Простейшие свойства сходящихся рядов

Числовые ряды

Определение числового ряда и его суммы

Образуем из элементов числовой последовательности символ суммы

 

(1)

 

Определение. Выражение (1) называется числовым рядом.

Число называется первым членом ряда (1), – вторым членом; выражение называется общим членом ряда (1). Ряд считается заданным, если задана формула его общего члена. Чтобы определить, скажем, пятый член ряда, требуется подставить в формулу общего члена. Это позволяет кратко записывать ряд (1) с помощью символа суммирования в виде .

Как правило, первый член ряда имеет номер , хотя ряд может начинаться и с любого другого члена последовательности .

Определение. Сумма первых членов ряда (1) называется его n- ой частичной суммой.

Величины , ,…, ,… образуют последовательность частичных сумм ряда (1).

Определение. Если при существует конечный предел последовательностичастичных сумм ряда (1), то ряд (1) называется сходящимся, число называется суммой ряда (1), и записывают тогда: . Если не существует (в частности, бесконечен), то ряд (1) называется расходящимся. Для расходящегося ряда понятие суммы не определено.

Пример 1. Ряд . Его -ая частичная сумма при . Ряд расходится.

Пример 2. Ряд . Частичная сумма , не существует. Ряд расходится.

Пример 3. Числовой ряд, составленный из членов геометрической прогрессии, называется геометрическим:

 

.

 

Здесь – первый член геометрической прогрессии, – её знаменатель. С помощью известной формулы суммы первых членов геометрической прогрессии можно показать, что геометрический ряд сходится, если , и его сумма равна .

Простейшие свойства сходящихся рядов

 

Теорема 1 (о почленном умножении ряда на число). Если ряд сходится и имеет сумму , то ряд , где с – постоянная, также сходится и имеет сумму .

Теорема 2 (о почленном сложении сходящихся рядов). Пусть числовые ряды и сходятся и имеют суммы и соответственно. Тогда ряд также сходится, и его сумма равна .

Определение. Если у ряда (1) отбросить k первых членов, то получится новый ряд , называемый k -ым остатком ряда (1).

Теорема 3. Ряд (1) и любой из его остатков либо одновременно сходятся, либо одновременно расходятся.

Таким образом, если в ряде отбросить, добавить или изменить конечное число членов, то сходимость (или расходимость) этого ряда не изменится. При этом если ряд сходился, то его сумма, вообще говоря, изменится.

Сумма k -го остатка сходящегося ряда обозначается . Для суммы сходящегося ряда справедливо равенство . Отсюда следует, что если вычислить k -ую частичную сумму сходящегося ряда и взять её в качестве приближённого значения суммы ряда S, то ошибка составит величину k -го остатка . При этом имеем .