а11х1+ а12х2+...+ а1nхn=0 Однородная сист. всегда совместна. 0=х1=х2=...=хn – тривиальная. Если r=n, то тревиальное
…………………………. решение будет ед. Если r<n, то сист. имеет параметрыбесконечное множество среди которых
аs1х1+ аs2х2+...+ аsnхn=0 есть нулевые.
Св-ва реш. лин. однород. сист.:
__ b1__ kb1
1) Если в-р β=:, им реш. сист., то для любого числа k β =: также явл. решением.
__ __ bn kbn
2) Если β и γ – 2-а реш. сист., то их сумма также явл. решением.
1), 2) =>Любая линейная комбинация решение одной системы, также является решением.
Теоремы о связи между решениями однородных и неоднородных систем.
а11х1+ а12х2+...+ а1nхn=b1 а11х1+ а12х2+...+ а1nхn=0
…………………………. – неоднород сист. …………………………. – привед. сист. соотв.
аs1х1+ аs2х2+...+ аsnхn=bs аs1х1+ аs2х2+...+ аsnхn=0
Теорема1.
Сумма любого решения неоднородной системы с любым решением приведенной системы будет решением неоднородной системы.
Теорема2.
Разность любых 2-х решений неоднородной сист., явл. реш. привед. сист.
Теорема о числе решений фундаментальной системы решений.
Максимальная лнз сист. назыв. фундаментальной сист. реш.(фср).
Теорема (о числе решений входящих в ФСР)
Умножение матриц. Обратная матрица. Сумма матриц и умножение матрицы на число.
Линейное пространство. Определение, примеры.
Мн-во L наз. лин. пр-вом, а его элем. – векторами, если:
– заданна опер. сложение ₳ х є L x+y є L
– задана операция умножения вектора на действ. число. ₳ α є R, ₳ х є L, α x є L
– для этих операций справедливо 8 св-в ₳ х, y, z є L, ₳ α є R:
19) Теорема о линейной зависимости системы m векторов n-мерного пространства при m>n. Теорема о базисе n-мерного пространства.
В-ры х1,..., хn назыв. лин.зависимыми, если сущ. числа α1,…, αn которые (α12+…+ αn2≠0): α1х1+…+ αnхn=0
В-ра х1,..., хn назыв. лин.независимыми, если из рав-ва α1х1+…+ αnхn=0 => α1=…=αn=0
Теорема.
В-ры х1,..., хn линейны <=>один из в-ров раскладыв. по остальным.
Базисом лин. пр-ва назыв. упорядоченная сист. в-ров, если она: – лнз; – любой в-р пр-ва по ней раскладывается.
Пример:
L – мн-во многочленов от одной переменной, степень кот. не превосходит n.
Pn(x)=a0+a1x+ a2x2+…+ anxn. ai є R. Линейное пр-во 1; x; x2;…;xn – ЛНЗ.
α0+ αх+ α2х2+…+ αnхn ó α0= α1=…= αn=0.
Любой многочлен Pn рассм. по этой сист. а корд.a0, a1,…, an.
Лин. пр-во, в кот. сущ. базис из n-в-в, назыв. n-мерным пр-вом.
Число n – размерность пространства. n=dim(L)
В n-мерном пр-ве любая сист. из m в-ров линейнозависима, если m>n.
Док-во
Базис e1, e2,…,en. Рассм. f1,..., fm, m>n.
Каждый из в-в fi разложим по базису e1, e2,…,en и сост. матрицу из корд. столбцов. (n x m). Ранг этой матрицы не превосходит n => столбцы матрицы линейнозав., чтд.
Теорема2.Теорема3.
В n-мерном пр-ве каждая упорядоченная сист.из n ЛНЗ В n-мерном пр-ве любую упорядоч. ЛНЗ сист.из k<n в-ров можно
в-в образует базис. доп. до базиса.
Замена базиса. Матрица перехода. Связь между координатами одного и того же вектора в разных базисах.
Матрица, столбцы кот. явл. корд. столбцами в-в е/ в базисе е, наазыв. матрицей перехода от базиса е к базису е/
