О невычислимости в математическом мышлении 10 страница

 

Хотя окончательных и недвусмысленных математических те­орем на этот счет в нашем распоряжении практически нет, все же вряд ли кто-либо всерьез сомневается в том, что все существующие физические теории являются по своей природе и в своей основе вычислительными — возможное же привнесе­ние несущественной случайной составляющей обусловлено су­ществованием такого феномена, как «квантовые измерения». Во­преки ожиданиям, я думаю, что возможность протекания невы­числительных (и неслучайных) процессов в физических системах, действующих в рамках существующей физической теории, все же чрезвычайно интересна сама по себе и, разумеется, достойна самого подробного математического исследования. Такое иссле­дование вполне может преподнести нам немало сюрпризов — возможно, нам и в самом деле удастся наткнуться на нечто хит­роумное и совершенно невычислимое. На современном же этапе развития науки вероятность обнаружения в рамках известных нам физических законов какой-либо подлинной невычислимости представляется мне крайне малой. Следовательно, необходимо в самих законах отыскать слабые места и расширить их в доста­точной степени для того, чтобы включить ту невычислимость, ко­торая, согласно вышеприведенным аргументам, неизбежно при­сутствует в мыслительной деятельности человека.

 

Что же это за слабые места? Лично у меня почти нет сомне­ний относительно того, где именно следует нанести наиболее мас­сированный удар по существующей физической теории — наи­слабейшим ее звеном является уже упоминавшаяся выше про­цедура так называемого «квантового измерения». На нынешнем этапе своего развития теория содержит в себе некоторые про­тиворечия (или, по меньшей мере, несообразности) в отноше­нии всей существующей процедуры этого самого «измерения». Неясно даже, на каком именно этапе в той или иной ситуации эту процедуру следует применять. Более того, вследствие суще­ственно случайного характера самой процедуры, ее наблюдаемые физические проявления оказываются весьма отличными от всего того, что известно нам по другим фундаментальным процессам. Подробнее эти вопросы мы обсудим во второй части книги.

 

Как мне кажется, эта процедура измерения нуждается в кар­динальном пересмотре — не исключено, что попутно придется подвергнуть существенным изменениям и самые основы теоре­тической физики. Кое-какие имеющиеся у меня предложения я изложу во второй части книги (§6.12). Представленные в преды­дущих разделах рассуждения содержат весьма сильные доводы в пользу того, что чистую случайность существующей теории измерения необходимо заменить чем-то иным, чем-то таким, где определяющую роль будут играть существенно невычислимые элементы. Более того, как мы увидим ниже (§7.9), эта невычис­лимость непременно окажется какой угодно, но только не про­стой. (Например, закона, который, посредством какого-то ново­го физического процесса, «всего лишь» позволит нам устанав­ливать истинность-высказываний — т. е. решать тьюрингову «проблему остановки» — будет самого по себе недостаточно.)

 

