Равномерная сходимость функционального ряда

 

Для каждого заданного значения из области сходимости функционального ряда (1) , где – п -ый остаток ряда (1). По определению предела последовательности это означает, что для любого числа можно указать номер , такой, что для всех номеров и данного выполняется неравенство . Номер зависит не только от выбора числа , но, вообще говоря, и от выбора точки .

Определение. Если для любого числа можно указать номер такой, что для всех номеров и всех из некоторого множества выполняется неравенство , то ряд (1) называется равномерно сходящимся на множестве .

Геометрически определение равномерной сходимости иллюстрируется рисунком.

Равномерно сходящиеся функциональные ряды обладают следующими общими свойствами.

Теорема 1. Если члены равномерно сходящегося ряда (1) непрерывны на множестве , то его сумма также непрерывна на .

Теорема 2. Если на отрезке :

а) члены ряда (1) непрерывны;

б) ряд (1) равномерно сходится,

то его сумма интегрируема на , и выполняется равенство

 

. (3)

 

В этом случае говорят, что ряд (1) можно интегрировать почленно на отрезке .

Теорема 3. Если на отрезке :

а) ряд (1) сходится;

б) его члены имеют непрерывные производные;

в) ряд из производных равномерно сходится,

то сумма ряда (1) дифференцируема на , и выполняется равенство

. (4)

 

В этом случае говорят, что ряд (1) можно дифференцировать почленно на отрезке .

Значение перечисленных свойств состоит в том, что для равномерно сходящихся функциональных рядов оказываются справедливыми свойства сумм конечного числа функций: «сумма непрерывных функций непрерывна», «производная суммы равна сумме производных», «интеграл от суммы равен сумме интегралов». К рядам, сходящимся неравномерно, эти свойства применять, вообще говоря, нельзя.

 

Степенные ряды

 

Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

 

, (5)

 

где – некоторое заданное число. Постоянные числа , называются коэффициентами степенного ряда (5).

Ряд (5) называют также рядом по степеням двучлена .

При имеем ряд по степеням :

 

. (6)

 

Степенной ряд общего вида (5) всегда можно привести к виду (6) заменой двучлена , поэтому далее будем рассматривать степенные ряды вида (6) (по степеням ).

Очевидно, что любой ряд вида (6) сходится при .

Теорема 4 (Абель). Если ряд (6) сходится в точке , то он сходится, притом абсолютно, во всех точках таких, что . Если ряд (6) расходится в точке , то он расходится во всех точках таких, что .

Теорема 5. Областью сходимости степенного ряда (6) является некоторый промежуток с включёнными или невключёнными концами и центром в точке . На интервале ряд сходится абсолютно, вне промежутка – расходится.

Определение. Интервал , определённый в теореме 5, называется интервалом сходимости степенного ряда (6), а число – его радиусом сходимости.

Интервал сходимости можно записать в виде неравенства .

Замечание. Замена на двучлен даёт интервал сходимости степенного ряда общего вида (5): , или .

Если степенной ряд (6) сходится при любом значении , то его интервалом сходимости является вся числовая ось (ниже пример 3). В этом случае записывают . В другом крайнем случае, когда является единственной точкой сходимости, полагают (ниже пример 4); интервал сходимости тогда вырождается в точку . Таким образом, любой степенной ряд имеет свой радиус сходимости.

Вопрос. Как найти интервал и радиус сходимости?

Ответ. Если коэффициенты ряда (6) , то для нахождения интервала сходимости обычно пользуются признаком Даламбера в формулировке для абсолютной сходимости (см.), при условии, что .

Если коэффициенты ряда (6) , то радиус сходимости находится по формулам или .

Пример 2. Функциональный ряд является степенным рядом вида (6). Его интервал сходимости найден в примере 1. Получим то же с помощью признака Даламбера. При для сходимости. Радиус сходимости .

Пример 3. Найти интервал сходимости ряда

 

(). (7)

Имеем: , следовательно, интервал сходимости ряда (7) – вся числовая ось .

Пример 4. Найти радиус сходимости ряда

 

.

 

Имеем . Данный ряд сходится только при .

Вопрос. Каково поведение степенного ряда (6) на концах его интервала сходимости при ?

Ответ. Поведение степенных рядов (6) на концах интервала сходимости может быть различным: в точках ряд может расходиться или сходиться, абсолютно или условно. Поэтому интервал сходимости степенного ряда не всегда совпадает с его областью сходимости? Если в задаче предлагается найти именно область сходимости, то после нахождения интервала сходимости обязательно требуется выполнить исследование ряда на сходимость в концах интервала.

Теорема 6. Степенной ряд (6) сходится равномерно на любом отрезке , целиком содержащемся внутри его интервала сходимости .

Из теорем 1 – 6 следуют общие свойства степенных рядов:

1. Сумма степенного ряда непрерывна внутри его интервала сходимости.

2. Степенной ряд можно почленно интегрировать по любому промежутку, лежащему внутри его интервала сходимости.

3. Степенной ряд можно почленно дифференцировать в любой точке, лежащей внутри его интервала сходимости.

4. При почленном интегрировании или дифференцировании степенного ряда радиус сходимости не изменяется.

Из свойства 3 следует также

5. В своём интервале сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать любое число раз. Говорят поэтому, что сумма степенного ряда есть функция, бесконечно дифференцируемая на его интервале сходимости.