Знайти координати центра ваги фігури, обмеженої лініями (поверхнева густина )

Фігура, центр ваги якої треба знайти, показана на рисунку:

Шукаємо масу фігури:

В силу симетрії фігури, .

Знайти момент інерції відносно осі однорідного тіла (густина), обмеженого параболоїдом і площиною.

На площину ХОZ тіло проектується у коло: , перейдемо до полярних координат:

Знайти момент інерції однорідного тіла (густина), обмеженого поверхнями відносно осі.

На площину УОХ тіло проектується у коло , перейдемо до полярних координат:

Знайти момент інерції однорідного тіла (густина), обмеженого поверхнями відносно осі.

На площину УОZ тіло проектується у коло , перейдемо до полярних координат:

Знайти довжину дуги кривої, заданої рівнянням.

Знайти довжину дуги кривої, заданої рівняннями.

Знайти довжину дуги кривої, заданої рівнянням.

Знайти довжину дуги кривої.

Знайти роботу сили при переміщенні вздовж лінії від точки до точки:, – відрізок прямої,.

Роботу поля шукаємо за формулою:

Рівняння прямої: y = 0,5x + 2

Знайти площу частини площини, вирізаної координатними площинами.

Площина показана на рисунку

194 Обчислити потік векторного поля через зовнішню сторону замкненої поверхні . ; .

Потік шукаємо за формулою:

Замкнена поверхня показана на рисунку:

Знайти потік векторного поля через повну поверхню конуса застосувавши формулу Остроградського.

Потік шукаємо за формулою:

Перейдемо до полярних координат: А

196 Знайти площу частини площини , вирізаної координатними площинами.

Площина показана на рисунку

Задано векторне поле і площина (), яка разом з координатними площинами утворює піраміду V. Нехай – основа піраміди, яка належить площині (); – контур, який обмежує, – зовнішня нормаль до. Обчислити циркуляцію векторного поля вздовж замкненого контура, застосувавши формулу Стокса до контура і обмеженої ним поверхні з нормаллю.

Циркуляцію знайдемо за формулою:

Визначаємо:

Піраміда показана на рисунку.

Задано векторне поле і площина (), яка разом з координатними площинами утворює піраміду V. Нехай – основа піраміди, яка належить площині (); L – контур, який обмежує, – зовнішня нормаль до. Обчислити циркуляцію векторного поля вздовж замкненого контура, застосувавши формулу Стокса до контура і обмеженої ним поверхні з нормаллю.

Циркуляцію знайдемо за формулою:

Визначаємо:

Піраміда показана на рисунку

Обчислити дивергенцію поля в точці.

Обчислити ротор векторного поля.

Ротор шукаємо за формулою Стокса: