Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


”гловое перемещение, углова€ скорость, угловое ускорение, их св€зь




— линейными величинами.

”гловое перемещение Ч векторна€ величина, характеризующа€ изменение угловой координаты в процессе еЄ движени€.

”глова́€ ско́рость Ч векторна€ физическа€ величина, характеризующа€ скорость вращени€ тела. ¬ектор угловой скорости по величине равен углу поворота тела в единицу времени:

,

а направлен по оси вращени€ согласно правилу буравчика, то есть, в ту сторону, в которую ввинчивалс€ бы буравчик с правой резьбой, если бы вращалс€ в ту же сторону.

 

≈диница измерени€ угловой скорости, прин€та€ в системах —» и —√—) Ч радианы в секунду. (ѕримечание: радиан, как и любые единицы измерени€ угла, Ч физически безразмерен, поэтому физическа€ размерность угловой скорости Ч просто [1/секунда]). ¬ технике также используютс€ обороты в секунду, намного реже Ч градусы в секунду, грады в секунду. ѕожалуй, чаще всего в технике используют обороты в минуту Ч это идЄт с тех времЄн, когда частоту вращени€ тихоходных паровых машин определ€ли, просто Ђвручнуюї подсчитыва€ число оборотов за единицу времени.

 

¬ектор (мгновенной) скорости любой точки (абсолютно) твердого тела, вращающегос€ с угловой скоростью определ€етс€ формулой:

где Ч радиус-вектор к данной точке из начала координат, расположенного на оси вращени€ тела, а квадратными скобками обозначено векторное произведение. Ћинейную скорость (совпадающую с модулем вектора скорости) точки на определенном рассто€нии (радиусе) r от оси вращени€ можно считать так: v = rω. ≈сли вместо радианов примен€ть другие единицы углов, то в двух последних формулах по€витс€ множитель, не равный единице.

¬ случае плоского вращени€, то есть когда все векторы скоростей точек тела лежат (всегда) в одной плоскости (Ђплоскости вращени€ї), углова€ скорость тела всегда перпендикул€рна этой плоскости, и по сути Ч если плоскость вращени€ заведомо известна Ч может быть заменена скал€ром Ч проекцией на ось, ортогональную плоскости вращени€. ¬ этом случае кинематика вращени€ сильно упрощаетс€, однако в общем случае углова€ скорость может мен€ть со временем направление в трехмерном пространстве, и така€ упрощенна€ картина не работает.

ѕроизводна€ угловой скорости по времени есть угловое ускорение.

ƒвижение с посто€нным вектором угловой скорости называетс€ равномерным вращательным движением (в этом случае угловое ускорение равно нулю).

”глова€ скорость (рассматриваема€ как свободный вектор) одинакова во всех инерциальных системах отсчета, однако в разных инерциальных системах отсчета может различатьс€ ось или центр вращени€ одного и того же конкретного тела в один и тот же момент времени (то есть будет различной Ђточка приложени€ї угловой скорости).

¬ случае движени€ одной единственной точки в трехмерном пространстве можно написать выражение дл€ угловой скорости этой точки относительно выбранного начала координат:

, где Ч радиус-вектор точки (из начала координат), Ч скорость этой точки. Ч векторное произведение, Ч скал€рное произведение векторов. ќднако эта формула не определ€ет угловую скорость однозначно (в случае единственной точки можно подобрать и другие векторы , подход€щие по определению, по другому Ч произвольно Ч выбрав направление оси вращени€), а дл€ общего случа€ (когда тело включает более одной материальной точки) Ч эта формула не верна дл€ угловой скорости всего тела (так как дает разные дл€ каждой точки, а при вращении абсолютно твЄрдого тела по определению углова€ скорость его вращени€ Ч единственный вектор). ѕри всЄм при этом, в двумерном случае (случае плоского вращени€) эта формула вполне достаточна, однозначна и корректна, так как в этом частном случае направление оси вращени€ заведомо однозначно определено.

