Минор. Алгебраическое дополнение. Теорема о разложении определителя по строке(столбцу). Определитель треугольной матрицы

Выберем k строк и k столбцов. Тогда на пересечении выбранных строк и столбоцв стоит матрица порядка k, определитель этой матрицы назыв. минором k-го порядка.

Пример:

2 1 -1 3

2 3 2 4 5

7 0 2 5

4 6 2 1 -1

2 3

-6

k=2 k=1, М₁=а_ij k=3 1 -1 3

M₂=

2 4 M₃ = 2 4 5 = 32

2 1 0 2 5

1 -1 3

M₁=a₃₁=7. Доп. M^/₁= 2 4 5 = -39

2 1 -1

Пусть мы выбрали минор порядка k, тогда на оставшихся строках и столбцах стоит матрица MN-k. Тогда определитель назыв. дополнительным минором.

Доп. М= M^/₁= 2 3 = -11

7 5

Пусть минор М_k – расположен в строках с номерами i1, i2,...,ik и столбцах с номерами j1, j2,…,jk, тогда алгеброическое дополнение минора М_k, назыв. его доп. минор M_k, умноженный на (-1)^i1+...+^ik⁺^j^1+…+^jk.

Пример:

7 2 5 M₁=a₁₂=2 M₁=a_ij, А_ij=(-1)^i+j

-1 2 3 A₁₂=(-1)¹⁺²= -1 3 = 13

4 5 1 4 1

Теорема:

a₁₁a₁₂… a_1n

a₂₁a₂₂… a_2n

_{..........................}

a_n₁a_n₂… a_nn

Определитель d – равен сумме произведения всех произвольных элем. его строки на их алгеброическое дополнение.

d=a_i1A_i1+ a_i2A_i2+…+ a_inA_in.

Док-во:

Раасм. произведение a_i₁A_i_1;a_i₂A_i₂;...; a_inA_i_n. Все члены определителя, входящие в произведение a_i₁A_i₁, сод. из i-той строки элем. a_i₁ и поэтому отлич. от членов, входящих в произвед a_i₁A_i₁, и т.д. => никакой член d неможет входить в сост. 2-х различ. произвед.

С др. стороны, общее число членов определителя, входящих во все произвед. = n(n-1)!=n!

Теорема Лопласа

Пусть в определителе d порядка n-произвольных выбрано k строк, тогда d = сумме произведений всех миноров k-го порядка, сод. в выбранных строках на их алгебраич. доп.

Пример:

-4 1 2 -2 1

0 3 0 1 -5

D = 2 -3 1 -1 0

-1 -1 3 -1 0

0 4 0 2 5

k=2, j₁=1, j₂=3

-4 2 3 1 -5 -4 2 3 1 -5 2 -1 1 -2 1

(-1)^1+3+1+3 2 1 -1 -1 0 + (-1)^{1+4+1+ 3} -1 3 -3 -3 1 + (-1)^3+4+1+3 -1 3 3 1 -5 = -1069

4 2 5 4 2 5 4 2 5

Определитель треугольной матрицы

Ia₁₁a₁₂… a_1na₁₁0 … 0 d=a₁₁*a₂₂*…*a_nn

0 a₂₂… a_2na₁₁a₁₂… a_1n0 инверсий

_{....................................................}

0 0 … a_nn a_n1a_n2… a_nn

II0 0…….a_1nЕдиничный ненулевой член a_n1*a_n2* … *a_n1

0 0…a₂₂a_2n1 2 3... n-1 n число инверсий: (n-1)+(n-2)+…+2+1=S

_{.........................}n n-1 n-2… 2 1 S_n-1=(a₁+a_n-1(n-1))/2=n(n-1)/2

a_n1a_n2… a_nn d=(-1)^n(n-1)/2*a_1n*a_2n-1*…*a_n1.

Системы линейных уравнений. Метод Гаусса последовательного исключения неизвестных.

α_{1 __}β_{1 __ _ _}α₁ + β_{1 _ _}λα₁

: = α n-мерный вектор: = β α + β=: λα =:

α_n β_n α_n + β_n λα_n

Векторное пространство – совокупность n-мерных в-в с действ. комп., рассм. с определенными в ней операциями сложения в-в и умножения в-ра на число.

Сист. в-в α_1,..., α_s назыв. линейно зависимой, если сущ. числа k_1,…, k_s (k₁²+...+ k_s²≠0),

k₁α₁+...+ k_sα_s=0.

Сист. в-в α_1,..., α_s назыв. линейно независимой, если из рав-ва k₁α₁+...+ k_sα_s=0 => k₁=…=k_s.

В-р β назыв. линейной комбинацией в-в α_1,..., α_s, если сущ. числа k_1,…, k_s: β= k₁α₁+...+ k_sα_s.

Сист. в-в β_1,…, β_s, линейно выражаются через сист. α_1,..., α_s, если любое β_i(i=1;..;s) явл. лин. комб. в-в α_1,..., α_s.

2-е сист.в-в назыв. эквивалентными, если каждая из них выражается через другую.

Метод Гауса (метод последовательного исключения неизвестных)

а₁₁х₁+ а₁₂х₂+...+ а₁_nх_n=b₁а₁₁а_{12 …}а₁_n b₁

а₂₁х₁+ а₂₂х₂+...+ а₂_nх_n=b₂а₂₁а_{22 …}а₂_n b₂

…………………………. ………………...

а_m₁х₁+ а_m₂х₂+...+ а_mnх_n=b_m а_m₁а_m_{2 …}а_mn b_m

Путем строчных преобразований приводим матрицу к треугольному виду. Под строчными преобразованиями понимаем следующее: умножение на число отличное от 0, складывать, менять местами, вычитание.

