Разложение полиномов на множители

Основная теорема алгебры. Всякий полином (многочлен)

разлагается на линейные и неприводимые квадратные множители в степенях, равных кратности корней.

Теорема Безу. Если число является корнем полинома кратности , то полином разлагается на множители:

.

Следствие. Если уравнение с целыми коэффициентами имеет целые корни, то эти корни являются делителями свободного члена .

 

Пример 13. Разложить на множители многочлен .

Решение:

.

Ответ: .

 

Пример 14. Решить уравнение x⁴ + 2x³ – 2x² – 6x + 5 = 0.

Решение: Пользуясь следствием из теоремы Безу, целые корни ищем среди делителей числа 5. Корень подходит. Тогда из теоремы Безу следует, что многочлен делится на . Разложим на множители наш многочлен:

Отсюда видно, что уравнение имеет единственный корень .

Ответ: .

 

Пример 15. Найдите наибольшее значение параметра а, при котором уравнение с целыми коэффициентами имеет три различных корня, один из которых равен -2.

Решение: так как х = -2 – корень уравнения, то , откуда находим . Поделив далее уравнение на (х + 2), получим: . Последнее уравнение с целыми коэффициентами должно иметь два различных решения, ни одно из которых не совпадает с -2. Так что имеем следующую систему условий:

 

 

Отсюда получаем, что наибольшим значением параметра а, при котором уравнение с целыми коэффициентами имеет три различных корня, один из которых равен -2, будет .

Ответ: 7

 

Решение уравнений в целых числах.

Пример 16. Решить в целых числах уравнение

Решение: перепишем исходное уравнение в виде

Так как и – целые числа, то возможны только следующие четыре случая:

1) 2)

3) 4)

 

 

Ответ: (1, 2), (-1, -2), (3, 2) и (-3, 2)

Пример 17. Решить в целых числах уравнение | m – 1| + |9 – 3n| = 7

Решение: Перепишем исходное уравнение в виде: .

Так как и – целые неотрицательные числа, то возможны только следующие три случая:

1) 2)

3)

 

 

Ответ: (0, 1), (0, 5), (2, 1), (2, 5), (-3, 2), (-3, 4), (5, 2), (5, 4), (-6, 3), (8, 3)

Пример 18. (Задание С6 ЕГЭ 2010). Решите в целых числах

уравнение

Решение. Преобразуем уравнение к виду: . Отсюда следует, что m делится на т, т.е. . Если n четное, , то . Это уравнение не имеет решений, т.к. при делении на 4 левая часть имеет остаток (-1), а правая имеет остаток 1. Таким образом, n нечетное, т.е. . Тогда

= . Среди делителей правой части только 2 последовательных числа: 4 и 5 или -5 и -4, т.е. или .

Ответ: или .

Разные задачи

Пример 19. Сколькими нулями оканчивается число (100!)?

Решение: . Заметим, что так как , то, если в разложении числа на простые множители окажется m «двоек» и n «пятёрок», то это число оканчивается k = min { m, n } «нулями». Очевидно, что в разложении на простые сомножители числа «пятёрок» меньше, чем «двоек». Поэтому здесь k = n. Подсчитаем число «пятёрок». Из первых 100 натуральных чисел ровно 100: 5 = 20 чисел делится на 5, а из этих 100 чисел ровно 20: 5 = 4 числа делятся на 5², поэтому k = n = 25 + 4 = 29.

Ответ: 29

 

Пример 20. При каких значениях параметра а уравнение

ax² + 3x + 2a² = 0 имеет только целые корни.

Решение: Согласно теореме Виета, если у квадратного уравнения есть корни, то , т.е. если . Если корни целые, то целыми будут и их сумма и их произведение, т.е.,

. Тогда . Подставляя эти значения в дискриминант, выбираем подходящие: . Кроме этого нужно рассмотреть случай, когда уравнение не является квадратным, т.е. при . В этом случае – целый корень.

Ответ: а Î { -3, -3/2, 0, 1 }

Пример 21. Найти все такие натуральные числа n, для которых из трёх следующих утверждений два будут верными, а одно – ложным:

1) n + 41 является квадратом натурального числа,

2) n – 21 делится без остатка на 10,

3) n – 48 является квадратом натурального числа.

Решение: Если число n – 21 делится без остатка на 10, то число оканчивается цифрой 1, и оба утверждения 1) и 3) ложны, так как квадрат натурального числа не может оканчиваться ни на 2 (как число

n + 41), ни на 3 (как число n – 48). Поэтому утверждение 2) ложно, а утверждения 1) и 3) – верны. Так что n + 41 = m² и n – 48 = k², где m и k – некоторые натуральные числа. Отсюда получаем, что m²– k² =

= (m – k)(m + k) = 89. Так как 89 – простое число, то m – k = 1 и m + k = 89, так что m = 45, k = 44 и n = 1984.

Ответ: 1984.

Пример 22. Известно, что p, p+10, p+14 – простые числа.