¬ случае равномерного вращательного движени€ (то есть движени€ с посто€нным вектором угловой скорости) декартовы координаты точек вращающегос€ так тела совершают гармонические колебани€ с угловой (циклической) частотой, равной модулю вектора угловой скорости.

ѕри измерении угловой скорости в оборотах в секунду (об/с), модуль угловой скорости равномерного вращательного движени€ совпадает с частотой вращени€ f, измеренной в герцах (√ц)

 

(то есть в таких единицах ).

¬ случае использовани€ обычной физической единицы угловой скорости Ч радианов в секунду Ч модуль угловой скорости св€зан с частотой вращени€ так:

Ќаконец, при использовании градусов в секунду св€зь с частотой вращени€ будет:

”глово́е ускоре́ние Ч псевдовекторна€ физическа€ величина, характеризующа€ быстроту изменени€ угловой скорости твЄрдого тела.

ѕри вращении тела вокруг неподвижной оси, угловое ускорение по модулю равно:

 

¬ектор углового ускорени€ α направлен вдоль оси вращени€ (в сторону при ускоренном вращении и противоположно Ч при замедленном).

 

ѕри вращении вокруг неподвижной точки вектор углового ускорени€ определ€етс€ как перва€ производна€ от вектора угловой скорости ω по времени, то есть

,

и направлен по касательной к годографу вектора в соответствующей его точке.

 

—уществует св€зь между тангенциальным и угловым ускорени€ми:

где R Ч радиус кривизны траектории точки в данный момент времени. »так, угловое ускорении равно второй производной от угла поворота по времени или первой производной от угловой скорости по времени. ”гловое ускорение измер€етс€ в рад/сек2.

”глова€ скорость и угловое ускорение

–ассмотрим твердое тело, которое вращаетс€ вокруг неподвижной оси. “огда отдель≠ные точки этого тела будут описывать окружности разных радиусов, центры которых лежат на оси вращени€. ѕусть некотора€ точка движетс€ по окружности радиуса R (рис. 6). ≈е положение через промежуток времени D t зададим углом D . Ёлементар≠ные (бесконечно малые) повороты можно рассматривать как векторы (они обозначают≠с€ или ). ћодуль вектора равен углу поворота, а его направление совпадает с направлением поступательного движени€ остри€ винта, головка которого вращаетс€ в направлении движени€ точки по окружности, т.е. подчин€етс€ правилу правого винта (рис.6). ¬екторы, направлени€ которых св€зываютс€ с направлением вращени€, назы≠ваютс€ псевдовекторами или аксиальными векторами. Ёти векторы не имеют опреде≠ленных точек приложени€: они могут откладыватьс€ из любой точки оси вращени€.

”гловой скоростью называетс€ векторна€ величина, равна€ первой производной угла поворота тела по времени:

¬ектор направлен вдоль оси вращени€ по правилу правого винта, т.е. так же, как и вектор (рис.7). –азмерность угловой скорости dim w =TЦ 1, а ее единица Ч ради≠ан в секунду (рад/с).

Ћинейна€ скорость точки (см. рис. 6)

т. е.

¬ векторном виде формулу дл€ линейной скорости можно написать как векторное произведение:

ѕри этом модуль векторного произведени€, по определению, равен , а направление совпадает с направлением поступательного движени€ правого винта при его вращении от к R.

≈сли ( = const, то вращение равномерное и его можно характеризовать периодом вращени€ T Ч временем, за которое точка совершает один полный оборот, т.е. поворачиваетс€ на угол 2p. “ак как промежутку времени D t = T соответствует = 2p, то = 2p/ T, откуда

„исло полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его движении по окружности, в единицу времени называетс€ частотой вращени€:

откуда

”гловым ускорением называетс€ векторна€ величина, равна€ первой производной угловой скорости по времени:

ѕри вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорени€ направлен вдоль оси вращени€ в сторону вектора элементарного приращени€ угловой скорости. ѕри ускоренном движении вектор сонаправлен вектору (рис.8), при замедлен≠ном Ч противонаправлен ему (рис.9).

