Тема 6. Расчет оптимального по быстродействию программного управления для линейного объекта второго порядка

Цель работы

 

Изучение методики расчета оптимального по быстродействию программного управления для объекта, динамика которого описывается линейным дифференциальным уравнением второго порядка без позиционного члена, и моделирование системы на ЭВМ с найденным оптимальным управлением.

Содержание работы

 

2.1. Изучение теоретических основ расчета оптимальных быстродействий на основе принципа максимума.

2.2. Определение алгоритма оптимального управления и расчет моментов переключения управления.

2.3. Моделирование системы с найденными управлениями.

2.4. Выводы.

 

Теоретические основы работы

 

Задано дифференциальное уравнение функционирования объекта управления в виде:

(6.1)

где - управления, причем предполагается,

(6.2)

Необходимо перевести объект (6.1) из состояния:

(6.3)

в другое состояние:

(6.4)

за минимальное время T, не нарушая ограничение (6.2).

Путем введения новых переменных:

исходное дифференциальное уравнение (6.1) приводится к системе вида:

Для данной системы составляется гамильтониан:

и дифференциальные уравнения для сопряженных переменных:

(6.5)

Из условия: определяется закон оптимального управления

(6.6)

 

После анализа решения , полученного в явном виде из (6.5) через произвольные постоянные, делается заключение о характере управления (6.6).

 

Расчет типового примера

 

Определим момент переключения управления и интервал моделирования Т для уравнения (6.1), считая, что .

Решение уравнения (1) можно представить в виде:

(6.7)

где - произвольные постоянные на i – м участке управления, i=1,2. На первом участке управления, при наших граничных условиях будет . Тогда подставляя начальные условия (6.3) при t= 0 в систему (6.7), получаем при :

(6.8)

Аналогично, подставляя конечные условия (6.4) при t = Т в (6.7), получаем при i = 2:

. (6.9)

«Сшиваем» решения системы (6.7) в момент :

(6.10)

Подставляя в (6.10) значения (6.8) и (6.9), получаем:

Из второго уравнения системы получаем:

Из первого уравнения определяем интервал Т:

Согласно (6.11) . (6.12)

Подставляя (6.12) в (6.11) окончательно получаем трансцендентное уравнение для определения :

 

Введя обозначение , преобразуем последнее уравнение к виду:

. (6.13)

Из уравнения (6.12) находим . Пусть, например, , тогда не является решением уравнения (6.13), поэтому .

Таким образом, программное во времени управление, оптимальное по быстродействию, выглядит так:

Порядок выполнения работы

 

1. Применив стыковку решений дифференциального уравнения (6.1) в момент переключения управлений между своими предельными значениями , определить этот момент и время Т, применяя при необходимости для решения трансцендентного уравнения ЭВМ и учитывая, что для некоторого сочетания граничных условий интервал управления может быть один, т. е. переключения управления не будет.

2. Промоделировать на ЭВМ систему (6.1) с найденным оптимальным программным по времени управлением и начальным условием (6.3), применив метод Рунге-Кутта и выбрав шаг исходя из полученных значений и Т () [2].

3. Построить графики оптимального управления и оптимальной траектории движения объекта x(t), . Сделать выводы.

 

7. Содержание отчёта

1. Постановка задачи.

2. Расчет момента переключения управлений и времени Т в оптимальном процессе для варианта исходных данных. Текст программы трансцендентного уравнения.

3. Текст программы моделирования системы (6.1) с оптимальным управлением.

4. Результаты моделирования для варианта начальных данных в виде графиков .

5. Выводы.

Варианты заданий

№ варианта	a	b
	0.62	0.0023				2.09
	0.5	0.1
	0.88	0.016				3.66
		2.05				1.5
		0.5					-1
	1.43	0.068			-1		-1
	0.18
	2.11	0.65		3.5
	0.33	0.42					-1
	2.15	0.245				1.5
	0.67	0.67	0.0043
	0.55	0.12				2.5
	0.77	0.025				3.25
	1.2					1.5
	3.3	0.8					-1

 

Литература

1. Иванов В.А., Фалдин Н.В. Теория оптимальных систем автоматического управления. – М.: Наука, 1981. - 331с.

2. Демидович Б.П. и др. Численные методы анализа. - М.: Наука, 1968. - 367с.