Неравенства с двумя переменными и их системы

 

Неравенством с двумя переменными х и у называется неравенство вида

(или знак ),

где – некоторое выражение с данными переменными.

Решением неравенства с двумя переменными называют упорядоченную пару чисел при которой это неравенство обращается в верное числовое неравенство.

Решить неравенство – значит найти множество всех его решений. Решением неравенства с двумя переменными является некоторое множество точек координатной плоскости.

Основным методом решений данных неравенств является графический. Он заключается в том, что строят линии границ (если неравенство строгое, линии строят пунктиром). Уравнение границы получают, если в заданном неравенстве заменяют знак неравенства на знак равенства. Все линии в совокупности разбивают координатную плоскость на части. Искомое множество точек, которое соответствует заданному неравенству или системе неравенств, можно определить, если взять контрольную точку внутри каждой области.

Системы, содержащие неравенства с двумя переменными, вида

называются системами неравенств с двумя переменными. Решением данных систем является пересечение решений всех неравенств, входящих в систему.

Совокупность неравенств с двумя переменными имеет вид

Решением совокупности является объединение всех решений неравенств.

 

Пример 1. Решить систему

Решение. Построим в системе Оху соответствующие линии (рис. 4.24):

 

 

Рис. 4.24

 

Уравнение задает окружность с центром в точке О ¢(0; 1) и R = 2.

Уравнение определяет параболу с вершиной в точке О (0; 0).

Найдем решения каждого из неравенств, входящих в систему. Первому неравенству соответствует область внутри окружности и сама окружность (в справедливости этого убеждаемся, если подставим в неравенство координаты любой точки из этой области). Второму неравенству соответствует область, расположенная под параболой.

Решение системы – пересечение двух указанных областей (на рис. 4.24 показано наложением двух штриховок).

 

Задания

 

I уровень

1.1. Решите графически:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

 

II уровень

2.1. Решите графически:

1) 2) 3)

 

2.2. Найдите количество целочисленных решений системы:

1) 2) 3)

 

2.3. Найдите все целочисленные решения системы:

1) 2) 3)

 

2.4. Решите неравенство. В ответе укажите количество решений с двумя целочисленными координатами:

III уровень

3.1. Найдите количество целочисленных решений системы:

1) 2)

 

3.2. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система имеет решение:

1) 2)

 

3.3. Определите, при каких значениях а неравенство имеет положительные решения.

 

3.4. Определите, при каких значениях а система имеет единственное решение:

1) 2) 3)

 

3.5. В зависимости от значения а определите число решений системы

 

3.6. Решите графически:

1) 2)