законов относительно выбора начала отсчета времени. Например, при свободном падении тела в поле сил тяжести его скорость и пройденный путь зависят лишь от начальной скорости и продолжительности свободного падения тела и не зависят от того, когда тело начало падать.

Существует еще один вид систем — диссипативные системы, в которых механическая энергия постепенно уменьшается за счет преобразования в другие (немеха-нические) формы энергии. Этот процесс получил название диссипации (или рассеяния) энергии. Строго говоря, все системы в природе являются диссипативными.

В консервативных системах полная механическая энергия остается постоянной. Могут происходить лишь превращения кинетической энергии в потенциальную и обратно в эквивалентных количествах, так что полная энергия остается неизменной. Поэтому, как указывает Ф. Энгельс, этот закон не есть просто закон количественного сохранения энергии, а закон сохранения и превращения энергии, выражающий и качественную сторону взаимного превращения различных форм движения друг в друга. Закон сохранения и превращения энергии — фундаментальный закон природы, он справедлив как для систем макроскопических тел, так и для систем микротел.

В системе, в которой действуют также неконсервативные силы, например силы трения, полная механическая энергия системы не сохраняется. Следовательно, в этих случаях закон сохранения механической энергии несправедлив. Однако при «исчезновении» механической энергии всегда возникает эквивалентное количество энергии другого вида. Таким образом, энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой. В этом и заключается физическая сущность закона сохранения и превращения энергии — сущность неуничтожимости материи и ее движения.

Удар абсолютно упругих и неупругих тел

Примером применения законов сохранения импульса и энергии при решении реальной физической задачи является удар абсолютно упругих и неупругих тел.

Удар (или соударение) — это столкновение двух или более тел, при котором взаимодействие длится очень короткое время. Исходя из данного определения, кроме явлений, которые можно отнести к ударам в прямом смысле этого слова(столкновения атомов или биллиардных шаров), сюда можно отнести и такие, как удар человека о землю при прыжке с трамвая и т. д. При ударе в телах возникают столь значительные внутренние силы, что внешними силами, действующими на них, можно пренебречь. Это позволяет рассматривать соударяющиеся тела как замкнутую систему и применять к ней законы сохранения.

Тела во время удара претерпевают деформацию. Сущность удара заключается в том, что кинетическая энергия относительного движения соударяющихся тел на короткое время преобразуется в энергию упругой деформации. Во время удара имеет место перераспределение энергии между соударяющимися телами. Наблюдения показывают, что относительная скорость тел после удара не достигает своего прежнего значения. Это объясняется тем, что нет идеально упругих тел и идеально гладких поверхностей. Отношение нормальных составляющих относительной скорости тел после и до удара называется коэффициентом восстановления e:

e = v'_n/v_n.

Если для сталкивающихся тел e=0, то такие тела называются абсолютно неупругими, если e=1 —абсолютно упругими.

На практике для всех тел 0<e<1 (например, для стальных шаров e»0,56, для шаров из слоновой кости e»0,89, для свинца e»0). Однако в некоторых случаях тела можно с большой точностью рассматривать либо как абсолютно упругие, либо как абсолютно неупругие.

Прямая, проходящая через точку соприкосновения тел и нормальная к поверхности их соприкосновения, называется линией удара. Удар называется центральным, если тела до удара движутся вдоль прямой, проходящей через их центры масс. Мы будем рассматривать только центральные абсолютно упругие и абсолютно неупругие удары.

Абсолютно упругий удар — столкновение двух тел, в результате которого в обоих взаимодействующих телах не остается никаких деформаций и вся кинетическая энергия, которой обладали тела до удара, после удара снова превращается в кинетическую энергию

Для абсолютно упругого удара выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии.

Обозначим скорости шаров массами m ₁и m ₂ до удара через v₁ и v₂, после удара — через v'₁ и v'₂ (рис. 18). При прямом центральном ударе векторы скоростей шаров до и после удара лежат на прямой линии, соединяющей их центры. Проекции векторов скорости на эту линию равны модулям скоростей. Их направления учтем знаками: положительное значение припишем движению вправо, отрицательное — движению влево.

При указанных допущениях законы сохранения имеют вид

Произведя соответствующие преобразования в выражениях (15.1) и (15.2), получим

Решая уравнения (15.3) и (15.5), находим

Разберем несколько примеров.

