Связь линейных и угловых величин

Понятно, что линейные и соответствующие им угловые величины должны быть определенным образом связаны между собой. Найдем эти связи.

При повороте радиуса, проведенного в точку М (см. рис. 2), на угол φ точка пройдет по дуге окружности путь

. (1)

За малое время Δ t точка проходит расстояние , где φ ₂ и φ ₁ — углы поворота в конце и в начале интервала Δ t. Разделив последнее равенство на Δ t и учитывая, что и , получим

. (2)

Заметим, что соотношение (2) связывает между собой линейную и угловую скорости не только при равномерном движении точки по окружности, но- и при неравномерном движении тоже. Изменение модуля скорости точки за время Δ t есть , где ω ₂ и ω ₁ — угловые скорости в конце и в начале промежутка Δ t. Разделим последнее равенство на Δ t и учтем, что и , тогда касательное ускорение

. (3)

Соотношения (1), (2) и (3) дают для движущейся по окружности точки простую связь между линейными и угловыми величинами: линейная величина равна произведению радиуса окружности на соответствующую угловую величину. Эти соотношения получены нами для конкретной точки М колеса троллейбуса, но они справедливы и для любой другой точки вращающегося (как равномерно, так и неравномерно) тела.

 

Ответ №7

Что же происходит с телом в те моменты времени, когда взаимодействия с другими телами нет? Ответ на этот вопрос дает первый закон Ньютона, или закон инерции, который гласит: если данное тело не взаимодействует с другими телами, то оно движется прямолинейно и равномерно либо покоится. Такое движение называют движением по инерции. В природе каждое тело постоянно взаимодействует с другими, например мы все время испытываем притяжение Земли, поэтому движение по инерции возможно лишь теоретически. Если, к примеру, представить себе, что исчезло сопротивление воздуха и сила тяжести, то камень, брошенный с поверхности Земли будет двигаться прямолинейно и равномерно по инерции.

Инерциальная система отсчёта, система отсчёта, в которой справедлив закон инерции: материальная точка, когда на неё не действуют никакие силы (или действуют силы взаимно уравновешенные), находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.

Для того чтобы количественно описать взаимодействие тел, определим новую физическую величину: сила – это мера взаимодействия тел. Сила – величина векторная.

Принцип независимости действия сил - принцип механики, согласно которому каждая из сил, действующих на тело, сообщает ему пропорциональное ей ускорение независимо от действия других сил. При этом ускорение тела равно векторной сумме ускорений, сообщаемых ему каждой из этих сил в отдельности.

В физике различают 4 типа (фундаментальные взаимодействия):

1. Гравитационное взаимодействие возникает из-за наличия у тел массы (любое тело имеющее массу, имеет поле, которое действует на другие тела, находящиеся в поле). Гравитационное взаимодействие есть всегда сила притяжения. Именно гравитационные силы обеспечивают относительную устойчивость вселенной.

2. Электромагнитное взаимодействие вызвано наличием у тел некомпенсированного заряда. В частности наличия электромагнитного взаимодействия объясняется устойчивость атома вещества.

3. Сильное, или ядерное взаимодействие реализуется внутри атомного ядра. Это сила превосходит кулоновские силы.

4. Слабое взаимодействие – это взаимодействие, возникающее при взаимопревращениях элементарных частиц.

Ответ №8

Второй закон Ньютона

Второй закон Ньютона — дифференциальный закон движения, описывающий взаимосвязь между равнодействующей всех приложенных к телу сил и ускорением этого тела. Один из трёх законов Ньютона.

Второй закон Ньютона утверждает: в инерциальных системах ускорение, приобретаемое материальной точкой (телом), прямо пропорционально вызывающей его силе, совпадает с нею по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки (тела).