Отыскание подобной, новой и непростой, физической теории уже само по себе является достаточно серьезным вызовом нашим интеллектуальным способностям, однако это еще далеко не все. Необходимо также потребовать, чтобы найденный нами прав­доподобный основополагающий принцип такого гипотетического физического поведения имел самое непосредственное отношение к функционированию мозга — сообразно со всеми ограничения­ми и критериями достоверности, предъявляемыми современной наукой о строении мозга. Нет никакого сомнения в том, что и здесь, учитывая теперешний уровень нашего понимания, не обой­тись без изрядной доли умозрительности. Однако как раз в этой области за последнее время были совершены некоторые подлин­но революционные открытия (в период написания НРК я об этом, естественно, не знал), связанные с цитоскелетной подструктурой нейронов (подробнее см. §7.4), — благодаря этим открытиям предположение о том, что существенные для функционирования мозга процессы происходят именно на границе между квантовы­ми и классическими феноменами, приобретает гораздо большее правдоподобие, чем можно было представить себе прежде. Эти вопросы мы также будем обсуждать во второй части (§§7.5—7.7). Необходимо еще раз подчеркнуть, что предметом наших по­исков никоим образом не должно стать простое усложнение в рамках существующей физической теории. Кто-то, например, убежден в том, что абсолютно немыслимо построить адекватную модель сложных перемещений и хитроумной химической актив­ности соединений-нейромедиаторов, вследствие чего подробное физическое описание функционирования мозга вычислительны­ми методами неосуществимо. Однако, говоря о невычислитель­ном поведении, я имею в виду совсем не это. Я полностью со­гласен с тем, что наших познаний о совокупности биологических структур и электрохимических механизмов, отвечающей за функ­циональную деятельность мозга, совершенно недостаточно для сколько-нибудь серьезной попытки численного моделирования. Более того, даже если бы у нас и достало познаний, то постро­ить рабочую модель деятельности мозга за какой-либо приемле­мый промежуток времени нам все равно не удастся ввиду недо­статочно высокой вычислительной мощности современных ком­пьютеров и отсутствия соответствующей методологии програм­мирования. Однако в принципе, объединив уже существующие представления о химии соединений-нейромедиаторов, об обеспечивающих их перенос механизмах, о зависимости эффективно­сти этих соединений от конкретных условий среды, биоэлектри­ческих потенциалов, электромагнитных полей и т.д., выполнить подобное моделирование вполне возможно. Следовательно, упо­мянутые общие механизмы, предположительно согласующиеся с требованиями существующей физической теории, не в состоянии обеспечить той невычислимости, какой требуют вышеприведен­ные аргументы.

 

Такая вычислительная (теоретическая) модель может вклю­чать в себя и элементы хаотического поведения. Мы даже, как и в нашем прежнем обсуждении хаотических систем (см. §§ 1.7, 3.10, 3.11, 3.22), не станем настаивать на том, чтобы эта модель воспроизводила бы какой-то конкретный мозг; достаточно будет и «типичного случая». При создании искусственного интеллекта вовсе не требуется моделировать интеллектуальные способности какого-то конкретного индивидуума, мы лишь стремимся (в пер­спективе) воспроизвести интеллектуальное поведение индивиду­ума типичного. (Аналогичным образом, если помните, обстоит дело и с моделированием погоды: никто не требует непременно воспроизводить данную конкретную погоду, нам нужна модель погоды вообще.) Если известны механизмы, обусловливающие поведение предлагаемой модели мозга, то эта модель (при усло­вии, что упомянутые механизмы не находятся в противоречии с современной вычислительной физикой) опять-таки представляет собой познаваемую вычислительную систему, пусть и с какими-то явно заданными случайными элементами — этот случай также вполне укладывается в рамки представленных выше рассужде­ний.

 

Можно пойти еще дальше и потребовать, чтобы предпо­лагаемый модельный мозг представлял собой результат разви­тия посредством процесса, аналогичного дарвиновской эволю­ции, неких примитивных форм жизни, поведение которых исчер­пывающе описывается известными физическими законами — или законами какой-либо иной численно-модельной физики (подоб­ной той двумерной физике, которая действует в изобретенной Джоном Хортоном Конуэем оригинальной математической игре под названием «Жизнь»). Ничто не мешает нам вообразить, что в результате такой дарвиновской эволюции может развиться некое «сообщество роботов», подобное тому, что мы рассмат­ривали в §§3.5, 3.9, 3.19 и 3.23. Впрочем, и в этом случае мы получим целиком и полностью вычислительную систему, к ко­торой будут применимы аргументы, представленные в §§3.14— 3.21. Далее, для того чтобы ввести в эту вычислительную систему концепцию(с тем чтобы к ней можно было в полном объеме применить приведенную выше аргументацию), нам, помимо прочего, потребуется еще и этап «человеческого вмешательства», целью которого как раз и будет сообщить ро­ботам строгий смысл присвоения статусаМожно устроить так, чтобы этот этап инициировался автоматически — соглас­но некоторому эффективному критерию — именно в тот период времени, когда роботы начинают приобретать соответствующие коммуникационные способности. По-видимому, нет никаких пре­пятствий к тому, чтобы объединить все эти элементы в автома­тическую познаваемую вычислительную систему (в том смысле, что познаваемыми являются лежащие в ее основе механизмы, пусть даже мы пока не можем практически выполнить необхо­димые вычисления ни на одном из современных или ожидаемых в обозримом будущем компьютеров). Как и прежде, противоречие выводится из предположения, что такая система может достичь уровня человеческого математического понимания, достаточного для восприятия теоремы Гёделя.