Найдите p.

Решение: заметим, что р = 2 не подходит, а р = 3 – подходит. А при любом р > 3 одно из чисел p+10 и p+14 делится на 3. А именно, если р = 3к +1, то делится на 3 число р + 14, а если р = 3к + 2, то делится на 3 число р + 10.

Ответ: р = 3.

Пример 23. В магазине «Непарная обувь» за два дня продали 2 одинаковых правых сапога, 13 одинаковых левых сапог и один валенок, причём в первый день была выручена та же сумма, что и во второй. Левый сапог дешевле правого и дороже валенка на одну и ту же сумму. Сколько левых и сколько правых сапог продали в один день с валенком?

Решение: Пусть в один день с валенком продано правых и левых сапог. Тогда в другой день было продано и правых и левых сапог соответственно. Если с – цена левого сапога, и он на s дороже валенка, то цена правого сапога равна , а из условия задачи следует, что ,

то есть . Число p может принимать одно из трёх значений: 0, 1 или 2. При имеем: , и, кроме того, 0 < s < c. Поэтому . При имеем: , и, кроме того, 0 < s < c. Поэтому таких нет. При имеем: , и, кроме того, 0 < s < c. Поэтому таких нет.

Ответ: 8 левых сапог и ни одного правого.

Пример 24. В магазине «Мойдодыр» в продаже имеются стиральные порошки в пачках трёх сортов: обычный, необычный и превосходный. Сначала количественное соотношение по сортам было 3: 4: 6. В результате продаж и поставок со склада это соотношение изменилось и стало 2: 5: 8. Известно, что число пачек превосходного порошка возросло на 80%, а обычного порошка уменьшилось не более чем на 10 пачек. Сколько всего пачек порошка было в магазине сначала?

 

Решение: по условию задачи в магазине было 3n пачек обычного, 4n пачек необычного и 6n пачек превосходного порошка, так что всего было 13n пачек порошка, причём n – натуральное число. А стало в магазине 2m пачек обычного, 5m пачек необычного и 8m пачек превосходного порошка, причём m – также натуральное число. Для нахождения n и m имеем следующую систему условий:

Решая эту систему условий, получим:

 

 

Отсюда находим к = 1, n = 20 и 13n = 260.

Ответ: 260.

 

Пример 25. (Задание С6 ЕГЭ 2010). Все обыкновенные правильные несократимые дроби, числители и знаменатели которых двузначные числа, упорядочили по возрас­танию. Между какими двумя последовательно расположенными дробями находится число ?

Решение. Найдем такие дроби, что . Тогда . Чтобы дроби были наиболее близкими, нужно, чтобы знаменатели были как можно больше и при этом выполнялись равенства (наиболее близкие целые числа, удовлетворяющие нужным неравенствам. Перебором находим:

Отсюда следует, что , а . Из неравенств находим, что .

Ответ: .

Пример 26. (Задание С6 ЕГЭ 2010). При каком наибольшем n найдется n семизначных чисел, являю­щихся последовательными членами одной геометрической про­грессии?

Решение: . , . Отсюда имеем: .

Таким образом, . Чтобы членов прогрессии было как можно больше, ее знаменатель должен быть рациональным числом (т.к. все ее члены – целые числа), большим 1 и самым близким к 1, а именно Требуется найти такое p, при котором неравенство выполняется для наибольшего n. Для каждого n надо выяснить, какие степени соседних чисел обе будут семизначными числами. Путем несложных вычислений находим, что p = 4, n =11.

Ответ: 11.

Пример 27. (Задание С6 ЕГЭ 2010). На числовой оси отмечены все точки с целыми координатами. Раз­решается прыгать на 1 и на 4 вправо или влево. Можно ли за 2010 таких прыжков попасть из точки 1 в точку 2, ни разу не по­падая в точки с координатами, кратными 4?

Решение: Будем считать шаг вправо на 1 положительным, а влево – отрицательным. Положим, мы сделали p шагов на 1 клеточку вправо, l шагов на 1 клеточку влево, m шагов на 4 клеточки вправо и n шагов на 4 клеточки влево и из точки 1 попали в точку 2 за 2010 шагов. Тогда имеем систему А: . При этом числа 1+ p и 1+ p – l не должны делиться на 4, а их сумма при делении на 4 должна давать в остатке 2 (что следует из первого уравнения). Это возможно в следующих случаях: 1) , 2) , 3) , 4) . Подставим в систему А по очереди эти 4 случая.

1) Складывая и вычитая уравнения

 

системы, получим систему: . Теперь не трудно подобрать какие-нибудь значения параметров, удовлетворяющих системе. Например, тогда а тогда

Ответ: можно.

Пример 28. Найти все целые корни уравнения

Решение:

 

Последнему условию делимости удовлетворяют только k = -2, 0 или -10. Но всем условиям удовлетворяют только k = -2, или -10. В первом случае х = -7, а во втором х = -31.

Ответ: x Î { -7, -31 }