Минор. Алгебраическое дополнение. Теорема о разложении определителя по строке(столбцу). Определитель треугольной матрицы

Выберем k строк и k столбцов. Тогда на пересечении выбранных строк и столбоцв стоит матрица порядка k, определитель этой матрицы назыв. минором k-го порядка.

Пример:

2 1 -1 3

2 3 2 4 5

7 0 2 5

4 6 2 1 -1

2 3

-6

k=2 k=1, М₁=а_ij k=3 1 -1 3

M2=

2 4 M₃ = 2 4 5 = 32

2 1 0 2 5

1 -1 3

M₁=a₃₁=7. Доп. M^/₁= 2 4 5 = -39

2 1 -1

Пусть мы выбрали минор порядка k, тогда на оставшихся строках и столбцах стоит матрица MN-k. Тогда определитель назыв. дополнительным минором.

Доп. М= M^/₁= 2 3 = -11

7 5

Пусть минор М_k – расположен в строках с номерами i1, i2,...,ik и столбцах с номерами j1, j2,…,jk, тогда алгеброическое дополнение минора М_k, назыв. его доп. минор M_k, умноженный на (-1)^{i1+...+ik+j1+…+jk}.

Пример:

7 2 5 M₁=a₁₂=2 M₁=a_ij, А_ij=(-1)^i+j

-1 2 3 A₁₂=(-1)¹⁺²= -1 3 = 13

4 5 1 4 1

Теорема:

a₁₁ a₁₂ … a_1n

d=

a₂₁ a₂₂ … a_2n

_{..........................}

a_n1 a_n2 … a_nn

Определитель d – равен сумме произведения всех произвольных элем. его строки на их алгеброическое дополнение.

d=a_i1A_i1+ a_i2A_i2+…+ a_inA_in.

Док-во:

Раасм. произведение a_i1A_i1; a_i2A_i2;...; a_inA_in. Все члены определителя, входящие в произведение a_i1A_i1, сод. из i-той строки элем. a_i1 и поэтому отлич. от членов, входящих в произвед a_i1A_i1, и т.д. => никакой член d неможет входить в сост. 2-х различ. произвед.

С др. стороны, общее число членов определителя, входящих во все произвед. = n(n-1)!=n!

Теорема Лопласа

Пусть в определителе d порядка n-произвольных выбрано k строк, тогда d = сумме произведений всех миноров k-го порядка, сод. в выбранных строках на их алгебраич. доп.

Пример:

-4 1 2 -2 1

0 3 0 1 -5

D = 2 -3 1 -1 0

-1 -1 3 -1 0

0 4 0 2 5

k=2, j₁=1, j₂=3

-4 2 3 1 -5 -4 2 3 1 -5 2 -1 1 -2 1

(-1)^1+3+1+3 2 1 -1 -1 0 + (-1)^{1+4+1+ 3} -1 3 -3 -3 1 + (-1)^3+4+1+3 -1 3 3 1 -5 = -1069

4 2 5 4 2 5 4 2 5

Определитель треугольной матрицы

Ia₁₁ a₁₂ … a_1n a₁₁ 0 … 0 d=a₁₁*a₂₂*…*a_nn

d=

0 a₂₂ … a_2n a₁₁ a₁₂ … a_1n 0 инверсий

_{....................................................}

0 0 … a_nn a_n1 a_n2 … a_nn

II0 0…….a_1n Единичный ненулевой член a_n1*a_n2* … *a_n1

d=

0 0…a₂₂ a_2n 1 2 3... n-1 n число инверсий: (n-1)+(n-2)+…+2+1=S

_{.........................} n n-1 n-2… 2 1 S_n-1=(a₁+a_n-1(n-1))/2=n(n-1)/2

a_n1 a_n2 … a_nn d=(-1)^n(n-1)/2*a_1n*a_2n-1*…*a_n1.

 

Системы линейных уравнений. Метод Гаусса последовательного исключения неизвестных.

α_{1 __} β_{1 __ _ _} α₁ + β_{1 _ _} λα₁

: = α n-мерный вектор: = β α + β=: λα =:

α_n β_n α_n + β_n λα_n

Векторное пространство – совокупность n-мерных в-в с действ. комп., рассм. с определенными в ней операциями сложения в-в и умножения в-ра на число.

Сист. в-в α_1,..., α_s назыв. линейно зависимой, если сущ. числа k_1,…, k_s (k₁²+...+ k_s²≠0),

k₁α₁+...+ k_sα_s=0.

Сист. в-в α_1,..., α_s назыв. линейно независимой, если из рав-ва k₁α₁+...+ k_sα_s=0 => k₁=…=k_s.

В-р β назыв. линейной комбинацией в-в α_1,..., α_s, если сущ. числа k_1,…, k_s: β= k₁α₁+...+ k_sα_s.

Сист. в-в β_1,…, β_s, линейно выражаются через сист. α_1,..., α_s, если любое β_i(i=1;..;s) явл. лин. комб. в-в α_1,..., α_s.

2-е сист.в-в назыв. эквивалентными, если каждая из них выражается через другую.

Метод Гауса (метод последовательного исключения неизвестных)

а₁₁х₁+ а₁₂х₂+...+ а_1nх_n=b₁ а₁₁ а_{12 …} а_1n b₁

а₂₁х₁+ а₂₂х₂+...+ а_2nх_n=b₂ а₂₁ а_{22 …} а_2n b₂

…………………………. ………………...

а_m1х₁+ а_m2х₂+...+ а_mnх_n=b_m а_m1 а_{m2 …} а_mn b_m

Путем строчных преобразований приводим матрицу к треугольному виду. Под строчными преобразованиями понимаем следующее: умножение на число отличное от 0, складывать, менять местами, вычитание.