 

Следующее часто высказываемое возражение касается уместности применения к вопросам человеческой психологии ма­тематических доказательств, подобных тем, на которые я опира­юсь в своем исследовании, — никакая умственная деятельность не бывает настолько точна, чтобы ее таким образом анализи­ровать. Придерживающиеся подобных взглядов люди, очевид­но, полагают, что никакие частные доказательства, описываю­щие математическую природу физических феноменов, которые, возможно, обусловливают функционирование нашего мозга, не могут иметь непосредственного отношения к пониманию деятель­ности человеческого разума. Они согласны с тем, что поведе­ние человека действительно «невычислимо», однако полагают, что эта невычислимость является всего-навсего отражением об­щей неприменимости математических и физических соображений к вопросам человеческой психологии. Они утверждают — и не без оснований, — что гораздо уместнее в этом смысле иссле­довать чрезвычайно сложную организацию нашего мозга, равно как и наших общественных и образовательных структур, нежели какие-то конкретные физические феномены, волею случая ответственные за отдельные физические процессы, посредством кото­рых реализуются те или иные функции человеческого мозга.

 

Не следует, однако, забывать и о том, что одна лишь слож­ность системы никоим образом не избавляет нас от необходи­мости всесторонне исследовать следствия из обусловливающих ее функционирование физических законов. Возьмем, к примеру, спортсмена, который, безусловно, представляет собой необычай­но сложную физическую систему, — руководствуясь изложен­ными в предыдущем абзаце соображениями, мы имели бы пол­ное право заключить, что точное знание о работающих в данной системе физических законах никоим образом не сможет повли­ять на спортивные достижения этого самого спортсмена. Нам, впрочем, известно, что это далеко не так. Универсальные физиче­ские принципы сохранения энергии, импульса, момента импуль­са, равно как и законы тяготения, оказывают одинаково непре­клонное действие как на спортсмена целиком, так и на отдельные частицы, составляющие его тело. Необходимость этого факта обусловлена самой природой тех конкретных принципов, кото­рые волею случая управляют данной конкретной вселенной. Будь эти принципы хотя бы немного иными (или существенно иными, как, например, в конуэевской игре «Жизнь»), законы, опреде­ляющие поведение системы того же порядка сложности, что и система «спортсмен», вполне могли бы оказаться совершенно отличными от тех, к каким мы привыкли. То же можно сказать и о работе наших внутренних органов (например, сердца), и о точной природе химических процессов, посредством которых ре­ализуются всевозможные биологические функции. Аналогичным образом, следует ожидать, что мельчайшие тонкости тех законов, которые лежат в основе функционирования мозга, будут играть чрезвычайно важную роль в управлении, возможно, наивысшими из проявлений человеческого интеллекта.

