Для определения оптимальной производственной программы по критерию максимизации прибыли необходимо математически формализовать поставленную задачу, а именно записать целевую функцию и ограничения. Учитывая введенные ранее обозначения, математическая постановка задачи поиска оптимального объема производства по критерию максимизации прибыли для одного периода примет следующий вид:
(4)
Решением сформулированной оптимизационной задачи являются оптимальные значения переменных 
и 
, максимизирующие целевую функцию прибыли, максимальное значение прибыли 
, резервы по «ресурсам».
Используя числовые данные и результаты прогнозных расчетов, полученные во втором разделе, решим задачу линейного программирования графически.
Предположим, что с учетом числовых значений параметров задача примет вид:
(5)
Ниже приводится графическое решение задачи.
Рисунок 7 Графическое решение задачи линейного программирования
Так как необходимо определить оптимальную производственную программу на пять будущих периодов, то задачу необходимо решить для каждого следующего года в отдельности, используя данные об изменении цен на продукцию, на сырьевой ресурс и объема спроса на первую и вторую продукцию, полученные в результате прогнозирования в предыдущем разделе.
Решение задачи по определению оптимальной производственной программы осуществляется в пакете Excel в приложении «Поиск решения» (меню «Сервис»).
Таблица 11 - Расчет оптимальной производственной программы и прибыли на период t0+1
(на основе прогнозных значений регрессионных моделей)
| 1. Целевая функция: максимизация прибыли | |||||
| Объем производства, шт | Цена за единицу продукции | Затраты ресурсов, кг/шт | Цена на ресурс | Прибыль | |
| 1-й продукт | 441,61 | 32,67 | 6,54 | 3076,91 | |
| 2-й продукт | 38,93 | 24,81 | |||
| 2. Ограничение по фонду времени работы оборудования (Ф=1000 часов) | |||||
| Объем производства, шт | Норматив затрат времени работы оборудования | Общий годовой фонд времени работы оборудования | Фонд времени, затраченный на выполнение произодственной программы | ||
| 1-й продукт | 441,61 | ||||
| 2-й продукт | 38,93 | ||||
| 3. Ограничение по объему сбыта продукции на рынке | |||||
| Объем производства, шт = Объем сбыта, шт | Прогнозный объем продаж на рынке, шт. | ||||
| 1-й продукт | 441,61 | 441,61 | |||
| 2-й продукт | 38,93 | 293,63 |
Ячейка, относящаяся к прибыли, задана в приложении «Поиск решения» как «целевая ячейка». Ячейки, в которых находятся объемы производства продукции, заданы как «изменяемые ячейки». Далее получены отчеты о результатах расчетов, об их устойчивости и о пределах.
Таблица 12 – Отчеты по результатам, устойчивости, пределам
Таблица 13 - Расчет оптимальной производственной программы и прибыли
на период t0+2 (на основе прогнозных значений регрессионных моделей)
| 1. Целевая функция: максимизация прибыли | |||||
| Объем производства, шт | Цена за единицу продукции | Затраты ресурсов, кг/шт | Цена на ресурс | Прибыль | |
| 1-й продукт | 446,69 | 33,1 | 6,61 | 3173,98 | |
| 2-й продукт | 35,54 | 25,43 | |||
| 2. Ограничение по фонду времени работы оборудования (Ф=1000 часов) | |||||
| Объем производства, шт | Норматив затрат времени работы оборудования | Общий годовой фонд времени работы оборудования | Фонд времени, затраченный на выполнение произодственной программы | ||
| 1-й продукт | 446,69 | ||||
| 2-й продукт | 35,54 | ||||
| 3. Ограничение по объему сбыта продукции на рынке | |||||
| Объем производства, шт = Объем сбыта, шт | Прогнозный объем продаж на рынке, шт. | ||||
| 1-й продукт | 446,69 | 446,69 | |||
| 2-й продукт | 35,54 | 302,97 |
| Таблица 14 - Расчет оптимальной производственной программы и прибыли на период t0+3 | |
| (на основе прогнозных значений регрессионных моделей) |
| 1. Целевая функция: максимизация прибыли | |||||||
| Объем производства, шт | Цена за единицу продукции | Затраты ресурсов, кг/шт | Цена на ресурс | Прибыль | |||
