Обратная функция. Функция, заданная неявно

И параметрически

 

Функция где называется обратимой на множестве если каждому значению у из множества значений функции соответствует единственное значение

Если – обратимая функция, то на множестве определена функция g, которая каждому значению ставит в соответствие такое, что т. е. определена Поэтому

Функция g называется обратной функцией к f.

Функции f и g называются взаимно-обратными функциями. Графики взаимно-обратных функций f и g симметричны относительно прямой

Если функции f и g взаимно-обратны, то и

Для нахождения обратной функции из равенства выражают х через у (если это возможно), а затем переобозначают переменные (через х – независимую переменную, через у – зависимую).

Пусть у является функцией переменной u, а переменная u, в свою очередь, является функцией от переменной x, т. е. и Тогда функция называется сложной функцией (или функцией от функции), если область определения функции f содержит множество значений функции j. Переменная u в этом случае называется промежуточной переменной.

Всякую линию на координатной плоскости, которая не имеет разрывов, называют кривой линией.

График функции который не имеет разрывов, является кривой линией. Однако не всякая кривая линия является графиком функции (график функции задается при условии, что каждому значению х соответствует единственное значение y).

Говорят, что функция задана неявно уравнением

(4.2)

где F – некоторое выражение от переменных x, y при условии

Функцию, заданную явно уравнением можно привести к виду (4.2):

(4.3)

(в равенстве (4.3) ). Однако не всякую функцию, заданную неявно, можно задать в виде Уравнение (4.2) не всегда однозначно разрешимо относительно переменной у или вообще не разрешимо. Оно задает часто кривую линию, но не график функции.

Для нахождения точки, лежащей на линии, которая задается уравнением (4.2), необходимо придать переменной x некоторое числовое значение, а затем из уравнения (4.2) найти соответствующее значение y (возможно, несколько значений y). Для построения соответствующей кривой придают переменной x некоторое количество числовых значений, получают множество точек, принадлежащих искомой линии (4.2). Эти точки следует соединить непрерывной линией.

Уравнения вида

(4.4)

называют параметрическими уравнениями линии, где t – параметр или вспомогательная переменная, а и – функции параметра t.

Каждому значению параметра t из заданного промежутка соответствуют определенные значения х и у (вычисляемые по формулам (4.4)), которые и определяют положение точки в системе координат Oxy.

Для построения линии, заданной параметрическими уравнениями, выбирают достаточное количество значений параметра где вычисляют соответствующие значения Затем на координатной плоскости отмечают точки которые потом соединяют непрерывной линией.

Чтобы от уравнений (4.4) перейти к уравнению типа необходимо исключить параметр t из уравнений системы (4.4).

 

Пример 1. Найти функцию, обратную данной (если она существует), и построить графики данной функции и ей обратной в одной системе координат:

1) 2)

Решение. 1) Функция монотонна, поэтому для нее существует обратная функция. Выразим х через у:

т. е.

Обозначим независимую переменную через х, а зависимую – через у:

Обратная к заданной функции f есть функция и она имеет вид:

где

а

Строим графики функции f и (рис. 4.5).

2) Так как функция не является монотонной на промежутке то обратной функции для нее не существует.

 

Рис. 4.5

 

Пример 2. Из уравнения окружности выразить явно у через х.

Решение. Из уравнения выразим откуда получаем совокупность двух функций

Графиком первой функции в совокупности является полуокружность, расположенная в верхней полуплоскости системы Оху, при условии, что Графиком второй функции – полуокружность в нижней полуплоскости при условии, что

 

Пример 3. Построить кривую, заданную параметрически уравнениями

Решение. Для построения кривой выберем достаточное количество значений параметра и вычислим соответствующие значения Данные занесем в таблицу:

 

t
x			–4	–8	–12
y

 

Построим точки в системе координат Оху и соединим их плавной линией (рис. 4.6).

 

 

Рис. 4.6

 

Задания

 

I уровень

1.1. Найдите функцию, обратную данной, если она существует:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

 

1.2. Докажите, что пары функций являются взаимно-обрат­ными:

1) и если

2) и

3) и

4) и если

 

1.3. Постройте график функции и ей обратной (если она существует) в одной системе координат:

1) если 2)

3) 4) если

 

1.4. Найдите точку (точки), принадлежащую кривой для заданного значения х ₀:

1)

2)

3)

 

1.5. Запишите функцию (функции) в явном виде:

1) 2)

3) 4)

 

1.6. Найдите соответствующие точки кривой, заданной параметрически, если указаны значения параметра t:

1) 2) 3)

 

II уровень

2.1. Найдите функцию, обратную данной, и постройте их графики в одной системе координат:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

 

2.2. Определите, обратима ли функция

 

2.3. Найдите точки пересечения графиков функции где и обратной ей функции.

 

2.4. Пусть графиком функции является полуокружность с центром О (0; 0) и радиусом, равным 5, расположенная в нижней координатной полуплоскости. Определите, существует ли функция, обратная данной.

 

2.5. Пусть задана функция

Найдите промежутки, на которых данная функция обратима.

