Все графические методы расчета цепей синусоидального тока не обеспечивают точного расчета электрических цепей, кроме того, они сложны и трудоемки.
Наиболее простым и точным методом расчета электрических цепей синусоидального тока является комплексный метод, основанный на теории комплексных чисел.
Синусоидальная величина изображается вращающимся вектором на комплексной плоскости с осями ±1 и ± j, где 
- мнимая единица, символ.
За положительное направление вращения вектора принято направление против часовой стрелки. За время, равное одному периоду, вектор совершает один оборот.
На рис.4.5 изображен вектор комплексного тока 
, которому соответствует комплексное число
Рис.4.5. Составляющие комплексного числа на комплексной плоскости
где I - модуль действующего значения тока, равный длине вектора;
где 
- действительная составляющая тока; 
- мнимая составляющая; y i = arctg (
) – аргумент тока, равный начальной фазе, т. е. угол между вектором и действительной полуосью +1 при t = 0. Аргумент положительный, если вектор отложен в направлении против движения часовой стрелки, и отрицательный - если по часовой.
Комплексные значения синусоидальных величин обозначают 
несинусоидальных - z, S.
Над комплексными числами можно производить все алгебраические действия (при сложении и вычитании удобнее использовать алгебраическую форму, а при умножении, делении, возведении в степень, извлечении корня – показательную).
Алгебраическая форма записи:
.
Тригонометрическая форма записи:
İ = I cosy i + j siny i .
Показательная форма записи:
İ = Iej y i .
Переход из одной формы записи в другую осуществляется по формуле Эйлера через тригонометрическую форму записи
e ± j α = cosα ± j sinα.
Например: İ = 10 e j 37º = 10cos37˚ + j 10sin37º = 10 · 0,8 + j 10 0,6 = = 8 + j 6 = (8² + 6²)1/2 e + j arctg6/8 = 10 e + j 37º (А).
При работе с комплексными числами используют и сопряженные комплексные величины, имеющие одинаковые модули и одинаковые по величине, но противоположные по знаку аргументы:
İ = 10 e j 37º, А; I * =10 e – j 37º, А.
Произведение İ I * = 10 e j 37º 10 e – j 37º = 100 ej 0°, À.
Приложение 2.
Таблица Основные свойства элементов цепей переменного тока
| Двухполюсник | Резистор (резистивное сопротивление | Катушка (индуктивное реактивное сопротивление | Конденсатор (емкостное реактивное сопротивление) |
| Обозначение | 
|    
| |
| Связь между мгновенными значениями u и i | i = u R/ R | uL = Ldi / dt | i = CduC/dt |
| Если задано | uR = max sinω t | uL = Umax sinω t | uC = Umax sinω t |
| То имеем | i = max sinωt/ R | i = Umax sin(ω t – – π/2)/ωL = = Imax sin(ω t – π/2) | i= ωC Umax cosω t= = Imax sin(ω t +π/2) |
| Действующее значение тока | I = UR/R | I = UL /ω L | I =ω CUC |
| Сопротивление (или соответственно реактивное сопротивление) | R | XL = ω L | XC = 1/ω C |
| Сдвиг фаз | φ = ψU – ψi = 0 | φ = ψU – ψi =+90 ͦ | φ = ψU – ψi = –90 ͦ |
| Сдвиг по фазе |    
|   
|   
|
| Комплексное сопротивление | 
| 
| 
|
| Расчет комплексным методом | 
| 
|  
|
| Зависимость сопротивления от частоты |   R R
ω
|   XL
ωL
ω
|  XC
1/ω C
 ω
|
Приложение 3. Расчет электрических цепей комплексным методом
Задача 1.
Определить ток и напряжения на участках цепи рис.1, если известны следующие данные:
R = 8 Ом; XL =6 Ом
Рис.1. Пример к расчету цепи с последовательным включением R и XL
Решение.
Комплексное сопротивление цепи, Ом:
где 
= arctq XL / R = 37°
Ток цепи, А
Начальная фаза тока ψ i = –37°.
Напряжения участков цепи, В:
= 
=176 
Задача 2.
Определить ток, напряжения на участках цепи и мощности электрической цепи при последовательном соединении R, L и С рис.2, если известны следующие данные:
R = 8 Ом; XL =6 Ом, ХС = 12 Ом.
Рис. 2. Последовательное соединение R, L и С.
Решение.
Определяем комплексное сопротивление цепи, Ом:
= 
где = arctq(XL-ХС)/R = arctq (6 
12)/8 = 37°
Определяем комплексный ток, А:
Определяем комплексные напряжения на участках цепи, В:
;
= 
= 3872 – j 2904
Определяем комплексную полную мощность цепи, ВА:
= 
= 
= 
=4840cos37º – j 4840sin37 º = 3872 – j 2904
Активная мощность, Вт:Р = 3872
Реактивная (емкостная) мощность, вар:
Q = – 2904
Задача 3.
