1. Постановка задачі
2. Метод Ейлера
3. Метод Рунге-Кутта
4. Багатокроковий метод Адамса
5. Багатокроковий метод Мілна
Багато інженерних задач приводять до необхідності знаходження розв`язку диференціального рівняння, що задовольняє певним початковим умовам. Однак одержати точне розв`язання диференціального рівняння вдається лише в певних спеціальних випадках, але навіть тоді часто одержують вираз, що містить шукану функцію в неявному вигляді, що затрудняє його використання.
Тому в інженерній практиці приходиться користуватися наближеними методами інтегрування диференціальних рівнянь. Ці методи умовно поділяють на аналітичні, або методи побудови наближених формул, чисельні методи, коли шуканий розв`язок одержують в табличному вигляді і графічні.
Задача відшукання розв`язку диференціального рівняння при заданих початкових умовах називається задачею Коші.
Нехай задане диференціальне рівняння першого порядку у вигляді у’=f(x,y) (1) і початкові умови у(х0)=у0 (2). Задача Коші полягає в тому, щоб знайти функцію у=у(х), що являється розв`язком рівняння (1) і задовільняє умови (2). Очевидно, лише в цьому випадку, коли відомо, що розв`язок задачі Коші існує і єдиний, має зміст говорити про відшукання його наближеного представлення.
Із теорії диференціальних рівнянь відомо, що якщо в деякій області D площини х0у, що містить точку (х0;у0), функція f(x,y) неперервна і має неперервну частинну похідну 
, то в деякому околі точки х0 існує єдина функція у=у(х), що являється розв`язком рівняння (1) і задовольняє початкові умови (2) (теорема Коші).
Аналогічно ставиться задача Коші для:
а) диференційованого рівняння другого порядку, представленого у вигляді у”=f(x,y,y’) (3), при початкових умовах у(х0)=у0, у’(x0)=y’0. Потрібно знайти функцію у=у(х), що являється розв`язком рівняння (3) і задовольняє умовам (4).
б) системи двох диференціальних рівнянь першого порядку, представленої у вигляді
(5) при початкових умовах x(t0)=x0, y(t0)=y0. (6)
Треба знайти функції х=х(t), y=y(t), що являються розв`язком системи (5) і задовольняє умови (6);
в) системи трьох диференціальних рівнянь першого порядку, представленої у вигляді
(7)
при початкових умовах.
Метод Ейлера для розв’язання диференціального рівняння першого порядку. Розглянемо задачу відшукання наближеного розв’язку диференціального рівняння у’=f(x,y) (1) при початкових умовах у(х0)=у0 (2) на відрізку [x0;x0+a].
При відшуканні чисельного розв’язку задачі (1), (2) відрізок [x0;x0+a] розбивають на n рівних частинних відрізки, довжина яких h= 
. Число h називається кроком інтерполяції (чи просто кроком). Наближене значення шуканої функції у=у(х) відшукується в точках поділу х0, х1=х0+h, x2=x1+h, …, xn=xn-1+h=x0+a.
Метод Ейлера являється найбільш простим із всіх методів чисельного розв`язання диференціальних рівнянь. Геометрично він полягає в тому, що на малому відрізку [x;x+h] інтегральна крива у=у(х) диференціального рівняння (1) заміняється відрізком її дотичної в точці (х;у(х)). Так, на першому відрізку [x0;x1] із точки М0(х0;у0) проводимо дотичну до інтегральної кривої, тобто пряму з кутовим коефіцієнтом у’(x0)=f(x0,y0), рівняння якої у-у0=f(x0,y0)(x-x0). Визначаємо точку перетину прямої з прямою, паралельною осі оу і та що проходить через точку х1, тобто з прямою х=х1. Підставивши х=х1 в рівняння дотичної, одержимо у1=у0+f(х0,у0)(х-х0)=y0+f(х0,у0)h. Число у1 вважають наближеним значенням розв’язку в точці х1. Повторимо ту саму процедуру на відрізку [x1;x2]. А іменно, побудуємо дотичну до інтегральної кривої, що проходить через точку М1(х1;у1), тобто пряму з кутовим коефіцієнтом у’(x1)=f(x1,y1), рівняння якої у-у1=f(x1,y1)(x-x1), і відшукуємо ординату у2 точки М2(х2;у2), що лежить на прямій у2=у1+f(x1,y1)(x2-x1)=y1+f(x1,y1)h. Число у2 вважається наближеним значенням розв’язання в точці х2.
Продовжуємо цю процедуру до тих пір, поки не отримаємо відрізок [xn-1;xn=x0+a] і не визначемо уn=yn-1+f(xn-1,yn-1)h – ординату точки Мn(xn;yn). Число уn вважаємо наближеним значенням розв’язку в точці хn.
