Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


“ангенциальное и нормальное ускорение




Ћинейное перемещение, линейна€ скорость, линейное ускорение.

ѕеремеще́ние (в кинематике) Ч изменение местоположени€ физического тела в пространстве относительно выбранной системы отсчЄта. “акже перемещением называют вектор, характеризующий это изменение. ќбладает свойством аддитивности. ƒлина отрезка Ч это модуль перемещени€, измер€етс€ в метрах (—»).

ћожно определить перемещение, как изменение радиус-вектора точки:.

ћодуль перемещени€ совпадает с пройденным путЄм в том и только в том случае, если при движении направление перемещени€ не измен€етс€. ѕри этом траекторией будет отрезок пр€мой. ¬ любом другом случае, например, при криволинейном движении, из неравенства треугольника следует, что путь строго больше.

¬ектор D r = r Ч r 0, проведенный из начального положени€ движущейс€ точки в положение ее в данный момент времени (приращение радиуса-вектора точки за рассматриваемый промежуток времени), называетс€ перемещением.

ѕри пр€молинейном движении вектор перемещени€ совпадает с соответствующим участком траектории и модуль перемещени€ |D r | равен пройденному пути D s.
Ћинейна€ скорость тела в механике

—корость

ƒл€ характеристики движени€ материальной точки вводитс€ векторна€ величина Ч скорость, которой определ€етс€ как быстрота движени€, так и его направ≠ление в данный момент времени.

ѕусть материальна€ точка движетс€ по какой-либо криволинейной траектории так, что в момент времени t ей соответствует радиус-вектор r0 (рис. 3). ¬ течение малого промежутка времени D t точка пройдет путь D s и получит элементарное (бесконечно малое) перемещение Dr.

¬ектором средней скорости <v> называетс€ отношение приращени€ Dr радиу≠са-вектора точки к промежутку времени D t:

(2.1)

Ќаправление вектора средней скорости совпадает с направлением Dr. ѕри неог≠раниченном уменьшении D t средн€€ скорость стремитс€ к предельному значению, которое называетс€ мгновенной скоростью v:

ћгновенна€ скорость v, таким образом, есть векторна€ величина, равна€ первой производной радиуса-вектора движущейс€ точки по времени. “ак как секуща€ в пре≠деле совпадает с касательной, то вектор скорости v направлен по касательной к траек≠тории в сторону движени€ (рис. 3). ѕо мере уменьшени€ D t путь D s все больше будет приближатьс€ к |Dr|, поэтому модуль мгновенной скорости

“аким образом, модуль мгновенной скорости равен первой производной пути по времени:

(2.2)

ѕри неравномерном движении Ч модуль мгновенной скорости с течением времени измен€етс€. ¬ данном случае пользуютс€ скал€рной величиной á v ñ Ч средней скоро≠стью неравномерного движени€:

»з рис. 3 вытекает, что á v ñ> |ávñ|, так как D s > |Dr|, и только в случае пр€молиней≠ного движени€

≈сли выражение d s = v d t (см. формулу (2.2)) проинтегрировать по времени в пре≠делах от t до t + D t, то найдем длину пути, пройденного точкой за врем€ D t:

(2.3)

¬ случае равномерного движени€ числовое значение мгновенной скорости посто€нно; тогда выражение (2.3) примет вид

ƒлина пути, пройденного точкой за промежуток времени от t 1 до t 2, даетс€ интегралом

”скорение и его составл€ющие

¬ случае неравномерного движени€ важно знать, как быстро измен€етс€ скорость с течением времени. ‘изической величиной, характеризующей быстроту изменени€ скорости по модулю и направлению, €вл€етс€ ускорение.

–ассмотрим плоское движение, т.е. движение, при котором все участки траектории точки лежат в одной плоскости. ѕусть вектор v задает скорость точки ј в момент времени t. «а врем€ D t движуща€с€ точка перешла в положение ¬ и приобрела скорость, отличную от v как по модулю, так и направлению и равную v1 = v + Dv. ѕеренесем вектор v1 в точку ј и найдем Dv (рис. 4).

—редним ускорением неравномерного движени€ в интервале от t до t + D t называетс€ векторна€ величина, равна€ отношению изменени€ скорости Dv к интервалу вре≠мени D t

ћгновенным ускорением а (ускорением) материальной точки в момент време≠ни t будет предел среднего ускорени€:

“аким образом, ускорение a есть векторна€ величина, равна€ первой производной скорости по времени.

–азложим вектор Dv на две составл€ющие. ƒл€ этого из точки ј (рис. 4) по направлению скорости v отложим вектор , по модулю равный v1. ќчевидно, что вектор , равный , определ€ет изменение скорости за врем€ D t по моду≠лю: . ¬тора€ же составл€юща€ вектора Dv характеризует изменение ско≠рости за врем€ D t по направлению.

“ангенциальное и нормальное ускорение.

“ангенциа́льное ускоре́ние Ч компонента ускорени€, направленна€ по касательной к траектории движени€. —овпадает с направлением вектора скорости при ускоренном движении и противоположно направлено при замедленном. ’арактеризует изменение модул€ скорости. ќбозначаетс€ обычно или (, итд в соответствии с тем, кака€ буква выбрана дл€ обозначени€ ускорени€ вообще в данном тексте).