Проанализируем выражения (15.8) и (15.9) для двух шаров различных масс:

а) m ₁ =m ₂. Если второй шар до удара висел неподвижно (v ₂=0)(рис. 19), то после удара остановится первый шар (v'₁=0), а второй будет двигаться с той же скоростью и в том же направлении, в котором двигался первый шар до удара (v' ₂ = v ₁ );

б) m ₁> m ₂.

Первый шар продолжает двигаться в том же направлении, как и до удара, но с меньшей скоростью (v' ₁ <v ₁ ). Скорость второго шара после удара больше, чем скорость первого после удара (v'₂>v'₁) (рис.20);

в) m ₁< m₂. Направление движения первого шара при ударе изменяется — шар отскакивает обратно. Второй шар движется в ту же сторону, в которую двигался первый шар до удара, но с меньшей скоростью, т.е. v' ₂ <v ₁(рис. 21);

г) m ₂>> m ₁(например, столкновение шара со стеной). Из уравнений (15.8) и (15.9) следует, что v' ₁ =-v ₁, v' ₂ »2 m₁v₁/m₂ » 0.

2) При m ₁= m 2 выражения (15.6) и (15.7) будут иметь вид

v' ₁ =v ₂, v' ₂ =v ₁,

т. е. шары равной массы «обмениваются» скоростями.

Абсолютно неупругий удар — столкновение двух тел, в результате которого тела объединяются, двигаясь дальше как единое целое.

Продемонстрировать абсолютно неупругий удар можно с помощью шаров из пластилина (глины), движущихся навстречу друг другу (рис. 22).

Если массы шаров m₁и m₂, их скорости до удара v₁ и v₂, то, используя закон сохранения импульса, можно записать

Если шары движутся навстречу друг другу, то они вместе будут продолжать двигаться в ту сторону, в которую двигался шар, обладающий большим импульсом. В частном случае если массы шаров равны (m ₁ =m ₂ ), то

v = (v₁+v₂)/2.

Выясним, как изменяется кинетическая энергия шаров при центральном абсолютно неупругом ударе. Так как в процессе соударения шаров между ними дей-ствуют силы, зависящие не от самих деформаций, а от их скоростей, то мы имеем дело с силами, подобными силам трения, поэтому закон сохранения механической энергии не должен соблюдаться. Вследствие деформации происходит «потеря» кинетической энергии, перешедшей в тепловую или другие формы энергии. Эту «потерю» можно определить по разности кинетической энергии тел до и после удара:

Если ударяемое тело было первоначально неподвижно (v ₂ = 0), то

Когда m ₂ >>m ₁(масса неподвижного тела очень большая), то v<<v ₁ и почти вся кинетическая энергия тела при ударе переходит в другие формы энергии. Поэтому, например, для получения значительной деформации наковальня должна быть массивнее молотка. Наоборот, при забивании гвоздей в стену масса молотка должна быть гораздо большей (m ₁ >>m ₂ ), тогда v»v ₁и практически вся энергия затрачивается на возможно большее перемещение гвоздя, а не на остаточную деформацию стены.

Абсолютно неупругий удар — пример того, как происходит «потеря» механической энергии под действием диссипативных сил.

Механика твердого тела

§ 16. Момент инерции

При изучении вращения твердого тела пользуются понятием момента инерции. Моментом инерции системы (тела) относительно оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу

где интегрирование производится по всему объему тела. Величина r в этом случае есть функция положения точки с координатами х, у, z.

В качестве примера найдем момент инерции однородного сплошного цилиндра высотой Л и радиусом R относительно его геометрической оси (рис.23). Разобьем

цилиндр на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно малой толщины dr с внутренним радиусом rи внешним — r+dr. Момент инерции каждого полого цилиндра dJ = r²dm (так как dr<<r, то считаем, что расстояние всех точек цилиндра от оси равно r), где dm — масса всего элементарного цилиндра; его объем 2prhdr. Если r — плотность материала, то dm= r• 2prhdr и dJ = 2prr³dr. Тогда момент инерции сплошного цилиндра

но так как p R'²h — объем цилиндра, то его масса m = pR²hr, а момент инерции

J = 1/2R².