| 1-й продукт | 451,77 | 33,53 | 6,68 | 3269,79 | |||
| 2-й продукт | 32,15 | 26,05 | |||||
| 2. Ограничение по фонду времени работы оборудования (Ф=1000 часов) | |||||||
| Объем производства, шт | Норматив затрат времени работы оборудования | Общий годовой фонд времени работы оборудования | Фонд времени, затраченный на выполнение произодственной программы | ||||
| 1-й продукт | 451,77 | ||||||
| 2-й продукт | 32,15 | ||||||
| 3. Ограничение по объему сбыта продукции на рынке | |||||||
| Объем производства, шт = Объем сбыта, шт | Прогнозный объем продаж на рынке, шт. | ||||||
| 1-й продукт | 451,77 | 451,77 | |||||
| 2-й продукт | 32,15 | 312,31 | |||||
Таблица 15 - Расчет оптимальной производственной программы и прибыли на период t0+4
(на основе прогнозных значений регрессионных моделей)
| 1. Целевая функция: максимизация прибыли | |||||
| Объем производства, шт | Цена за единицу продукции | Затраты ресурсов, кг/шт | Цена на ресурс | Прибыль | |
| 1-й продукт | 456,85 | 33,96 | 6,75 | 3364,36 | |
| 2-й продукт | 28,77 | 26,67 | |||
| 2. Ограничение по фонду времени работы оборудования (Ф=1000 часов) | |||||
| Объем производства, шт | Норматив затрат времени работы оборудования | Общий годовой фонд времени работы оборудования | Фонд времени, затраченный на выполнение произодственной программы | ||
| 1-й продукт | 456,85 | ||||
| 2-й продукт | 28,77 | ||||
| 3. Ограничение по объему сбыта продукции на рынке | |||||
| Объем производства, шт = Объем сбыта, шт | Прогнозный объем продаж на рынке, шт. | ||||
| 1-й продукт | 456,85 | 456,85 | |||
| 2-й продукт | 28,77 | 321,65 |
Таблица 16 - Расчет оптимальной производственной программы и прибыли на период t0+5 (на основе прогнозных значений регрессионных моделей)
| 1. Целевая функция: максимизация прибыли | |||||
| Объем производства, шт | Цена за единицу продукции | Затраты ресурсов, кг/шт | Цена на ресурс | Прибыль | |
| 1-й продукт | 461,93 | 34,39 | 6,85 | 3399,95 | |
| 2-й продукт | 25,38 | 27,29 | |||
| 2. Ограничение по фонду времени работы оборудования (Ф=1000 часов) | |||||
| Объем производства, шт | Норматив затрат времени работы оборудования | Общий годовой фонд времени работы оборудования | Фонд времени, затраченный на выполнение произодственной программы | ||
| 1-й продукт | 461,93 | ||||
| 2-й продукт | 25,38 | ||||
| 3. Ограничение по объему сбыта продукции на рынке | |||||
| Объем производства, шт = Объем сбыта, шт | Прогнозный объем продаж на рынке, шт. | ||||
| 1-й продукт | 461,93 | 461,93 | |||
| 2-й продукт | 25,38 | 330,99 |
При расчете оптимальной производственной программы, необходимо оценить наихудшие и наилучшие результаты, то есть определить оптимальный объем производства и прибыль для пессимистического и оптимистического прогноза изменения параметров задачи.
Оптимистический и пессимистический варианты также необходимо просчитать на пять будущих периодов.
Математическая модель расчета оптимальной производственной программы для пессимистического варианта имеет вид:
(6)
| Таблица 17 - Расчет оптимальной производственной программы и прибыли на период t0+1 |
| (пессимистический прогноз) |
| 1. Целевая функция: максимизация прибыли | |||||
| Объем производства, шт | Цена за единицу продукции | Затраты ресурсов, кг/шт | Цена на ресурс | Прибыль | |
| 1-й продукт | 30,49 | 7,06 | |||
| 2-й продукт | 66,67 | 23,01 | |||
| 2. Ограничение по фонду времени работы оборудования (Ф=1000 часов) | |||||
| Объем производства, шт | Норматив затрат времени работы оборудования | Общий годовой фонд времени работы оборудования | Фонд времени, затраченный на выполнение произодственной программы | ||
| 1-й продукт | |||||
| 2-й продукт | 66,67 | ||||
| 3. Ограничение по объему сбыта продукции на рынке | |||||
| Объем производства, шт = Объем сбыта, шт | Прогнозный объем продаж на рынке, шт. | ||||
| 1-й продукт | |||||
| 2-й продукт | 66,67 |
