Залежність між тригонометричними функціями одного й того самого аргументу

sin² α + cos² α = l – основна триго­нометрична тотожність.

З цієї формули можна виразити sin α через cos α і навпаки:

За означенням тангенса і котангенса:

 

Перемноживши ці рівності, одержимо · = l

З цієї рівності можна виразити tg α через ctg α і навпаки:

Розділимо ліву і праву частину рівності sіn² α + соs² α = 1 на соs²α ≠ 0:

, де де

Розділимо ліву і праву частину рівності sіn² α + соs² α = 1 на sіn² α ≠ 0:

, де

Тригонометричні функції подвійного аргументу.

Тригонометричні функції подвійного аргументу виражають тригонометричні функції аргументу 2 через функції аргумента .

Із формули при , маємо:

Аналогічно із формули при одержуємо:

Якщо замінити за допомогою основної тригонометричної тотожності функцію на або на , то матимемо ще дві формули для

Із формули при , маємо:

 

Формули зведення.

Формулами зведення називаються співвідношення, за допомогою яких значення тригонометричних функцій аргументів , виражаються через функції кута α.

Для того щоб записати будь-яку з них, можна користуватися таким прави­лом:

1) В правій частині формули ставиться той знак, який має ліва частина при умові 0 < α < .

2) Якщо в лівій частині формули кут дорівнює ± α, ± α, то синус замінюється на косинус, тангенс — на котангенс і на­впаки. Якщо кут дорівнює π ± α, то заміна не виконується.

Наприклад: ;

За допомогою формул зведення знаходження значень тригонометричних функцій будь-якого кута можна звести до знаходження тригонометричних функцій гострого кута.

 

Тригонометричні рівняння. Розв’язування рівняння.

Рівняння, які містять змінну лише під знаком тригонометричної функції, називаються тригонометричними рівняннями.

Арксинусом числа називається таке число (кут) із проміжку , синус якого дорівнює .

Рівняння.

Якщо , то рівняння не має розв´язків, оскільки для будь – якого .

Якщо , то враховуючи те, що синус – це ордината точки одиничного кола, маємо: ординату, рівну , мають дві точки одиничного кола:

Враховуючиперіодичність , маємо:

Ці дві формули можна записати у вигляді однієї формули:

При парному маємо , при непарному .

 

Тригонометричні рівняння. Розв’язування рівняння.

Рівняння, які містять змінну лише під знаком тригонометричної функції, називаються тригонометричними рівняннями.

Арккосинусом числа називається таке число (кут) із проміжку , косинус якого дорівнює .

Рівняння.

Якщо , то рівняння не має розв´язків, оскільки для будь – якого .

Якщо , то враховуючи те, що косинус – це абсциса точки одиничного кола, маємо: абсцису, рівну , мають дві точки одиничного кола:

Враховуючиперіодичність , дістанемо множину розв´язків рівняння :