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера: момент инерции тела J относительно любой оси вращения равен моменту его инерции J_c относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы mтела на квадрат расстояния а между осями: J = J_c + ma². (16.1)

Таблица 1

В заключение приведем значения моментов инерции (табл. 1) для некоторых тел (тела считаются однородными, т — масса тела).

Кинетическая энергия вращения

Рассмотрим абсолютно твердое тело (см. § 1), вращающееся около неподвижной оси z, проходящей через него (рис. 24). Мысленно разобьем это тело на маленькие объемы с элементарными массами m ₁, m ₂ ,..., m_n, находящиеся на расстоянии r ₁, r ₂,..., r_n от оси вращения. При вращении твердого тела относительно неподвижной оси отдельные его элементарные объемы массами m_i, опишут окружности различных радиусов r_i и имеют различные линейные скорости v_i. Но так как мы рассматриваем абсолютно твердое тело, то угловая скорость вращения этих объемов одинакова:

w = v ₁ /r ₁ = v ₂ /r ₂ =... = v_n/r_n. (17.1)

Кинетическую энергию вращающегося тела найдем как сумму кинетических энергий его элементарных объемов:

или

Используя выражение (17.1), получим

где J_z — момент инерции тела относительно оси 2. Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела

T_вр = J_zw²/2. (17.2)

Из сравнения формулы (17.2) с выражением (12.1) для кинетической энергии тела, движущегося поступательно (T= mv²/2), следует, что момент инерции вращательного движения — мера инертности тела. Формула (17.2) справедлива для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

В случае плоского движения тела, например цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости без скольжения, энергия движения складывается из энергии поступательного движения и энергии вращения:

где m — масса катящегося тела; v_c — скорость центра масс тела; J _с — момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс; w — угловая скорость тела.

Момент силы. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела

Моментом силы F относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора г, проведенного из точки О в точку А приложения силы, на силу F (рис. 25):

M = [ rF ].

Здесь М — псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от г к F.

Модуль момента силы

M = Frsina= Fl, (18.1)

где a — угол между г и F; rsina = l — кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой О — плечо силы.

Моментом силы относительно неподвижной оси z называется скалярная величина М_z, равная проекции на эту ось вектор а М момента силы, определенного относительно произвольной точки О данной оси 2 (рис.26). Значение момента М_z не зависит от выбора положения точки О на оси z.

Если ось z совпадает с направлением вектора М, то момент силы представля-

ется в виде вектора, совпадающего с осью:

М _z = [ rF ]_z.

Найдем выражение для работы при вращении тела (рис.27). Пусть сила F приложена в точке В, находящейся от оси вращения на расстоянии r, a — угол между направлением силы и радиусом-вектором r. Так как тело абсолютно твердое, то работа этой силы равна работе, затраченной на поворот всего тела. При повороте тела на бесконечно малый угол dj точка приложения В проходит путь ds= rdj, и работа равна произведению проекции силы на направление смещения на величину смещения:

dA=F sinardj. (18.2) Учитывая (18.1), можем записать dA=M_zdj,

где Fr sina = Fl =M_z — момент силы относительно оси z. Таким образом, работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота.

Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии:

dA = dT, но

Учитывая, что w=dj/dt, получим

Уравнение (18.3) представляет собой уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси.

Можно показать, что если ось вращения совпадает с главной осью инерции (см. §20), проходящей через центр масс, то имеет место векторное равенство

где J — главный момент инерции тела (момент инерции относительно главной оси).

Момент импульса и закон его сохранения

При сравнении законов вращательного и поступательного движений просматривается аналогия между ними, только во вращательном движении вместо силы «выступает» ее момент, роль массы играет момент инерции. Какая же величина будет аналогом импульса тела? Ею является момент импульса тела относительно оси.

Моментом импульса (количества движения) материальной точки А относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением:

L = [ rp | = [ r m v ],

где r — радиус-вектор, проведенный из точки О в точку A; p = m v — импульс материальной точки (рис.28); L —псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к p. Модуль вектора момента импульса

L = rp sinalfa =mvr sinalfa= pl,

где a — угол между векторами r и p, l — плечо вектора р относительно точки О.

Моментом импульса относительно неподвижной оси z называется скалярная величина L_z, равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки О данной оси. Значение момента импульса L_z не зависит от положения точки О на оси z.