| Таблица 18 - Расчет оптимальной производственной программы и прибыли на период t0+2 |
| (пессимистический прогноз) |
| 1. Целевая функция: максимизация прибыли | |||||
| Объем производства, шт | Цена за единицу продукции | Затраты ресурсов, кг/шт | Цена на ресурс | Прибыль | |
| 1-й продукт | 422,49 | 30,92 | 7,13 | 1129,72 | |
| 2-й продукт | 51,67 | 23,63 | |||
| 2. Ограничение по фонду времени работы оборудования (Ф=1000 часов) | |||||
| Объем производства, шт | Норматив затрат времени работы оборудования | Общий годовой фонд времени работы оборудования | Фонд времени, затраченный на выполнение произодственной программы | ||
| 1-й продукт | 422,49 | ||||
| 2-й продукт | 51,67 | ||||
| 3. Ограничение по объему сбыта продукции на рынке | |||||
| Объем производства, шт = Объем сбыта, шт | Прогнозный объем продаж на рынке, шт. | ||||
| 1-й продукт | 422,49 | 422,49 | |||
| 2-й продукт | 51,67 | 271,52 |
Таблица 19 - Расчет оптимальной производственной программы и прибыли на период t0+3 (пессимистический прогноз)
| 1. Целевая функция: максимизация прибыли | |||||
| Объем производства, шт | Цена за единицу продукции | Затраты ресурсов, кг/шт | Цена на ресурс | Прибыль | |
| 1-й продукт | 427,57 | 31,35 | 7,2 | 1218,26 | |
| 2-й продукт | 48,29 | 24,25 | |||
| 2. Ограничение по фонду времени работы оборудования (Ф=1000 часов) | |||||
| Объем производства, шт | Норматив затрат времени работы оборудования | Общий годовой фонд времени работы оборудования | Фонд времени, затраченный на выполнение произодственной программы | ||
| 1-й продукт | 427,57 | ||||
| 2-й продукт | 48,29 | ||||
| 3. Ограничение по объему сбыта продукции на рынке | |||||
| Объем производства, шт = Объем сбыта, шт | Прогнозный объем продаж на рынке, шт. | ||||
| 1-й продукт | 427,57 | 427,57 | |||
| 2-й продукт | 48,29 | 280,86 |
Таблица 20 - Расчет оптимальной производственной программы и прибыли на период t0+4 (пессимистический прогноз)
| 1. Целевая функция: максимизация прибыли | |||||
| Объем производства, шт | Цена за единицу продукции | Затраты ресурсов, кг/шт | Цена на ресурс | Прибыль | |
| 1-й продукт | 432,65 | 31,78 | 7,27 | 1305,55 | |
| 2-й продукт | 44,9 | 24,87 | |||
| 2. Ограничение по фонду времени работы оборудования (Ф=1000 часов) | |||||
| Объем производства, шт | Норматив затрат времени работы оборудования | Общий годовой фонд времени работы оборудования | Фонд времени, затраченный на выполнение произодственной программы | ||
| 1-й продукт | 432,65 | ||||
| 2-й продукт | 44,9 | ||||
| 3. Ограничение по объему сбыта продукции на рынке | |||||
| Объем производства, шт = Объем сбыта, шт | Прогнозный объем продаж на рынке, шт. | ||||
| 1-й продукт | 432,65 | 432,65 | |||
| 2-й продукт | 44,9 | 290,2 |
Таблица 21 - Расчет оптимальной производственной программы и прибыли на период t0+5 (пессимистический прогноз)
| 1. Целевая функция: максимизация прибыли | |||||
| Объем производства, шт | Цена за единицу продукции | Затраты ресурсов, кг/шт | Цена на ресурс | Прибыль | |
| 1-й продукт | 437,73 | 32,21 | 7,34 | 1391,58 | |
| 2-й продукт | 41,51 | 25,49 | |||
| 2. Ограничение по фонду времени работы оборудования (Ф=1000 часов) | |||||
| Объем производства, шт | Норматив затрат времени работы оборудования | Общий годовой фонд времени работы оборудования | Фонд времени, затраченный на выполнение произодственной программы | ||
| 1-й продукт | 437,73 | ||||
| 2-й продукт | 41,51 | ||||
| 3. Ограничение по объему сбыта продукции на рынке | |||||
| Объем производства, шт = Объем сбыта, шт | Прогнозный объем продаж на рынке, шт. | ||||
| 1-й продукт | 437,73 | 437,73 | |||
| 2-й продукт | 41,51 | 299,54 |
Математическая модель расчета оптимальной производственной
программы для оптимистического варианта имеет вид:
(7)
| Таблица 22 - Расчет оптимальной производственной программы и прибыли на период t0+1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(оптимистический прогноз)