Этот закон записывается в виде формулы:

где — ускорение тела (вектор), — сила, приложенная к телу (вектор), а m — масса тела. Или, в более известном виде:

Физическая величина, пропорциональная отношению силы, приложенной к телу, к ускорению тела называется массой. Масса – это мера инертности тела. Масса является скаляром. Единицей измерения массы в СИ является килограмм (кг) – это одна из основных единиц измерения СИ.

Аддетивность. Масса составного тела, равная сумме масс его частей.

Если одно тело взаимодействует со вторым, то и второе взаимодействует с первым. При этом справедлив третий закон Ньютона: в инерциальных системах отсчета две материальные точки взаимодействуют с силами, равными по модулю, противоположными по направлению и направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки. В векторной форме этот закон запишется в виде:

Т.е. сила, с которой одно тело взаимодействует со вторым, равна по модулю и противоположна по направлению силе, с которой второе тело взаимодействует с первым. Еще говорят, что сила действия равна силе противодействия, имея в виду, что если считать, что одно тело действует на второе с некоторой силой, то второе противодействует ему с такой же силой. Например, монитор, стоящий на столе, действует на стол своим весом, а стол действует на монитор силой реакции опоры, равной по модулю весу монитора.

Ответ №9

Предположим, что мы хотим остановить движущееся тело. Усилие, которое нам придется для этого приложить, зависит не только от скорости тела, но и от его массы. Введем новую физическую величину, равную произведению скорости материальной точки на ее массу – импульс:

Импульс – величина векторная, направление вектора импульса совпадает с направлением вектора скорости. Единицей измерения импульса в СИ является:

С помощью второго закона Ньютона можно вывести закон изменения импульса под действием постоянной силы:

где t – время действия силы F.

При выводе использовано то, что масса тела неизменна, а изменение скорости равно произведению ускорения на время.

Величина, стоящая в правой части закона изменения импульса, называется импульсом силы – это величина, равная произведению силы на время ее действия. Импульс силы – величина векторная, направление импульса силы совпадает с направлением вектора силы.

Производная от импульса тела по времени пропорциональна, действующей на тело силе. Это утверждение носит название – Второй закон Ньютона в импульсной форме:

Для замкнутой системы тел справедлив закон сохранения импульса: суммарный импульс замкнутой системы тел сохраняется при любых взаимодействиях внутри системы:

где – импульсы тел системы. Согласно закону сохранения импульса, хотя и импульсы отдельных тел, входящих в систему, изменяются при взаимодействиях внутри системы, но векторная сумма импульсов тел не меняется. Закон сохранения импульса можно записать отдельно для каждой проекции импульса – сумма проекций импульсов на какую-либо ось сохраняется. Закон сохранения проекции импульса на какую-либо ось справедлив даже для не замкнутой системы тел, если проекция суммы внешних сил на данную ось равна нулю.

Ответ №10

Совокупность тел, рассматриваемых как единое целое, называют системой материальных точек.

Силы, с которыми взаимодействуют материальные точки системы между собой, называют внутренними силами. Силы, с которыми на материальные точки системы действуют тела, не входящие в данную систему (внешние тела), называют внешними силами.