 

2.6. Выразите явно у через х из уравнения и постройте данную линию:

1)

2) если

3) если

4) если

 

2.7. Постройте линию, заданную параметрически уравнениями:

1) 2)

3) 4)

 

III уровень

3.1. Найдите функцию, обратную данной, и постройте их графики в одной системе координат:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

3.2. Докажите, что функция обратна сама себе.

 

3.3. Найдите если функция обратна функции

 

 

Преобразования графиков

 

Приведем графики некоторых функций:

1) – прямая линия (рис. 4.7);

2) – квадратичная парабола (рис. 4.8);

 

Рис. 4.7 Рис. 4.8

 

3) – кубическая парабола (рис. 4.9);

4) – гипербола (рис. 4.10);

 

 

Рис. 4.9 Рис. 4.10

5) – график квадратного корня (рис. 4.11).

 

Рис. 4.11

 

Правила преобразования графиков:

Пусть дана функция

1. Для построения графика функции исходный график функции симметрично отображаем относительно оси Ох (рис. 4.12).

2. Для функции заданный график симметрично отображаем относительно оси Оу (рис. 4.13).

 

 

 

Рис. 4.12 Рис. 4.13

 

3. Для функции этот график получается параллельным переносом графика функции на масштабных единиц вдоль оси Оу вверх, если и вниз, если (рис. 4.14).

4. Для функции этот график получается параллельным переносом графика функции на масштабных единиц вдоль оси Ох вправо, если и влево, если (рис. 4.15).

 

Рис. 4.14 Рис. 4.15

 

5. Для функции где график функции «растянут» в k раз вдоль оси Оу (от оси Ох), если «сжат» в раз вдоль оси Оу (к оси Ох), если (рис. 4.16).

 

 

Рис. 4.16

 

 

6. Для функции где график «растянут» вдоль оси Ох (от оси Оу) в раз при «сжат» вдоль Ох (коси Оу) в m раз, при (рис. 4.17).

 

 

Рис. 4.17

7. Для функции сохраняется та часть графика функции которая находится над осью Ох и на оси Ох, а та часть, которая находится под осью Ох, отображается симметрично оси Ох в верхнюю полуплоскость (рис. 4.18).

 

 

 

Рис. 4.18

 

8. Для функции часть графика функции соответствующая отрицательному значению х, отбрасывается, а неотрицательному – сохраняется и дополняется симметричной ей относительно оси Оу частью (рис. 4.19).

 

 

Рис. 4.19

Пример 1. Построить график функции

Решение. Преобразуем заданную функцию:

Получили

Для построения графика полученной функции используем следующие преобразования:

1) строим график функции

2) график функции получаем из графика функции путем движения его на единицу влево по оси Ох;

3) график функции получаем из предыдущего симметричным отображением относительно оси Ох;

4) график заданной функции получаем из графика функции параллельным переносом на две единицы вниз по оси Оу (рис. 4.20).

 

 

Рис. 4.20

 

Пример 2. Построить график функции

Решение. Вначале преобразуем формулу, задающую функцию:

Шаги построения (рис. 4.21):

1)

2) – отображение симметрично оси Оу в левую полуплоскость;

3) – смещение вдоль оси Ох вправо на две единицы;

4) – увеличение коэффициента роста в два раза.

 

Рис. 4.21

Пример 3. Построить график функции и найти наибольшее значение функции, если

Решение.

Преобразуем функцию

Данный график может быть получен из графика функции следующими преобразованиями (рис. 4.22):

1) – смещение вдоль оси Ох на единицу влево;

2) – смещение вдоль оси Оу вверх на единицу;

3) – отображение той части графика у ₃, которая расположена ниже оси Ох, в верхнюю полуплоскость (рис. 4.22). Заметим, что такие же преобразования необходимо применить к асимптотам функции (вертикальной) и (горизонтальной).

Анализ графика показывает, что наибольшее значение на функция достигает в точке Вычисляем его:

 

 

 

Рис. 4.22

 

Пример 4. Определить, при каком значении а уравнение имеет ровно 3 решения:

Решение. Решим задачу графически.

Построим графики функций и и исследуем, при каком значении а они имеют ровно 3 общие точки.

Строим график функции

Поскольку то

– это парабола, вершина которой смещена в точку

Для построения графика функции сохраняем ту часть графика параболы, которая находится над осью Ох и на оси Ох, а ту часть графика, которая находится под осью Ох, отображаем симметрично оси Ох в верхнюю полуплоскость.

– прямая, параллельная оси Ох (рис. 4.23).

 

Рис. 4.23

 

По построению видно, что ровно 3 решения будет тогда и только тогда, когда

 

Задания

I уровень

1.1. Постройте график функции:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

II уровень

2.1. Постройте график функции:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

2.2. Постройте график функции:

1) 2)

3) 4)

 

2.3. Определите, при каком значении a система имеет ровно одно решение:

1) 2)

 

2.4. Определите, при каких значениях a система имеет ровно два решения:

1) 2)

В ответе запишите сумму полученных значений.

 

III уровень

3.1. Постройте график функции:

1) 2)

3) 4)

 

3.2. Определите, при каком значении b система имеет:

1) одно единственное решение;

2) ровно три решения;

3) более трех решений;

4) не имеет решений.

 

3.3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции если Выполните построение.