 

Впрочем, даже согласившись со всем вышеизложенным, можно все же возразить, что тот конкретный тип умственной деятельности, о котором я, по большей части, говорю на этих страницах, т.е. макроскопическое («высокоуровневое») интел­лектуальное поведение математиков-людей, вряд ли может со­общить нам что-нибудь существенное об обусловливающих его тонких физических процессах. Что ни говори, а «гёделевский» метод рассуждения предполагает строго рациональное отноше­ние индивидуума к собственной системе «неопровержимых» математических убеждений, тогда как, в общем случае, поведение человеческого существа едва ли можно отнести к требуемому строго рациональному типу. В качестве примера приведу один из результатов некоей серии психологических экспериментов), который показывает, насколько иррациональными могут быть ответы человека на простой вопрос. Например, на такой:

 

На этот и подобные вопросы большинство студентов колледжа дают неверный (т.е. утвердительный) ответ. Если самые обыч­ные студенты настолько в своем мышлении нелогичны, то как же нам удастся вывести хоть что-то существенное из гораздо бо­лее хитроумных рассуждений гёделевского типа. Даже опытные математики нередко бывают небрежны в своих рассуждениях, что же касается необходимой для гёделевского контрдоказатель­ства последовательности выражения мысли, то такое, напротив, встречается далеко не так часто, как хотелось бы.

 

Следует, впрочем, понимать, что ошибки, подобные тем, что допускали в вышеупомянутых экспериментах студенты, не име­ют ничего общего с главным предметом настоящего исследова­ния. Такие ошибки принадлежат к категории «исправимых оши­бок» — сами же студенты, несомненно, признают, что они ошиб­лись, если им на эти ошибки указать (и, при необходимости, доходчиво разъяснить их природу). Исправимые ошибки мы в данном контексте не рассматриваем вовсе; см., в частности, ком­ментарий к возражениюа также §§3.12, 3.17. Исследова­ние ошибок, которым порой подвержены люди, безусловно имеет огромное значение для психологии, психиатрии и физиологии, однако меня здесь интересуют совсем другое — а именно, то, что человек может воспринять в принципе, используя свои по­нимание, интуицию и способность к умозаключениям. Как выяс­нилось, связанные с этим вопросы весьма тонки, хотя тонкость их сразу в глаза не бросается. Поначалу такие вопросы выгля­дят тривиальными; действительно, корректное рассуждение есть корректное рассуждение, с какой стороны его ни разглядывай, — просто нечто более или менее очевидное, причем все методы тако­го рассуждения разложил по полочкам еще Аристотель 2300 лет назад (ну а если не он, то английский математик и логик Джордж Буль в 1854 году вкупе с многочисленными последователями).

 

И все же приходится признать, что понятие «корректного рас­суждения» таит в себе неизмеримые глубины и совершенно не укладывается в рамки вычислительных операций, что, в сущно­сти, и показали Гёдель с Тьюрингом. В недавнем прошлом эти вопросы рассматривались как прерогатива скорее математики, чем психологии, присущие же им тонкости психологов в общем случае не интересовали. Однако, как мы могли убедиться, только так можно получить хоть какую-то информацию о физических процессах, которые в конечном счете и обусловливают осознание и понимание.

 

Исследование упомянутых материй, помимо прочего, неиз­бежно затронет и глубинные вопросы философии математики. Происходит ли при математическом понимании своего рода кон­такт с Платоновой математической реальностью, существующей независимо от человека и вне времени; или каждый из нас в про­цессе прохождения этапов логического умозаключения самосто­ятельно воссоздает все математические концепции? Почему фи­зические законы, как нам представляется, столь неукоснительно следуют полученным таким образом точным и тонким математи­ческим описаниям? Какое отношение имеет собственно физиче­ская реальность к упомянутой концепции Платоновой идеальной математической реальности? И, кроме того, если наше воспри­ятие в силу своей природы действительно обусловлено некоей точной и тонкой математической подструктурой, на которую опи­раются те самые законы, что регулируют функциональную де­ятельность нашего мозга, то что мы можем узнать о том, как работает наше восприятие математики — как вообще работает наше восприятие чего бы то ни было, — если нам удастся глубже понять упомянутые физические законы?

 

В конечном счете, все наши усилия сводятся к поискам от­ветов именно на эти вопросы, и к этим же вопросам нам еще предстоит вернуться в конце второй части.