Когда мы описываем систему тел, то хорошо бы было найти такую точку, которая описывала бы положение и движение системы как целого. Такая точка называется центром масс. Центр масс системы из двух материальных точек определяется следующим образом. Пусть радиус-векторы точек системы и , а их массы – m1 и m2. Тогда радиус-вектор центра масс: Центр масс системы из двух материальных точек лежит на отрезке, соединяющем эти точки, и делит этот отрезок в отношении, обратно пропорциональном их массам. В случае равенства масс центр масс лежит посередине отрезка. В случае системы из n точек получается следующее выражение: Координаты центра масс: Ответ №11 Замкнутая система в механике может быть определена как такая система тел, на которую не действуют внешние силы, либо действия этих внешних сил на тела системы полностью скомпенсированы. Для замкнутой системы тел справедлив закон сохранения импульса: суммарный импульс замкнутой системы тел сохраняется при любых взаимодействиях внутри системы: где – импульсы тел системы. Согласно закону сохранения импульса, хотя и импульсы отдельных тел, входящих в систему, изменяются при взаимодействиях внутри системы, но векторная сумма импульсов тел не меняется. Закон сохранения импульса можно записать отдельно для каждой проекции импульса – сумма проекций импульсов на какую-либо ось сохраняется. Закон сохранения проекции импульса на какую-либо ось справедлив даже для не замкнутой системы тел, если проекция суммы внешних сил на данную ось равна нулю. Ответ №12 Ответ №13 Опытным путем выявлено, что все тела, обладающие массой, непрерывно взаимодействуют друг с другом. При этом силы взаимодействия направлены так, что тела притягиваются друг другу. Эти силы называются силами тяготения. Величина силы тяготения между двумя материальными точками находится по закону всемирного тяготения: сила тяготения между двумя материальными точками прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними: где γ – константа, называющаяся гравитационной постоянной. Гравитационная постоянная численно равна силе, с которой взаимодействуют два тела массами по 1 кг, находящиеся на расстоянии 1 м. В системе единиц СИ размерность гравитационной постоянной: Численное значение гравитационной постоянной, определенное из опыта, равно: Закон всемирного тяготения применим также к однородным шарам, если за расстояние брать расстояние между центрами шаров. Для более сложных тел форма закона усложняется. В современной физике понятие «количество вещества» имеет другой смысл, а под массой понимают два различных свойства физического объекта: Гравитационная масса показывает, с какой силой тело взаимодействует с внешними гравитационными полями — фактически эта масса положена в основу измерения массы взвешиванием в современной метрологии, и какое гравитационное поле создаёт само это тело (активная гравитационная масса) — эта масса фигурирует в законе всемирного тяготения. Инертная масса, которая характеризует меру инертности тел и фигурирует в одной из формулировок второго закона Ньютона. Если произвольная сила в инерциальной системе отсчёта одинаково ускоряет разные исходно неподвижные тела, этим телам приписывают одинаковую инертную массу. Гравитационная и инертная масса равны друг другу (с высокой точностью (порядка 10−13), а в большинстве физических теорий — точно), поэтому в большинстве случаев просто говорят о массе, не уточняя, какую из них имеют в виду. Силой тяжести называется сила, действующая со стороны Земли на все тела вблизи ее поверхности. Сила тяжести равна произведению массы тела на ускорение свободного падения:   Векторы силы тяжести и ускорения свободного падения всегда направлены вертикально вниз. Если не учитывать вращение Земли, то сила тяжести совпадает с силой тяготения Земли: где – масса Земли, а R – расстояние от центра Земли до тела. где RЗ = 6371 км – средний радиус Земли, а h – высота подъема тела над поверхностью Земли. При высоте подъема много меньшей радиуса Земли можно считать R = RЗ и тогда – величина постоянная. На самом деле, из-за вращения Земли и разного значения земного радиуса у полюсов и на экваторе, значения g отличаются на разной географической широте. В задачах, как правило принимается g = 9,8 м/с2. Вес — сила воздействия тела на опору (или другой вид крепления в случае подвешенных тел), препятствующую падению, возникающая в поле сил тяжести. Единица измерения веса в СИ — ньютон, иногда