Пример:

2х₁+ х₂+6х₃=6 2 1 6 6 1 1 6 7 1 1 6 7 1 1 6 7

3х₁­+2х₂+8х₃=3 3 2 8 3 ~ 3 2 8 9 -3I ~ 0 -1 -10 -12 ~ 0 -1 -10 -12

х₁­+х₂+6х₃=7 1 1 6 7 2 1 6 6 -2I 0 -1 -6 -8 -I I 0 0 4 4

х₁­+х₂+6х₃=7 х₁=-1

-х₂-10х₃= -12 х₂=2

4х₃=4 х₃=1

Пример:

2х₁+7х₂+3х₃+х₄=6 2 7 3 1 6 -II -1 2 1 -1 2 -1 2 1 -1 2 r=2

3х₁+5х₂+2х₃+2х₄=4 3 5 2 2 4 3 5 2 2 4 +3I ~ 0 11 5 -1 10 n=4

9х₁+4х₂+х₃+х₄=2 9 4 1 1 2 -3II 0 -11 -5 1 -10 0 -11 -5 1 -10 n-r=2

х₁, х₂ – базисные неизвестные; х₃=с₃; х₄=с₄ – свободные.

11х₂+5х₃-х₄=10; х₂=(10-5с₃+с₄)/11=10/11-5с₃/11+с₄/11; х₁-2х₂-х₃-х₄= -2

х₁=2(10/11-5с₃/11+с₄/11)+с₃-с₄-2= -2/11+с₃/11-9с₄/11

Частные

х₁ -2/11+ с₃/11+9с₄/11 -2/11 1 -9 х₁= -2/11

х₂ 10/11-5с₃/11+с₄/11 10/11 -5 1 х₂=10/11

х₃ с₃ 0 11 -9 х₃=0

х₄ с₄ 0 0 11 х₄=0

Правило Крамера.

а₁₁х₁+ а₁₂х₂+...+ а_1nх_n=b₁ а₁₁ а_{12 …} а_1n

а₂₁х₁+ а₂₂х₂+...+ а_2nх_n=b₂ а₂₁ а_{22 …} а_2n

…………………………. ……………

а_n1х₁+ а_n2х₂+...+ а_nnх_n=b_n а_n1 а_{n2 …} а_nn

Теорема.

Сист. урав. при d≠0 имеет единственное решение и его можно найти по формулам:

x_j=d_j/d; j=1,…,n

 

а_{11 …} b_{1 …} а_1n

а_{21 …} b_{2 …} а_2n

………………

а_{11 …} b_{1 …} а_1n

n Σ aij j=1

n Σ xj j=1

j

Док-во:

n Σ anj j=1

n m Σ Σ aij j=1 i=1

m n Σ Σ aij i=1 j=1

Обознач. х₁+ х₂+...+ х_n= a_i1+a_i2+…+a_in=

n Σ a2j j=1

n Σ a1j j=1

+ + … + = =

 

n n Σ daij = d Σ aij i=1 i=1

Общий множитель, не зависящий от знака суммирования, можно выносить за знак Σ:

 

1) Предположим, что сист. совместна и α₁, α₂,...,α_n – одно из её решений.

а₁₁α₁+ а₁₂α₂+...+ а_1nα_n=b₁ *A_1j A_ij – алгеброическое дополнение элемента a_ij

а₂₁α₁+ а₂₂α₂+...+ а_2nα_n=b₂ *A_2j

…………………………. +

а_n1α₁+ а_n2α₂+...+ а_nnα_n=b_n *A_­nj

A_{1j ­}(а₁₁α₁+ а₁₂α₂+...+ а_1nα_n)= b₁A_1j

A_2j (а₂₁α₁+ а₂₂α₂+...+ а_2nα_n)= b₂A_2j

_{…………………………………………………} +

A_­nj (а_n1α₁+ а_n2α₂+...+ а_nnα_n) = b_n A_­nj

n Σ A­nj aij j=1

α₁ (A_1ja₁₁+ A_1jа₂₁+...+ A_njа_n1)+ α₂(A_1ja₁₂+ A_1jа₂₂+...+ A_njа_n2)+…+ α_n(A_1ja_1n+ A_1jа_2n+...+ A_njа_nn)= =A_1jb₁+ A_1jb₂+...+ A_njb_nj

d, если k=i,

= A_­n1 a_i1 + A_­n2 a_i2 +…+ A_­nn a_in = 0, если k≠i. Слева только одно нулевое слагаемое.

 

αjd=dj Любое j=1,…,n => αj=dj/d

а_{11 …} b_{1 …} а_1n

dj = A1jb1+ A1jb2+...+ Anjbnj

dj =

а_{21 …} b_{2 …} а_2n

………………

а_{11 …} b_{1 …} а_1n

j

2) Докажем, что сист. совместима, т.е. числа α_j=d_j/d (j=1,..,n) обращают каждое урав. сист. в тождество.

n n n n n n n Σ A­nj aij = Σ dj/d aij = 1/d Σ dj aij = 1/d Σ aij Σ bkAkj = 1/d ΣΣ aijbkAkj = j=1 j=1 j=1 j=1 k=1 j=1k=1

Выберем любое i-е урав. (i=1,..,n) и подставим α₁=d₁/d;...; α_j=d_j/d;...; α_n=d_n/d.

 

n n n n = 1/d ΣΣ aijbkAkj = 1/d Σ bk ΣaijAkj =1/d bid = bi = k=1j=1 k=1 j=1

а_i1α₁+ а_i2α₂+...+ а_inα_n=

 

d, k=i

0, k≠i