 

Примечания

 

1. Цитата приводится по [328] и [375]. Она, судя по всему, является частью Гиббсовских лекций Гёделя, прочитанных в 1951 году; пол­ный текст имеется в Собрании сочинений Гёделя, том 3 [159]. См. также [376], с. 118.

 

2. См. [197], с. 361. Цитата взята из лекции Тьюринга, прочитанной

 

в 1947 году перед Лондонским математическим обществом и при­водится по изданию [369].

 

3. Упомянутая процедура заключается во вложении системыв систему Гёделя—Бернайса; см. [56], глава 2.

 

4. См. [180], с. 74.

 

5. Это самое количество состояний Вселенной (число порядка или около того) представляет собой объем доступного фазового пространства (измеренный в абсолютных единицах из § 6.11) неко­торой области, содержащей в себе такое количество вещества, ка­кое заключено внутри наблюдаемой нами в настоящий момент Все­ленной. Величину этого объема можно оценить, применив формулу Бекенштейна—Хокинга для энтропии черной дыры с массой, равной массе упомянутого количества вещества, и найдя экспоненту от этой энтропии (в абсолютных единицах из § 6.11). См. НРК, с 340-344.

 

6. См. [266], [267].

 

7. См„напр.,[101](иНРК, глава 9).

 

8. Популярно об этих исследованиях рассказано в [ 152] и [336].

 

9. Из классической теории фон Неймана и Моргенштерна (1944).

 

10. См. [152], [336].

 

11. Популярное изложение этих вопросов можно найти в [349] [350] и [328].

 

12. Гипотеза Тебо — это весьма занимательная (и даже не слишком сложная) теорема из плоской евклидовой геометрии, которую, тем не менее, не так-то просто доказать непосредственно. Как выясни­лось, единственный способ ее доказательства заключается в том, чтобы отыскать подходящее обобщение (что сделать не в пример легче), а уже затем выводить требуемый результат в виде особого случая. Такая процедура довольно широко распространена в ма­тематике, однако для компьютеров она, как правило, совершенно не годится, поскольку отыскание необходимого обобщения требу­ет немалой изобретательности и способности разбираться в сути проблемы. Компьютерное же доказательство подразумевает нали­чие некоей четкой системы нисходящих правил, которым машина в дальнейшем и следует неуклонно с поражающей воображение скоростью. В данном случае львиная доля человеческой изобрета­тельности как раз и пошла в первую очередь на разработку эффек­тивной системы таких нисходящих правил.

 

13. Исторический обзор некоторых таких попыток можно найти у Д. Фридмана [123].

 

14. Это заявление следует рассматривать с учетом сказанного в § 1.8; оно опирается на общепринятое допущение, согласно которому аналоговые системы можно без особого ущерба для точности рас­сматривать с помощью численных методов. См. также источники, указанные в примечании 12 после главы 1.

 

15. Предположение о том, что нейроны представляют собой нечто большее, чем просто «двухпозиционные переключатели», как счи­талось раньше, похоже, находит поддержку в самых широких на­учных кругах. См., например, книги Скотта [338], Хамероффа [182], Эдельмана [110] и Прибрама [318]. Как мы увидим в главе 7, неко­торые идеи Хамероффа оказываются в нашем контексте чрезвы­чайно значимыми.

 

16. См. статьи Г. Фрелиха [128], [129], [130], [131], [132]; дальнейшее развитие эти идеи получили в работах Маршалла [257], Локву-да [242], Зохара [396] и др. В нашем исследовании они также сы­грают немаловажную роль; см. §7.5 и [18].

 

17. См., например, [345], [315], [29] и [327].

 

18. Замечательные описания игры Конуэя «Жизнь» можно найти в [136], [310] и [390].

 

19. См., например, [213] и [40].

 

20. Подробное описание этих экспериментов приведено в [40].

 

 

Парапсихология и психофизика. - 1998. - №1. - С.151-152.