используется единица СГС — дина. Вес в инерциальной системе отсчёта совпадает с силой тяжести и пропорционален массе и ускорению свободного падения в данной точке: Значение веса (при неизменной массе тела) пропорционально ускорению свободного падения, которое зависит от высоты над земной поверхностью, и, ввиду несферичности Земли, от географических координат точки измерения. Другим фактором, влияющим на ускорение свободного падения и, соответственно, вес тела, являются гравитационные аномалии, обусловленные особенностями строения земной поверхности и недр в окрестностях точки измерения. При движении системы тело — опора (или подвес) относительно инерциальной системы отсчёта c ускорением вес перестаёт совпадать с силой тяжести: В результате суточного вращения Земли существует широтное уменьшение веса: на экваторе примерно на 0,3 % меньше, чем на полюсах. Вес можно измерять с помощью пружинных весов, которые могут служить и для косвенного измерения массы, если их соответствующим образом проградуировать; рычажные весы в такой градуировке не нуждаются, так как в этом случае сравниваются массы, на которые действует одинаковое ускорение свободного падения или сумма ускорений в неинерциальных системах отсчёта. При взвешивании с помощью технических пружинных весов вариациями ускорения свободного падения обычно пренебрегают, так как влияние этих вариаций обычно меньше практически необходимой точности взвешивания. На вес тела в жидкой или газообразной среде влияет также сила Архимеда, таким образом, вес тела, погружённого в среду, уменьшается на вес вытесненного объёма среды; в случае, если плотность тела меньше плотности среды, вес становится отрицательным (то есть на тело действует выталкивающая сила). Сила Архимеда может оказать влияние и на взвешивание с помощью рычажных весов, если сравниваются тела с различной плотностью. Состояние отсутствия веса (невесомость) наступает при удалении тела от притягивающего объекта, либо когда тело находится в свободном падении, то есть . Ответ №14 Величина является энергетической характеристикой поля тяготения и называется потенциалом. Потенциал поля тяготения φ - скалярная величина, которая определяется потенциальной энергией тела единичной массы в данной точке поля или работой по перемещению единичной массы из данной точки поля в бесконечность. Таким образом, потенциал поля тяготения, создаваемого телом массой М, равен где R - расстояние от этого тела до рассматриваемой точки. Из формулы (4) следует, что геометрическое место точек с равными потенциалами образует сферическую поверхность (R=const). Такие поверхности, для которых потенциал постоянен, называются эквипотенциальными. Исследуем взаимосвязь между потенциалом φ поля тяготения и его напряженностью g. Из выражений (1) и (4) вытекает, что элементарная работа dA, совершаемая силами поля при малом перемещении тела массой m, равна С другой стороны, dA=Fd l (d l - элементарное перемещение). Учитывая (24.1), получаем, что dA=mgd l, т. е. mgd l = -mdφ, или Величина dφ/d l характеризует изменение потенциала на единицу длины в направлении перемещения в поле тяготения. Можно показать, что где - градиент скаляра φ. Знак минус в формуле (5) показывает, что вектор напряженности g направлен в сторону убывания потенциала. Вектор g не зависит от m и называется напряженностью поля тяготения.Напряженность поля тяготения определяется силой, действующей со стороны поля на материальную точку единичной массы, и совпадает по направлению с действующей силой. Напряжен­ность есть силовая характеристика поля тяготения. Поле тяготения называетсяоднородным, если его напряженность во всех точках одинакова, ицентральным, если во всех точках поля векторы напряженности направ­лены вдоль прямых, которые пересекаются в одной точке (А), неподвижной по отношению к какой-либо инерциальной системе отсчета. Для графического изображения силового поля используются силовые линии (линии напряженности). Силовые линии выбираются так, что вектор напряженности поля направлен по касательной к силовой линии.   Ответ №15 Мещерского уравнение (по имени И. В. Мещерского), дифференциальное уравнение движения точки переменной массы, является основным уравнением механики тел переменной массы. 