“ангенциальна€ составл€юща€ ускорени€

Ќормальна€ составл€юща€ ускорени€

“аким образом, св€зь между линейными (длина пути s, пройденного точкой по дуге окружности радиуса R, линейна€ скорость v, тангенциальное ускорение , нормальное ускорение ) и угловыми величинами (угол поворота j, углова€ скорость w, угловое ускорение e) выражаетс€ следующими формулами:

¬ случае равнопеременного движени€ точки по окружности (e=const)

где w0 Ч начальна€ углова€ скорость.

 

«аконы Ќьютона.

ѕервый закон Ќьютона. ћасса. —ила

ƒинамика €вл€етс€ основным разделом механики, в ее основе лежат три закона Ќьютона, сформулированные им в 1687 г. «аконы Ќьютона играют исключительную роль в механике и €вл€ютс€ (как и все физические законы) обобщением результатов огромного человеческого опыта. »х рассматривают как систему взаимосв€занных законов и опытной проверке подвергают не каждый отдельный закон, а всю систему в целом.

ѕервый закон Ќьютона: вс€ка€ материальна€ точка (тело) сохран€ет состо€ние поко€ или равномерного пр€молинейного движени€ до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит ее изменить это состо€ние. —тремление тела сохран€ть состо€ние поко€ или равномерного пр€молинейного движени€ называетс€ инертностью. ѕоэтому первый закон Ќьютона называют также законом инерции.

ћеханическое движение относительно, и его характер зависит от системы отсчета. ѕервый закон Ќьютона выполн€етс€ не во вс€кой системе отсчета, а те системы, по отношению к которым он выполн€етс€, называютс€ инерциальными системами отсчета. »нерциальной системой отсчета €вл€етс€ така€ система отсчета, относительно которой материальна€ точка, свободна€ от внешних воздействий, либо покоитс€, либо движетс€ равномерно и пр€молинейно. ѕервый закон Ќьютона утверждает существование инерциальных систем отсчета.

ќпытным путем установлено, что инерциальной можно считать гелиоцентрическую (звездную) систему отсчета (начало координат находитс€ в центре —олнца, а оси проведаны в направлении определенных звезд). —истема отсчета, св€занна€ с «емлей, строго говор€, неинерциальна, однако эффекты, обусловленные ее неинерциальностью («емл€ вращаетс€ вокруг собственной оси и вокруг —олнца), при решении многих задач пренебрежимо малы, и в этих случа€х ее можно считать инерциальной.

»з опыта известно, что при одинаковых воздействи€х различные тела неодинаково измен€ют скорость своего движени€, т.е., иными словами, приобретают различные ускорени€. ”скорение зависит не только от величины воздействи€, но и от свойств самого тела (от его массы).

ћасса тела Ч физическа€ величина, €вл€юща€с€ одной из основных характеристик материи, определ€юща€ ее инерционные (инертна€ масса) и гравитационные (гравитационна€ масса) свойства. ¬ насто€щее врем€ можно считать доказанным, что инертна€ и гравитационна€ массы равны друг другу (с точностью, не меньшей 10Ц12 их значени€).

„тобы описывать воздействи€, упоминаемые в первом законе Ќьютона, ввод€т пон€тие силы. ѕод действием сил тела либо измен€ют скорость движени€, т. е. приобретают ускорени€ (динамическое про€вление сил), либо деформируютс€, т. е. измен€ют свою форму и размеры (статическое про€вление сил). ¬ каждый момент времени сила характеризуетс€ числовым значением, направлением в пространстве и точкой приложени€. »так, сила Ч это векторна€ величина, €вл€юща€с€ мерой механического воздействи€ на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело приобретает ускорение или измен€ет свою форму и размеры.

¬торой закон Ќьютона

¬торой закон Ќьютона Ч основной закон динамики поступательного движени€ Ч от≠вечает на вопрос, как измен€етс€ механическое движение материальной точки (тела) под действием приложенных к ней сил.

