Делится на при любых целых.
Пример 5. Найдите наибольший общий делитель чисел 5040 и 2700.
Решение: 1-й способ (по алгоритму Евклида).
Поэтому НОД (5040, 2700) = 180.
2-й способ (по разложению на простые сомножители).
Поэтому НОД (5040, 2700) = 
= 180.
Ответ: 180
Пример 6. Найти наибольший общий делитель чисел a = 22005 + 1 и
b = 22006 – 1.
Решение: Пользуясь алгоритмом Евклида, выпишем в ряд числа, имеющие общий делитель. 22006 – 1, 22005 + 1, (22006 – 1)-(22005 + 1)= 
, 
. Таким образом, НОД (a,b) = 3.
Ответ: НОД (a,b) = 3.
Пример 7. (Задание С6 ЕГЭ 2010). Найдите наибольший общий делитель всех чисел вида р2 - 1, где р — простое число, большее 3, но меньшее 2010.
Решение: 
При 
. Покажем, что при всех простых 
число 
делится на 24.Среди трех подряд идущих чисел 
одно обязательно делится на 3 и это не , значит 
. Среди двух подряд идущих четных чисел 
одно обязательно делится на 4, а другое на 2, значит их произведение делится на 8. Следовательно, число делится на 24. Это и есть наибольший общий делитель, т.к. это наименьшее из наших чисел и все они делятся на 24.
Ответ: 24.
Пример 8. Найти наибольший общий делитель чисел 
.
Решение: Пользуясь алгоритмом Евклида, выпишем в ряд числа, имеющие общий делитель. 
.
Таким образом, НОД 
= 11.
Ответ: 11.
Пример 9. Доказать, что дробь 
несократима.
Доказательство. Дробь несократима, если числитель и знаменатель – взаимно простые числа, их наибольший делитель равен 1. Найдем его. Пользуясь алгоритмом Евклида, выпишем в ряд числа, имеющие общий делитель. 
Таким образом, НОД 
= 1 и дробь несократима.
Пример 10. Найти все целые 
, при которых 
- целое число.
Решение: Выделим целую часть дроби 
и выясним, при каких 
дробь 
будет по модулю меньше 1 и не равна 0, т.е. не может быть целым числом. Решив систему неравенств 
, получим 
или 
, 
Т.о., дробь может быть целым числом лишь при 
. Подставляя эти числа в дробь, выделяем решения: 
Ответ:
Целая и дробная части числа.
Целой частью числа называется наибольшее целое число, не превосходящее данное число. Обозначается Т.е., если, то.
Дробной частью числа 
называется число 
. Очевидно,
.
Например, 
Пример 11. Решите в натуральных числах уравнение 
, где 
– целая часть числа r.
Решение: Искомые числа не могут быть чётными, так как при 
должно выполняться равенство 
, что невозможно, так как 
. Пусть теперь n –нечётно, 
. Тогда 
. Итак, 
. Отсюда получаем, что k = 1, 2 или 3. Так что n = 1, 3 или 5. Непосредственной проверкой убеждаемся, что они все подходят.
Ответ: n = 1, 3 или 5.
Пример 12. Докажите, что если 
делится на 
, то 
делится на 
. (Здесь – целая часть числа r).
Решение: Пусть 
, тогда 
. Так как 
, то а) 
или б) 
. Непосредственной проверкой убеждаемся, что в случае а) 
в случае б) 
т.о. произведение 
делится на