1. (уменьшение массы) 2. (получаем второй закон Ньютона) 3. (увеличение массы) Циолковского формула основное уравнение движения ракеты; впервые опубликовано К. Э. Циолковским (См. Циолковский) в 1903 в работе «Исследование мировых пространств реактивными приборами». По Ц. ф. определяется максимальная скорость, которую может получить одноступенчатая ракета в идеальном случае, когда её полёт происходит не только вне пределов атмосферы, но и вне пределов поля тяготения Земли. Циолковский считает начальную скорость ракеты равной нулю. Ц. ф. часто записывается в виде: где u — скорость истечения продуктов сгорания из сопла ракетного двигателя; M0 — начальная (стартовая) масса ракеты; Mk — масса ракеты без топлива (в конце работы двигателя на активном участке траектории полёта ракеты); М т — масса выгоревшего топлива. Отношение Мт/Мк — называется числом Циолковского. Ц. ф. можно пользоваться для приближённых оценок динамических характеристик полёта ракет и в тех случаях, когда силы аэродинамического сопротивления и тяжести невелики по сравнению с реактивной силой. Циолковский обобщил формулу и для случая движения ракеты в однородном поле силы тяжести. Ц. ф. даёт только верхнюю границу скорости ракеты. Действительная (реальная) конечная скорость всегда будет меньше вследствие неизбежных потерь на преодоление силы тяготения при подъёме ракеты на высоту, сил аэродинамического сопротивления и др. Ц. ф. можно использовать для анализа лётных характеристик многоступенчатых ракет. Ответ № 16 Если тело находится под действием переменной силы и за время t перемещается на r, то работа силы равна скалярному произведению вектора силы на перемещение: Если тело движется под действием постоянной силы прямолинейно и проходит то работа силы равна скалярному произведению силы на расстояние: 1. =0; ; Если направление силы и перемещения совпадает то совершается максимальная работа; 2. ; ; Если направление силы и перемещения составляют угол , то такая сила работы не совершает; 3. , то – это работа силы трения. I случай: Если тело движется по замкнутой траектории, т.е. когда начальная точка совпадает с конечной, работа силы может равна 0. В этом случае говорят, что тело под действием консервативной (потенциальной) силы. Силы, работы которых по замкнутой траектории равна нулю, называется потенциальными (консервативными) силами (сила тяжести, сила упругости, сила электростатического взаимодействия зарядов). II случай: Если силы не удовлетворяют условию , то это называется не потенциальными (неконсервативными) силами. Примером неконсервативных сил является сила трения. Для характеристики скорости совершаемой работы вводится понятие мощности. Мощность - скалярная величина, равная отношению совершенной работы, к промежутку времени: Мощность численно равна работе, совершенной механизмом в единицу времени. При равномерном прямолинейном движении мощность тела равна произведению силы на скорость: Энергию, зависящую от взаимного расположения 2-х тел в пространстве или от расположения частей одного и того же тела, называют потенциальной энергией. Потенциальная энергия – это энергия взаимодействия: Работа с силой тяготения, при перемещении тела из положения 1 в положение 2, будет отрицательна. Поэтому работа этой силы будет отрицательной. 1.Пусть , то ; ; Если над телом совершается положительнаяработа, то потенциальная энергия уменьшается; 2. Пусть , то ; ; Если над телом совершается отрицательная работа, то потенциальная энергия увеличивается. Изменение потенциальной энергии. Проекция силы на некоторое направление s, равна, взятой с обратным знаком производной потенциальной энергии по данному направлению:   Сила равна, взятой с обратным знаком, градиенту потенциальной энергии: Потенциальная энергия – величина, равная половине произведения жёсткости на квадрат изменения деформации: Ответ №17 Разные тела в состоянии совершить различную работу. Физическая величина, характеризующая способность тела совершать работу называется энергией. Один из видов энергии, обусловленный движением тела с некоторой скоростью – кинетическая энергия тела – это физическая величина, равная половине произведения массы тела на квадрат скорости: Изменение кинетической энергии тела равняется работе равнодействующей всех сил, действующих на тело: Это утверждение иногда называют теоремой о кинетической энергии: Работу, которую совершает сила, над телом приводит к изменению энергий тела. 1. Если работа силы положительна , то ; ; ; ; Кинетическая энергия тела возрастает; 2. Если работа силы отрицательна , то ; ; ; ; Кинетическая энергия тела уменьшается.