Определить токи ветвей для схемы рис. 3, если известны следующие данные:
u (t) = 183sin314 t; R 1 = 8 Ом; R 2 = 12 Ом; XL =6 Ом; XC = 5 Ом.
Рис. 3. Параллельное соединение ветвей с R-L и R-C
Решение.
Комплексное действующее входное напряжение цепи, В:
Комплексные токи параллельных ветвей, А:
Сумма комплексных токов параллельных ветвей, А:
Полученному комплексному току соответствует синусоидальный ток, А:
i (t) = 20 
Задача 4.
В четырехпроводную сеть с линейным напряжением Uл =220 В, включен трехфазный приемник, соединенный по схеме «звезда» (рис.4). Комплексные сопротивления фаз приемника:
Найти комплексные токи в линейных и нейтральном проводах.
Решение.
Фазное напряжение, В:
U ф = 
Комплексные фазные напряжения, В:
Комплексные линейные токи равны соответственно комплексным фазным токам, А:
= 
= 
Комплексный ток в нейтральном проводе, А:
+
+ 
+ 
+ 
= ˗˗ 2,81 + j 4,9 = 5,9e j 120
Приложение 4. Техника безопасности при работе с электротехническими установками. Опасность поражения
Лабораторные стенды являются действующими электроустановками и при определенных условиях могут стать источником опасности поражения электрическим током. Дело в том, что тело человека обладает свойством электропроводности и при соприкосновении с неизолированными элементами установки, находящейся под напряжением, становится звеном электрической цепи. Возникший вследствие этого в теле человека электрический ток может вызвать ожог кожи (электрическую травму) или нанести тяжелые поражения нервной, сердечной и дыхательной системам организма (электрический удар).
Установлено, что как постоянный, так и переменный электрические токи при величине),05 А являются опасными, а при величине 1 А – смертельными.
Чтобы оценить, при каком напряжении может быть нанесен серьезный ущерб здоровью человека или какое напряжение считать опасным для жизни, надо знать величину сопротивления тела человека. Однако, это чрезвычайно изменчивая величина, зависящая от свойств кожи человека, его душевного состояния и ряда других величин. Как показывают измерения, сопротивление тела человека может изменяться в широких пределах – от 700 до нескольких десятков тысяч Ом. Нетрудно посчитать, что напряжение даже в несколько десятков вольт (40 ÷ 60 В) может при неблагоприятном стечении обстоятельств создать условия, когда возможен электрический удар. Поэтому следует всегда помнить о возможности поражения электрическим током и соблюдать меры предосторожности.
ЛИТЕРАТУРА
1. Алиев, И. И. Электротехнический справочник / И. И. Алиев. – М.: Радио Софт, 2004. – 384 с.
2. Беневоленский С.Б. Основы электротехники /Беневоленский С.Б., Марченко С. Л. – Москва: Физматлит, 2006. – 566 с.
3. Горошко, В. И. Электротехника, основы электроники и электрооборудование химических производств / В. И. Горошко, И. О. Оробей, Л. М. Давидович. – Минск: БГТУ, 2006. – 246 с.
4. Григораш О. В. Электротехника и электроника /О. В. Григораш, Г. А. Султанов, Д. А. Нормов. – Ростов-на-Дону; Краснодар: Феникс: Неоглари, 2008. – 462с.
5. Данилов И. А. Общая электротехника / И. А. Данилов. – Москва: Высшее образование, 2009. – 673с.
6. Жаворонков М. А. Электротехника и электроника / Жаворонков М. А., Кузин А.В. – Москва: Академия, 2005. – 394с.
7. Иванов, И. И. Электротехника /Иванов И. И., Соловьев В. И, Равдоник В. С. – Изд. 3-е, Санкт-Петербург: Лань, 2005. – 496 с.
8. Касаткин, А. С. Электротехника / А. С. Касаткин, М. В. Немцов. 10-изд; – Москва: Академия, 2007. – 538 с.
9. Кононенко В. В. Электротехника и электроника / В. В. Кононенко и др; под ред. Кононенко В. В. 4-е изд. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2008. – 778 с.
10. Коровкина Н. П. Электротехника и основы электроники [Электронный ресурс]: Тексты лекций для студентов спец.1-36 07 01. 01, 1-36 07 01.02, 1-36 01 08, 62,8 мБ, формат pdt -2012г. Кафедра автоматизации производственных процессов и электротехники
11. Рекус, Г. Г. Основы электротехники и электроники в задачах с решениями / Рекус Г. Г. – Москва: Высшая школа, 2005. - 343с.
12. Электрические цепи. – Минск: БГТУ. 2005. – 56 с.
Содержание
