Коефіцієнти парної, частинної та множинної кореляції

Для вимірювання сили лінійних зв’язків різних пар змінних використовується коефіцієнт парної кореляції. Причому для будь-яких двох факторів x і та x j коефіцієнт кореляції лежить в межах:

Якщо то випадкові величини x і x j зв’язані додатною кореляцією (при зростанні однієї друга теж зростає); якщо то випадкові величини x і x j зв’язані від’ємною кореляцією (при зростанні однієї друга спадає). Коефіцієнт парної кореляції між змінними можна визначити за формулою

Крім коефіцієнтів парної кореляції вводяться коефіцієнти частинної кореляції. Частинною кореляцією між факторами x і Х j називається кореляційна залежність між цими факторами при фіксованих значеннях інших факторів [2].

. В економетричній моделі з 2-ма змінними (однофакторній) ми дали поняття коефіцієнта кореляції r і коефіцієнта детермінації d. У випадку економетричної моделі з кількістю змінних більшою ніж 2, вводиться поняття коефіцієнта множинної кореляції R. Він визначається як коефіцієнт кореляції між y та yˆ по формулі:

21. Постановка задачі в матричній формі та основні припущення МНК для загального випадку. МНК в матричній формі.

Лінійну багатофакторну економетричну модель зручно розглядати за допомогою теорії матриць. Для цього запишемо модель (3.1) для кожного окремого спостереження:

1. Лінійну багатофакторну економетричну модель зручно розглядати за допомогою теорії матриць. Для цього запишемо модель (3.1) для кожного окремого спостереження:

(3.11)

де - і-е значення залежної змінної; - і-е значення ] -ої незалежної

змінної; - невідомі детерміновані параметри; - і-е значення

випадкової змінної. Можна (3.11) подати у вигляді системи:

(3.12)

матриця спостережень за т змінними х₁, х₂.

У матричному вигляді основні припущення лінійної багатофакторної економетричної моделі матимуть вигляд:

Оскільки для випадкової величини властива гомоскедастичність та відсутній зв’язок між випадковими величинами, то:

	'а ²		... 0		'1	0.	. 0"
М (ии') =		_а2	... 0	= а ²		1.	. 0
	_ 0		... а² _			0.	. 1_

: а ² Е, (3.15)

де Е - одинична матриця розміру п х п.

2. Для того щоб знайти оцінки параметрів р запишемо економетричну модель у матричному вигляді, використавши попередні позначення і наступні:

параметрів; e =

вектор відхилень фактичних даних від розрахункових.

Лінійна багатофакторна економетрична модель має вигляд:

Вектор оцінок параметрів знайдемо методом найменших квадратів, мінімізуючи суму квадратів залишків:

Y = Xß + е, (3.16)

e(ß) = Е ^ef = ^е’^е = (Y - *ß)'(Y - Xß) = Y Y - 2ß'X Y + ß'XXß ® min, (3.17)

i = 1

де символ штрих (') означає операцію транспонування.

Зауваження. При перетворенні (3.17) враховані властивості транспонованих матриць: (Xß)' = ß 'X'; ß 'X Y = Y Xß.

Знайдемо частинну похідну виразу (3.17) за компонентами вектора ß і прирівняємо її до нуля:

öe(ß)

Звідси отримуємо систему рівнянь в матричній формі:

X Xß = X Y

/V /V /V /V /V /-Ч М (3 т - 3 т)(3 0 -3с) М (3 т -3 т)(31 - в) ■ М (3 т -3т)² _

(3.18) є системою нормальних рівнянь МНК для знаходження оцінок (3 ₀, 3і3_т в матричній формі. Якщо визначник матриці X'X не дорівнює нулю (д^(ХX) Ф 0), то існує обернена матриця (XX)^-1 і розв’язок системи (3.18) буде вектор-стовпець в = (X X)^-1X У (3.19) Рівняння (3.19) є фундаментальним результатом для визначення невідомих параметрів у матричному вигляді. 22. Дисперсійно-коваріаційна матриця

. Матриця кореляції. В економетричній моделі У = XP + и вектор и і залежний від нього вектор У є випадкові змінні. Оскільки в ми визначаємо з виразу в = (XX)^-1X'У в який входить У, то в також можна вважати випадковою функцією оцінювання параметрів моделі. Тому для характеристики в необхідно знати не тільки математичне сподівання, а й дисперсію, коваріацію. У матричній формі легко знайти дисперсії параметрів 3₀, 3ь- -, 3_т та встановити коваріації між двома попарними їхніми значеннями, тобто між 3_і та З j при і Ф у. Ці значення утворюють дисперсійно-коваріаційну матрицю М[(в - в) • (в - Р)'] = /V /-Ч /V /V /V /V ^М⁽³0 ^-³0⁾^М⁽³0 ^-³0⁾⁽³1 ^-³1⁾ ■■■ ^М⁽³0 ^—³0⁾⁽³т ^{— 3}т ⁾ /V /V /V г\ /V /V = ^М(31 ^-³1⁾⁽³0 ^-³0⁾^М(31 ^-³1⁾ ■■■ ^М(31 ^-³1 ⁾⁽³т ^-³т ⁾ =

або в матричному вигляді:

6 2 = —: (3.21) п - т -1

На головній діагоналі цієї матриці знаходяться дисперсії оцінок, а поза діагоналлю - коваріації оцінок. Позначається дисперсійно-коваріаційна матриця уаг(Р) і визначається за формулою: уагф) = с „²(X X)^-1 (3.20) де с² - оцінена дисперсія випадкової величини, яка визначається за формулою: П Те.²

6² = УТ^СУ =. (3.21') п - т -1 п - т -1

23. Перевірка адекватності прийнятої економетричної моделі реальній дійсності проводиться аналогічно лінійній моделі з однією пояснюючою змінною. Для цього користуються найчастіше критерієм Фішера (^—критерієм). Нульова гіпотеза має вигляд:

^Н 0 ^: Р 0 = ^Ь1 = — = Р т = °.

Альтернативна гіпотеза наступна:

Н₁: не всі Р у (] = 0, т) дорівнюють нулю.

Я кщ о нульова гіпотеза відхиляється і приймається альтернативна гіпотеза, то це означає, що включені до моделі фактори пояснюють змінну у. Величина ^—відношення для багатофакторної моделі з т та п — т — 1

ступенями вільності наступна:

де т - кількість факторів, що ввійшли в модель, п - кількість спостережень у вибірці.

Р =------------ ^т----------- =---------------------- ^і=¹--------------, (3.26) пп Е⁽ у і^{- р)};⁾²^тЕ⁽Уі^-^у;⁾² і=1____________________ і = 1 п - т -1

Або якщо відоме значення коефіцієнта детермінації то Р-відношення таке: _р = ^(п - ^т - ¹>д² (3.26') т(1 - Я²) Після обчислення ^-відношення Фішера знаходимо Е_кр(т;п - т -1;у), яке є критичним значенням Р при заданому рівні значущості у (або у-100%) та відповідно т і п - т -1 ступенях вільності. Якщо Р > Р_кр, то ми відкидаємо Н₀ з ризиком помилитися не більше ніж в у % випадків, і приймаємо, що побудоване рівняння економетричної моделі адекватне реальній дійсності. В протилежному випадку Р < Р_кр - Н₀ приймаємо і вважаємо, що побудована модель неадекватна. Тоді необхідно, можливо, будувати нелінійну модель або ввести додаткові фактори.