≈сли рассмотреть действие различных сил на одно и то же тело, то оказываетс€, что ускорение, приобретаемое телом, всегда пр€мо пропорционально равнодействующей приложенных сил:

а ~ F (т = const). (6.1)

ѕри действии одной и той же силы на тела с разными массами их ускорени€ оказываютс€ различными, а именно

а ~ 1 /т (F = const). (6.2)

»спользу€ выражени€ (6.1) и (6.2) и учитыва€, что сила и ускорениеЧвеличины векторные, можем записать

а = kF/m. (6.3)

—оотношение (6.3) выражает второй закон Ќьютона: ускорение, приобретаемое материальной точкой (телом), пропорционально вызывающей его силе, совпадает с нею по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки (тела).

¬ —» коэффициент пропорциональности k= 1. “огда

или

(6.4)

”читыва€, что масса материальной точки (тела) в классической механике есть величина посто€нна€, в выражении (6.4) ее можно внести под знак производной:

(6.5)

¬екторна€ величина

(6.6)

численно равна€ произведению массы материальной точки на ее скорость и имеюща€ направление скорости, называетс€ импульсом (количеством движени€) этой материаль≠ной точки.

ѕодставл€€ (6.6) в (6.5), получим

(6.7)

Ёто выражение Ч более обща€ формулировка второго закона Ќьютона: скорость изме≠нени€ импульса материальной точки равна действующей на нее силе. ¬ыражение (6.7) называетс€ уравнением движени€ материальной точки.

≈диница силы в —» Ч ньютон (Ќ): 1 Ќ Ч сила, котора€ массе 1 кг сообщает ускорение 1 м/с2 в направлении действи€ силы:

1 Ќ = 1 кг×м/с2.

¬торой закон Ќьютона справедлив только в инерциальных системах отсчета. ѕервый закон Ќьютона можно получить из второго. ƒействительно, в случае равенст≠ва нулю равнодействующей сил (при отсутствии воздействи€ на тело со стороны других тел) ускорение (см. (6.3)) также равно нулю. ќднако первый закон Ќьютона рассматриваетс€ как самосто€тельный закон (а не как следствие второго закона), так как именно он утверждает существование инерциальных систем отсчета, в которых только и выполн€етс€ уравнение (6.7).

¬ механике большое значение имеет принцип независимости действи€ сил: если на материальную точку действует одновременно несколько сил, то кажда€ из этих сил сообщает материальной точке ускорение согласно второму закону Ќьютона, как будто других сил не было. —огласно этому принципу, силы и ускорени€ можно разлагать на составл€ющие, использование которых приводит к существенному упрощению решени€ задач. Ќапример, на рис. 10 действующа€ сила F= m a разложена на два компонен≠та: тангенциальную силу Ft, (направлена по касательной к траектории) и нормальную силу F n (направлена по нормали к центру кривизны). »спользу€ выражени€ и , а также , можно записать:

≈сли на материальную точку действует одновременно несколько сил, то, согласно принципу независимости действи€ сил, под F во втором законе Ќьютона понимают результирующую силу.

“ретий закон Ќьютона

¬заимодействие между материальными точками (телами) определ€етс€ третьим зако≠ном Ќьютона: вс€кое действие материальных точек (тел) друг на друга носит характер взаимодействи€; силы, с которыми действуют друг на друга материальные точки, всегда равны по модулю, противоположно направлены и действуют вдоль пр€мой, соедин€ющей эти точки:

F12 = Ц F21, (7.1)

где F12 Ч сила, действующа€ на первую материальную точку со стороны второй;

F21 Ч сила, действующа€ на вторую материальную точку со стороны первой. Ёти силы приложены к разным материальным точкам (телам), всегда действуют парами и €вл€≠ютс€ силами одной природы.

“ретий закон Ќьютона позвол€ет осуществить переход от динамики отдельной материальной точки к динамике системы материальных точек. Ёто следует из того, что и дл€ системы материальных точек взаимодействие сводитс€ к силам парного взаимодействи€ между материальными точками.





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2016-09-03; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 32386 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

≈сли президенты не могут делать этого со своими женами, они делают это со своими странами © »осиф Ѕродский
==> читать все изречени€...

658 - | 607 -


© 2015-2023 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.057 с.