Метод комплексных амплитуд

Представив ток в комплексной форме, получим вы­ражение э. д, с. взаимной индукцни для случая соглас­ного направления токов в комплексной форме:-M(d/dt)I*_me^jωt=-jωMI*_me^jωt_;

откуда комплексное действующее значение э. д. с, вза­имной индукции E*_M­=-jωMI*;

и соответственно падение напряжения от взаимной ин­дукции U*_M­=jωMI*;

где jωM – комплексное сопротивление взаимной нндукции; в радиотехнике его называют сопротивлением связи.

Комплексные напряжения, запишутся так:

Отсюда, между прочим, вытекает следующий способ нахождения взаимной индуктивности М: если через х _согобозначить индуктивное сопротивление цепи при соглас­ном направлении токов последовательно соединенных элементов, а через х _вст — то же при встречном направле­нии, т. е. положить

то в результате вычитания второго равенства из первого получим: M=(х_сог-х_вст)/4ω;

 

30. Коэфициент индуктивной связи.

Рассмотрим картину магнитного поля индуктивно связанных катушек.

В общем случае, когда по обеим катушкам проходят токи i₁ и i₂ магнитные потоки могут быть представлены как результат наложения потоков, создаваемых каждым током в отдельности.

При изменении токов i₁ и i₂ во времени изменяются также и потоки, создаваемые этими токами. Индуктив­ность каждой катушки, как известно, определяется отно­шением потокосцепления самоиндукции к току данной катушки.

L1=ω₁ф₁/ і₁ = ω₁ф_s1/ і₁ + ω₁ф_M1/ і₁

L2=ω₂ф₂/ і₂ = ω₂ф_s2/ і₂ + ω₂ф_M2/ і₂

выделенное назвается индуктивностями рассеяния ка­тушек.

Степень индуктивной связи двух катушек характери­зуется коэффициентом связи k, определяемым как среднее геометрическое из отношений потока взаимной индукции ко всему потоку катушки, т. е.

Если выразить потоки через параметры L1,L2,M, то получим:

k=√(M_i1ω₁/ω₂L₁i₁)(M_i2ω₂/ω₁L₂i₂)

или k=M/√L₁L₂

Из формулы видно, что коэффициент связи всегда меньше единицы (так как Ф_M1/Ф₁<1 и Фм₂/Ф₂<1) Коэффициент связи возрастает с уменьшением по-токов рассеяния Ф_S1 и Ф_S2.

и соответственно ur = ri~

31. Закон комутации, принуждённый и свободный ркжим.

Запас энергии магнитного или электрического поля может может изменяться только плавно без скачков выражают принцип непрерывности во времени потокосцепления индуктивности и электрического заряда емкости и называется законами коммутации.

Невозможность скачкообразного изменения потокосцепления следует из того что в противном случае на индуктивности появилось бы большое напряжение U_L= , что лишено физического смысла.

Ввиду равенства ψ=Li принцип непрерывности потокосцепления означает, что при неизменной L ток i не может изменяться скачком.В начальный момент после коммутации ток в индуктивности остаётся таким же, каким он был непосредственно перед коммутацией, а затем плавно изменяется.

Аналогично невозможность скачкообразного изменения электрического заряда q следует из того, что

В противном случае через ёмкость проходил бы бесконечно большой ток i_с= , что также лишено физического смысла.Ввиду равенства q= Сu_c принцип непрерывности электрического заряда означает, что при неизменном С напряжение U_c не может изменятся скачком.Итак в начальный момент после коммутации напряжение на ёмкости остаётся таким же каким оно было непосредственно перед коммутацией, а затем плавно изменяется.

При этом следует отметиь что в цепях с идеализированными сосредоточенными параметрами скачкообразно могут изменяться: 1)токи в сопротивлениях и емкостях и 2) напряжения на сопротивлениях и индуктивностях.

Значения тока в индуктивности и напряжения на емкости в момент коммутации называют независимыми начальными условиями.

Обычно принимают что коммутация происходит в момент времени t=0; тогда ток в индуктивности и

Напряжение на емкости в момент времени непосредственно перед коммутацией обозначается через

i_L(0) и u_c(0).

На основании законов коммутации: i_L(0-)=i_L(0); эти равенства выражают начальные условия цепи,

u_c(0-)=u_c(0).

В которых происходит коммутация.

При нулевых начальных условиях, т.е. когда i_L(0-)=0 и u_c(0-)=0 индуктивность равносильна после коммутации разрыву а емкость замыканию.

В случае ненулевых начальных условиях i_L(0-) 0 и u_c(0-) 0 индуктивность в первый момент равносильна источнику тока i_L(0), а ёмкость равносильна источнику э.д.с. u_c(0).

При расчёте переходных процессов в разветвлённых электрических цепях наряду с независимыми условиями используются так называемые зависимые начальные условия, а именно: значения токов, напряжений и их производных в начальный момент времени (t=0).

Существуют случаи коммутации, при которых неизбежно между контактами возникает искра или дуга.

Рис (а.

До коммутации ток проходил через индуктивность L₁ и контакт шунтирующий индуктивность L₂; ток в L₂ равен 0.В момент t=0 контакт размыкается и индуктивности L₁ и L₂ оказываются включеннами последовательно, ток в них принудительно становится одинаковым. Поскольку в момент коммутации ток в L₁ не изменяется, а ток в L₂ равен нулю, то в силу первого закона Кирхгофа ток должен замкнуться и через межвитковую ёмкость.После быстрого погасания дуги токи в L₁ и L₂ уравниваются.Эта стадия переходного процесса протекает столь быстро что ею практически можно пренебречь считая что токи в L₁ и L₂ уравниваются мгновенно. Именно в этом смысле можно говорить о скачкообразном изменении токов.При этом для расчёта переходного процесса используется принцип непрерывности

Суммарного потокосцепления при коммутации, т.е. L₁i(0-)=(L₁+L₂)i(0).При новых значениях токов в L₁ и L₂ магнитная энергия запасённая в катушках, будет меньше энергии запасённой в катушке до коммутации.Часть энергии превратится в тепло в искре, а также излучится.

Принуждённый и свободный режимы.

В общем случае анализ переходного процесса в линейной цепи с сосредоточенными параметрами r,L,C и М сводится к решению обыкновенных линейных неоднородных дифференциальных уравнений, выражающих зак-ы Кирхгофа. Эти Ур-я представляют собой линейную

комбинацию напряжений токов их первых производных и интегралов во времени.

Например, если какая-нибудь э.д.с. e(t) включается в цепь состоящую из последовательно соединённых r,L,C то интегродифференциальное уравнение имеет вид:

ri+L + =e(t) Это уравнение после дифференцирования приводится к неоднородному дифференциальному уравнению второго порядка

Как известно общий интеграл такого уравнения равен сумме частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения.

Общее решение физически определяет поведение цепи при отсутствии внешних источников электрической энергии и заданных начальных условиях.Функции определяемые общим решением, называются свободными составляющими.В этом случае однородное Ур-е имеет вид: