Лабораторная работа 5.
Оглавление
1. Вычисление конечных сумм и произведений. 2
2. Использование рекуррентных соотношений. 2
3. Вычисление бесконечных сумм с заданной точностью.. 3
4. Задания. Вычисление сумм и произведений. 4
5. Задания. Использование рекуррентных формул. 5
6. Задания. Вычисление бесконечных сумм.. 9
7. Практикум.. 13
Вычисление конечных сумм и произведений
Вычисление конечных сумм и произведений - это наиболее часто встречающийся тип элементарных задач (см. также лабораторную работу 1). Пусть требуется вычислить сумму вида
Для вычисления суммы можно применить следующий алгоритм:
//Инициализация переменных. Подготовительные вычисления...s=0;for(int k=1; k<=n; k++){ //Вычислить текущий член суммы ak … s+=ak;}Если при вычислении текущего слагаемого ak (внутри цикла) выполняются операции, не зависящие от k, эти вычисления целесообразно вынести из цикла for() и выполнить их один раз перед циклом. Например, пусть требуется вычислить сумму вида
Соответствующий код может быть следующим:
//Инициализация переменных. Подготовительные вычисленияdouble ak=0, sx=Math.Sin(Math.PI*x);s=0;for(int k=1; k<=n; k++){ //Вычислить текущий член суммы ak ak=sx/(k*k); s+=ak;}Использование рекуррентных соотношений
Вернемся к задаче из лабораторной работы 1. Пусть требуется вычислить сумму вида
Здесь вычисление текущего члена суммы можно значительно упростить (и уменьшить количество операций), если для вычисления текущего слагаемого построить и использовать рекуррентную формулу вида
Такую формулу можно получить следующим образом. Выпишем сначала выражения для к-го и к+1-го слагаемого
Поделив к+1-е слагаемое на к-е слагаемое, получим рекуррентную формулу
Причем при k=0 имеем
алгоритм вычисления суммы с использованием рекуррентной формулы можно записать в виде
//Инициализация переменных. Подготовительные вычисления//Предполагается, что значения переменных x и n определены ранее//ak первоначально полагаем равным a0double ak=x, dx=x*x;S=ak;for(int k=1; k<=n; k++){ //Вычислить текущий член суммы ak, используя рекуррентную формулу ak*=-dx/(2*k+2)/(2*k+3); S+=ak;}Вычисление бесконечных сумм с заданной точностью
Пусть теперь требуется вычислить сумму вида
с заданной точностью e>0 (некоторое малое число). Под этим подразумевается, что очередные слагаемые ak нужно добавлять к текущему значению s(x), пока они достаточно большие по модулю, т.е. удовлетворяют условию
|ak|>e
Поскольку в этом случае число слагаемых заранее неизвестно, для суммирования можно использовать циклы типа while() или do-while(). Предыдущий алгоритм суммирования модифицируется следующим образом
//Инициализация переменных. Подготовительные вычисления//Предполагается, что значения переменных x, n и точность eps//определены ранее//ak первоначально полагаем равным a0 double ak=x, dx=x*x;int k=0;S=0;While(Math.Abs(ak)>eps){ S+=ak; //Вычислить следующий член суммы ak, используя рекуррентную формулу k++; ak*=-dx/(2*k+2)/(2*k+3);}