Пример:

2х₁+ х₂+6х₃=6 2 1 6 6 1 1 6 7 1 1 6 7 1 1 6 7

3х₁+2х₂+8х₃=3 3 2 8 3 ~ 3 2 8 9 -3I ~ 0 -1 -10 -12 ~ 0 -1 -10 -12

х₁+х₂+6х₃=7 1 1 6 7 2 1 6 6 -2I 0 -1 -6 -8 -I I 0 0 4 4

х₁+х₂+6х₃=7 х₁=-1

-х₂-10х₃= -12 х₂=2

4х₃=4 х₃=1

Пример:

2х₁+7х₂+3х₃+х₄=6 2 7 3 1 6 -II -1 2 1 -1 2 -1 2 1 -1 2 r=2

3х₁+5х₂+2х₃+2х₄=4 3 5 2 2 4 3 5 2 2 4 +3I ~ 0 11 5 -1 10 n=4

9х₁+4х₂+х₃+х₄=2 9 4 1 1 2 -3II 0 -11 -5 1 -10 0 -11 -5 1 -10 n-r=2

х₁, х₂ – базисные неизвестные; х₃=с₃; х₄=с₄– свободные.

11х₂+5х₃-х₄=10; х₂=(10-5с₃+с₄)/11=10/11-5с₃/11+с₄/11; х₁-2х₂-х₃-х₄= -2

х₁=2(10/11-5с₃/11+с₄/11)+с₃-с₄-2= -2/11+с₃/11-9с₄/11

Частные

х₁-2/11+ с₃/11+9с₄/11 -2/11 1 -9 х₁= -2/11

х₂10/11-5с₃/11+с₄/11 10/11 -5 1 х₂=10/11

х₃с₃0 11 -9 х₃=0

х₄с₄0 0 11 х₄=0

Правило Крамера.

а₁₁х₁+ а₁₂х₂+...+ а₁_nх_n=b₁а₁₁а_{12 …}а₁_n

а₂₁х₁+ а₂₂х₂+...+ а₂_nх_n=b₂а₂₁а_{22 …}а₂_n

…………………………. ……………

а_n₁х₁+ а_n₂х₂+...+ а_nnх_n=b_n а_n₁а_n_{2 …}а_n_n

Теорема.

Сист. урав. при d≠0 имеет единственное решение и его можно найти по формулам:

x_j=d_j/d; j=1,…,n

а_{11 …}b_{1 …}а₁_n

а_{21 …}b_{2 …}а₂_n

………………

а_{11 …}b_{1 …}а₁_n

_n Σ a_ij ^j=1

_n Σ x_j ^j=1

Док-во:

_n Σ a_nj ^j=1

_{n m} Σ Σ a_ij ^{j=1 i=1}

_m_n Σ Σ a_ij ^{i=1 j=1}

Обознач. х₁+ х₂+...+ х_n= a_i₁+a_i₂+…+a_in=

_n Σ a_2j ^j=1

_n Σ a_1j ^j=1

+ + … + = =

_{n n} Σ da_ij = d Σ a_ij ^{i=1 i=1}

Общий множитель, не зависящий от знака суммирования, можно выносить за знак Σ:

1) Предположим, что сист. совместна и α₁, α₂,...,α_n – одно из её решений.

а₁₁α₁+ а₁₂α₂+...+ а₁_nα_n=b₁*A₁_j A_ij – алгеброическое дополнение элемента a_ij

а₂₁α₁+ а₂₂α₂+...+ а₂_nα_n=b₂*A₂_j

…………………………. +

а_n₁α₁+ а_n₂α₂+...+ а_nnα_n=b_n *A_nj

A₁_j(а₁₁α₁+ а₁₂α₂+...+ а₁_nα_n)= b₁A₁_j

A_2j (а₂₁α₁+ а₂₂α₂+...+ а_2nα_n)= b₂A_2j

_{…………………………………………………}+

A_nj (а_n1α₁+ а_n2α₂+...+ а_nnα_n) = b_n A_nj

_n Σ A_nj a_ij ^j=1

α₁

(A_1ja₁₁+ A_1jа₂₁+...+ A_njа_n1)+ α₂(A_1ja₁₂+ A_1jа₂₂+...+ A_njа_n2)+…+ α_n(A_1ja_1n+ A_1jа_2n+...+ A_njа_nn)= =A_1jb₁+ A_1jb₂+...+ A_njb_nj

d, если k=i,

= A_n₁ a_i₁+ A_n₂ a_i₂+…+ A_nn a_in = 0, если k≠i. Слева только одно нулевое слагаемое.

α_jd=d_j Любое j=1,…,n => α_j=d_j/d

а_{11 …}b_{1 …}а₁_n

d_j = A_1jb₁+ A_1jb₂+...+ A_njb_nj

d_j =

а_{21 …}b_{2 …}а₂_n

………………

а_{11 …}b_{1 …}а₁_n

2) Докажем, что сист. совместима, т.е. числа α_j=d_j/d (j=1,..,n) обращают каждое урав. сист. в тождество.

_{n n n n n n n} Σ A_nj a_ij = Σ d_j/d a_ij = 1/d Σ d_j a_ij = 1/d Σ a_ij Σ b_kA_kj = 1/d ΣΣ a_ijb_kA_kj = ^{j=1 j=1 j=1 j=1 k=1 j=1k=1}

Выберем любое i-е урав. (i=1,..,n) и подставим α₁=d₁/d;...; α_j=d_j/d;...; α_n=d_n/d.

_n_{n n n} = 1/d ΣΣ a_ijb_kA_kj= 1/d Σ b_k Σa_ijA_kj=1/d b_id = b_i = ^k⁼¹^{j=1 k}⁼¹^j=1

а_i1α₁+ а_i2α₂+...+ а_inα_n=

d, k=i

0, k≠i