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Таблица 23 - Расчет оптимальной производственной программы и прибыли на период t0+2 (оптимистический прогноз)
| 1. Целевая функция: максимизация прибыли | |||||
| Объем производства, шт | Цена за единицу продукции | Затраты ресурсов, кг/шт | Цена на ресурс | Прибыль | |
| 1-й продукт | 470,89 | 35,28 | 6,09 | 5316,00 | |
| 2-й продукт | 19,41 | 27,23 | |||
| 2. Ограничение по фонду времени работы оборудования (Ф=1000 часов) | |||||
| Объем производства, шт | Норматив затрат времени работы оборудования | Общий годовой фонд времени работы оборудования | Фонд времени, затраченный на выполнение произодственной программы | ||
| 1-й продукт | 470,89 | ||||
| 2-й продукт | 19,41 | ||||
| 3. Ограничение по объему сбыта продукции на рынке | |||||
| Объем производства, шт = Объем сбыта, шт | Прогнозный объем продаж на рынке, шт. | ||||
| 1-й продукт | 470,89 | 470,89 | |||
| 2-й продукт | 19,41 | 334,42 |
Таблица 24 - Расчет оптимальной производственной программы и прибыли на период t0+3 (оптимистический прогноз)
| 1. Целевая функция: максимизация прибыли | |||||
| Объем производства, шт | Цена за единицу продукции | Затраты ресурсов, кг/шт | Цена на ресурс | Прибыль | |
| 1-й продукт | 475,97 | 35,71 | 6,16 | 5419,09 | |
| 2-й продукт | 16,02 | 27,85 | |||
| 2. Ограничение по фонду времени работы оборудования (Ф=1000 часов) | |||||
| Объем производства, шт | Норматив затрат времени работы оборудования | Общий годовой фонд времени работы оборудования | Фонд времени, затраченный на выполнение произодственной программы | ||
| 1-й продукт | 475,97 | ||||
| 2-й продукт | 16,02 | ||||
| 3. Ограничение по объему сбыта продукции на рынке | |||||
| Объем производства, шт = Объем сбыта, шт | Прогнозный объем продаж на рынке, шт. | ||||
| 1-й продукт | 475,97 | 475,97 | |||
| 2-й продукт | 16,02 | 343,76 |
Таблица 25 - Расчет оптимальной производственной программы и прибыли на период t0+4 (оптимистический прогноз)
| 1. Целевая функция: максимизация прибыли | |||||
| Объем производства, шт | Цена за единицу продукции | Затраты ресурсов, кг/шт | Цена на ресурс | Прибыль | |
| 1-й продукт | 481,05 | 36,14 | 6,23 | 5520,94 | |
| 2-й продукт | 12,63 | 28,47 | |||
| 2. Ограничение по фонду времени работы оборудования (Ф=1000 часов) | |||||
| Объем производства, шт | Норматив затрат времени работы оборудования | Общий годовой фонд времени работы оборудования | Фонд времени, затраченный на выполнение произодственной программы | ||
| 1-й продукт | 481,05 | ||||
| 2-й продукт | 12,63 | ||||
| 3. Ограничение по объему сбыта продукции на рынке | |||||
| Объем производства, шт = Объем сбыта, шт | Прогнозный объем продаж на рынке, шт. | ||||
| 1-й продукт | 481,05 | 481,05 | |||
| 2-й продукт | 12,63 | 353,1 |
Таблица 26 - Расчет оптимальной производственной программы и прибыли на период t0+5 (оптимистический прогноз)
| 1. Целевая функция: максимизация прибыли | |||||
| Объем производства, шт | Цена за единицу продукции | Затраты ресурсов, кг/шт | Цена на ресурс | Прибыль | |
| 1-й продукт | 486,13 | 36,57 | 6,3 | 5621,52 | |
| 2-й продукт | 9,25 | 29,09 | |||
| 2. Ограничение по фонду времени работы оборудования (Ф=1000 часов) | |||||
| Объем производства, шт | Норматив затрат времени работы оборудования | Общий годовой фонд времени работы оборудования | Фонд времени, затраченный на выполнение произодственной программы | ||
| 1-й продукт | 486,13 | ||||
| 2-й продукт | 9,25 | ||||
| 3. Ограничение по объему сбыта продукции на рынке | |||||
| Объем производства, шт = Объем сбыта, шт | Прогнозный объем продаж на рынке, шт. | ||||
| 1-й продукт | 486,13 | 486,13 | |||
| 2-й продукт | 9,25 | 362,44 |
Из всего вышеперечисленного можно сделать вывод, что вторую продукцию выпускать выгодно, но более выгодно предприятию выпускать первую продукцию, которая выпускается в объеме потребности рынка.
