Числовые ряды
Определение числового ряда и его суммы
Образуем из элементов числовой последовательности символ суммы
(1)
Определение. Выражение (1) называется числовым рядом.
Число называется первым членом ряда (1),
– вторым членом; выражение
называется общим членом ряда (1). Ряд считается заданным, если задана формула его общего члена. Чтобы определить, скажем, пятый член ряда, требуется подставить
в формулу общего члена. Это позволяет кратко записывать ряд (1) с помощью символа суммирования в виде
.
Как правило, первый член ряда имеет номер , хотя ряд может начинаться и с любого другого члена последовательности
.
Определение. Сумма первых
членов ряда (1) называется его n- ой частичной суммой.
Величины ,
,…,
,… образуют последовательность
частичных сумм ряда (1).
Определение. Если при существует конечный предел
последовательностичастичных сумм ряда (1), то ряд (1) называется сходящимся, число
называется суммой ряда (1), и записывают тогда:
. Если
не существует (в частности, бесконечен), то ряд (1) называется расходящимся. Для расходящегося ряда понятие суммы не определено.
Пример 1. Ряд . Его
-ая частичная сумма
при
. Ряд расходится.
Пример 2. Ряд . Частичная сумма
,
не существует. Ряд расходится.
Пример 3. Числовой ряд, составленный из членов геометрической прогрессии, называется геометрическим:
.
Здесь – первый член геометрической прогрессии,
– её знаменатель. С помощью известной формулы суммы
первых членов геометрической прогрессии
можно показать, что геометрический ряд сходится, если
, и его сумма равна
.
Простейшие свойства сходящихся рядов
Теорема 1 (о почленном умножении ряда на число). Если ряд сходится и имеет сумму
, то ряд
, где с – постоянная, также сходится и имеет сумму
.
Теорема 2 (о почленном сложении сходящихся рядов). Пусть числовые ряды и
сходятся и имеют суммы
и
соответственно. Тогда ряд
также сходится, и его сумма равна
.
Определение. Если у ряда (1) отбросить k первых членов, то получится новый ряд
, называемый k -ым остатком ряда (1).
Теорема 3. Ряд (1) и любой из его остатков либо одновременно сходятся, либо одновременно расходятся.
Таким образом, если в ряде отбросить, добавить или изменить конечное число членов, то сходимость (или расходимость) этого ряда не изменится. При этом если ряд сходился, то его сумма, вообще говоря, изменится.
Сумма k -го остатка сходящегося ряда обозначается . Для суммы сходящегося ряда справедливо равенство
. Отсюда следует, что если вычислить k -ую частичную сумму
сходящегося ряда и взять её в качестве приближённого значения суммы ряда S, то ошибка составит величину k -го остатка
. При этом имеем
.