Уравнения, не содержащие явно независимой переменной

Определение уравнения в полных дифференциалах

Дифференциальное уравнение вида

называется уравнением в полных дифференциалах, если существует такая функция двух переменных u (x,y) с непрерывными частными производными, что справедливо выражение

Общее решение уравнения в полных дифференциалах определяется формулой

где C − произвольная постоянная.

Необходимое и достаточное условие

Пусть функции P (x,y) и Q (x,y) имеют непрерывные частные производные в некоторой области D. Дифференциальное уравнение P (x,y) dx + Q (x,y) dy = 0 будет являться уравнением в полных дифференциалах тогда и только тогда, если справедливо равенство:

 

 

42) Дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнения, допускающие понижение порядка.

Обыкновенным дифференциальным уравнением n -го порядка называется уравнение вида
F (x, y, y ', y '',..., y ⁽ⁿ⁾) = 0,
где F - известная функция (n +2) переменных, определенная в области DÌRⁿ +2, x - независимая переменная из интервала (a, b), y = y (x) - неизвестная функция, n - порядок уравнения.

Уравнение

, (1)

где x - независимая переменная, y - искомая функция, а функция F определена и непрерывна в некоторой области и во всяком случае зависит от , называется обыкновенным дифференциальным уравнением n -го порядка.

Рассмотрим некоторые типы уравнений высших порядков, допускающие понижение порядка.

Уравнения, не содержащие искомой функции и нескольких последовательных производных.

Рассмотрим уравнения вида

. (2)

С помощью замены , где u - новая неизвестная функция, уравнение (2) приводится к уравнению (n-k) -го порядка:

.

Уравнения, не содержащие явно независимой переменной.

Рассмотрим уравнения вида

. (3)

С помощью замены (где p=p(y) - новая искомая функция независимая переменная) порядок уравнения (3) понижается на единицу, так как

,

,

..........................................................

.

Данная подстановка дает уравнение (n-1) - го порядка относительно новой неизвестной функции p:

.

При осуществлении такой замены возможна потеря решения y=const. Непосредственной подстановкой необходимо проверить наличие у уравнения (3) решений такого вида.

 

 

43) Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами.

Линейным однородным уравнением -го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

(1)

где коэффициенты – некоторые действительные числа. Для нахождения частных решении уравнения (1) составляют характеристическое уравнение

(2)

которое получается из уравнения (1) заменой в нем производных искомой функции соответствующими степенями k, причем сама функция заменяется единицей. Уравнение (2) является уравнением n степени и имеет n корней.

Тогда общее решение дифференциального уравнения (1) строится в зависимости от характера корней уравнения (2):

1.каждому действительному простому корню k в общем решении соответствует слагаемое вида ;

2.каждому действительному корню кратности в общем решении соответствует слагаемое вида ;

3.каждой паре комплексных сопряженных простых корней и в общем решении соответствует слагаемое вида

4.каждой паре комплексных сопряженных корней и кратности в общем решении соответствует слагаемое вида

 

 

51) Ряд Тейлора. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора.

 

Ряд Тейлора

 

Основные разложения в ряд Тейлора

 

 

53) Ряд Лорана — двусторонне бесконечный степенной ряд по целым степеням , то есть ряд вида

Этот ряд понимается как сумма двух рядов:

1. — положительная часть ряда Лорана (иногда называется правильной) и

2. — отрицательная часть ряда Лорана (иногда называется главной).

При этом ряд Лорана считается сходящимся тогда и только тогда, когда сходятся его правильная и главная части. Область сходимости ряда по положительным степеням разложения функции в ряд есть сфера радиуса сходимости

. В области этой сферы лежит и область сходимости ряда по изолированному направлению делителей нуля. Если R=0, то ряд сходится только в точке a, если , то ряд сходится во всем пространстве Y.

Ряд по отрицательным степеням разложения функции сходится в сфере сходимости >r. Если r<R, то ряд сходится в области заключенной между двумя концентрическими сферами . На эту область накладывается область сходимости рядов по изолированному направлению. Сферы в пространстве это прежде всего поверхности , , натянутые без точек самопересечения на пространственные кривые , , эквивалентные кривым типа . В области G, заключенной между двумя этими сферами, необходимо рассматривать область сходимости ряда по изолированному направлению, для точек .

 

 

50) Функциональные ряды в комплексной области

Понятия последовательности функций комплексной переменной (сокр. ФКП), ФР ФКП и его поточечной сходимости вводятся аналогично этим понятиям в действительной области. Область определения, область сходимости строятся на –плоскости.

Степенным рядом с комплексными членами называется ряд вида

где a0, a1, a2, …, an, - постоянные комплексные числа (коэффициенты ряда), z0 - фиксированное комплексное число (центр круга сходимости).

Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится в точке z1 ≠ z0, то он абсолютно сходится в любой точке круга | z - z0| < | z1 - z0|;

Если этот ряд расходится в точке z2, то он расходится в любой точке z, удовлетворяющей неравенству | z - z0| > | z2 - z0| (т.е. находящейся дальше от точки z0, чем z2).

Из теоремы Абеля следует существование такого неотрицательного действительного числа R, что ряд абсолютно сходится в любой внутренней точке круга радиуса R с центром в точке z0, и расходится в любой точке вне этого круга. Число R называется радиусом сходимости, круг - кругом сходимости. В точках границы этого круга - окружности | z - z0| = R радиуса R с центром в точке z0 - ряд может и сходиться, и расходиться.

 

 

44) Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами.

Называется уравнение вида:

(1)

Где а1, а2, …, аn постоянные действительные числа.

Решение этого уравнения можно записать в виде:

Y= ,

А частное решение можно найти с помощью метода вариаций.

Если правая часть имеет специальный вид, то частное решение можно найти методом “подбора”. Общий вид правой части уравнения (1) при котором можно применять метод подбора следующий:

F(x)= ,

Где Pn и Qm многочлены.

Рассмотрим некоторые частные случаи:

1)F(x)=Pn(x), =0 если число совпадает с корнями характеристического ур-ния и S- число совпадений, то говорят что есть резонанс в степени S.

Если нет резонанса, то частное решение ищем в виде:

, где - многочлен n-ой степени с неопределёнными коэффициентами.

представляя данное решение в исходное уравнение.

, то частное решение ищем в виде:

f(x)=Pn(x) ,

если нет резонанса:

f(x) = Pn(x)cos +Qn(x)sin ,

Если нет резонанса, то:

cos + , k=max[n,m];

( cos + ;

Если правая часть представляет собой сумму выражений специального вида, то находим несколько частных решений и их складываем.

 

 

46) Функции комплексной переменной. Предел и непрерывность функции комплексной переменной.

Если каждой точке z = х + iy некоторого множества Е поставленно в со­ответствие одно или несколько комплексных чисел w = и + iv, то говорят, что на множестве Е определена функция (однозначная или многозначная) комплексного переменного w = f(z).

Функцию f(z) можно рассматривать как пару функций и{х,у) и v{x,y).

и{х,у) = Re/O + iу), v(x,y) = Imf(z + iy).

 

Предел и непрерывность функции комплексной переменной:

Число А называется ó(

Функция f(z) называется неприрывной в точке z0, если предел f(z) z стремится к z0 =f(z0) .