З’єднавши точки М0,М1,...,Мn, одержимо ламану, яка наближено представляє інтегральну криву диференціального рівняння. Цю ламану прийнято називати ламаною Ейлера. Рівнянням її є кусково-лінійна функція, яка являється наближеним розв’язанням задачі (1), (2) на відрізку [x0;x0+a].
Метод Рунге-Кутта найбільш часто застосовується при чисельному розв’язанні задачі Коші і дозволяє одержувати наближення високої точності. Геометрично цей метод для задачі Коші (нехай задане диференціальне рівняння першого порядку у вигляді у’=f(x,y) (1) і початкові умови у(х0)=у0 (2). Задача Коші полягає в тому, щоб знайти функцію у=у(х), що являється розв`язком рівняння (1) і задовільняє умови (2)) також полягає в тому, що на малому відрізка [х; x+h] інтегральна крива y=y(x) рівняння (1) заміняється відрізком прямої, що проходить через точку (х;у=у(х)). Однак в основу методу покладений біль тонкий, ніж в методі Ейлера, підхід до визначення напряму цього відрізку прямої.
Нехай відрізок [x0;x0+a] розділений на n рівних частин точками x0, x1,...,хк, хк+1,..., хn=x0+a(xk+1-xk= =h) і визначені наближені значення у0,...,ук розв’язку диференціального рівняння відповідно в точках x0,..., xк. Переходимо до відрізку[xk; xk+1] і до відшукання ук+1. Визначаємо а 1к=f(xk;yk) – напрямок дотичної до інтегральної кривої в точці Mk(xk;yk), і точку перетину прямих y-yk= а 1к(x-xk) і х=хк+ 
,тобто точку N 
. Знаходимо напрям дотичної в точці N 
: а 2к=f 
і з точки Мк проводимо пряму з кутовим коефіцієнтом а 2к: y-yk= а 2к(x-xk) до перетину з прямою х=хк+ . Одержимо точку N 
. Знаходимо напрям дотичної в точці N 
: а 3к=f 
і з точки Мк проводимо пряму з кутовим коефіцієнтом а 3к: y-yk= а 3к (x-xk) до перетину з прямою х=хк+h. Одержуємо точку М 
(хк+h,yk+ а 3кh). Далі визначаємо напрям дотичної в точці М : а 4к=f 
. В кінці напрям відрізка ламаної, що представляє наближений розв’язок задачі, покладають рівним а к=1/6(а 1к+2 а 2к+2 а 3к+ а 4к) і проводимо з точки Mk пряму y-yk= а к(x-xk) до перетину з прямою х=хк+h в точці Mk+1(xk+1;yk+1), де yk+1=ук+ а к h вважають наближеним значенням розв’язку в точці xk+1=хк+h.
Метод будемо називати однокроковим, якщо для отримання розв’язку на к-тому кроці будемо використовувати лише розв’язок отриманий лише на к-тому кроці. Якщо для отримання розв’язку на к-тому кроці використовуватимемо декілька попередніх кроків (найчастіше чотири), то метод будем називати багатокроковим.
Метод Адамса є багатокроковим і використовує розв’язки у чотирьох точках, які знайдені за допомогою однокрокового методу. Метод Адамса грунтується на принципі знаходження значення уі+1, з його допомогою обчислюють fi+1 і використовуючи fi+1 і ще декілька попередніх розв’язків у точках хі, хі-1,хі-2 проводять уточнення уі+1. Для методу Адамса формула має вигляд:
уі+1=уі+ 
(55*fi-59*fi-1+37fi-2-9fi-3), де fi=f(xi,yi).
За даним уі+1 обчислюють fi+1=f(xi+1,yi+1) і уточнюють уі+1:
уі+1=уі+ (9*fi+1+19*fi-5fi-1+fi-2). Дана формула отримується з використанням інтерполяційного многочлена Ньютона.
Метод Мілна являється багатокроковим методом четвертого порядку. Для його початку необхідно знайти будь-яким однокроковим методом чотири значення шуканого розв’язку у0, у1, у2, у3. Подальші обчислення проводяться по схемі:
1. 1. По чотирьох попередніх точках передбачаються наступні значення уі+1:
Уі+1наближене=уі-3+ 
h(2fi-fi-1+2fi-2), де fi=f(xi,yi); (i=3,4,5,…)
2. 2. Обчислюємо значення правої частини рівняння fi+1наближене=f(xi+1;yi+1наближене).
3. 3. Коректуємо значення уі+1:
уі+1уточнене=уі-1+h/3(fi-1+4fi+fi+1наближене), (і=3,4,...)
Гранична абсолютна похибка значення уі в методі Мілна рівна Еі= 1/29|yiнаближене-уіуточнене|