»ногда под тангенциальным ускорением понимают проекцию вектора тангенциального ускорени€ Ч как он определен выше Ч на единичный вектор касательной к траектории, что совпадает с проекцией (полного) вектора ускорени€ на единичный вектор касательной то есть соответствующий коэффициент разложени€ по сопутствующему базису. ¬ этом случае используетс€ не векторное обозначение, а Ђскал€рноеї Ч как обычно дл€ проекции или координаты вектора Ч .

¬еличину тангенциального ускорени€ - в смысле проекции вектора ускорени€ на единичный касательный вектор траектории - можно выразить так:


где - путева€ скорость вдоль траектории, совпадающа€ с абсолютной величиной мгновенной скорости в данный момент.

 

≈сли использовать дл€ единичного касательного вектора обозначение , то можно записать тангенциальное ускорение в векторном виде:

 

¬ывод

¬ыражение дл€ тангенциального ускорени€ можно найти, продифференцировав по времени вектор скорости, представленный в виде через единичный вектор касательной :

 

где первое слагаемое Ч тангенциальное ускорение, а второе Ч нормальное ускорение.

 

«десь использовано обозначение дл€ единичного вектора нормали к траектории и - дл€ текущей длины траектории (); в последнем переходе также использовано очевидное

и, из геометрических соображений,

÷ентростремительное ускорение(нормальное) Ч часть полного ускорени€ точки, обусловленного кривизной траектории и скоростью движени€ по ней материальной точки. “акое ускорение направлено к центру кривизны траектории, чем и обусловлен термин. ‘ормально и по существу термин центростремительное ускорение в целом совпадает с термином нормальное ускорение, различа€сь скорее лишь стилистически (иногда исторически).

ќсобенно часто о центростремительном ускорении говор€т, когда речь идет о равномерном движении по окружности или при движении, более или менее приближенном к этому частному случаю.

Ёлементарна€ формула


или

 

где Ч нормальное (центростремительное) ускорение, Ч (мгновенна€) линейна€ скорость движени€ по траектории, Ч (мгновенна€) углова€ скорость этого движени€ относительно центра кривизны траектории, Ч радиус кривизны траектории в данной точке. (Cв€зь между первой формулой и второй очевидна, учитыва€).

 

¬ыражени€ выше включают абсолютные величины. »х легко записать в векторном виде, домножив на Ч единичный вектор от центра кривизны траектории к данной ее точки:

 


Ёти формулы равно применимы к случаю движени€ с посто€нной (по абсолютной величине) скоростью, так и к произвольному случаю. ќднако во втором надо иметь в виду, что центростремительное ускорение не есть полный вектор ускорени€, а лишь его составл€юща€, перпендикул€рна€ траектории (или, что то же, перпендикул€рна€ вектору мгновенной скорости); в полный же вектор ускорени€ тогда входит еще и тангенциальна€ составл€юща€ (тангенциальное ускорение) , по направлению совпадающее с касательной к траектории (или, что то же, с мгновенной скоростью).

¬ывод

“о, что разложение вектора ускорени€ на компоненты Ч одну вдоль касательного к траектории вектора (тангенциальное ускорение) и другую ортогональную ему (нормальное ускорение) Ч может быть удобным и полезным, довольно очевидно само по себе. Ёто усугубл€етс€ тем, что при движении с посто€нной по величине скоростью тангенциальна€ составл€юща€ будет равной нулю, то есть в этом важном частном случае остаетс€ только нормальна€ составл€юща€.  роме того, как можно увидеть ниже, кажда€ из этих составл€ющих имеет €рко выраженные собственные свойства и структуру, и нормальное ускорение содержит в структуре своей формулы достаточно важное и нетривиальное геометрическое наполнение. Ќе говор€ уже о важном частном случае движени€ по окружности (который, к тому же, практически без изменени€ может быть обобщен и на общий случай).

‘ормальный вывод

–азложение ускорени€ на тангенциальную и нормальную компоненты (втора€ из которых и есть центростремительное или нормальное ускорение) можно найти, продифференцировав по времени вектор скорости, представленнный в виде через единичный вектор касательной .

√де первое слагаемое Ч тангенциальное ускорение, а второе Ч нормальное ускорение.

«десь использовано обозначение дл€ единичного вектора нормали к траектории и Ч дл€

текущей длины траектории (); в последнем переходе также использовано очевидное

.

ƒалее можно просто формально назвать член

 

Ч нормальным (центростремительным) ускорением. ѕри этом его смысл, смысл вход€щих в него объектов, а также доказательство того факта, что он действительно ортогонален касательному вектору (то есть что Ч действительно вектор нормали) Ч будет следовать из геометрических соображений (впрочем, то, что производна€ любого вектора посто€нной длины по времени перпендикул€рна самому этому вектору, Ч достаточно простой факт; в данном случае мы примен€ем это утверждение дл€).





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2016-09-03; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 10094 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

¬аше врем€ ограничено, не тратьте его, жив€ чужой жизнью © —тив ƒжобс
==> читать все изречени€...

427 - | 426 -


© 2015-2023 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.025 с.