Сходимость рядов с положительными членами

Определение. Числовой ряд называется рядом с положительными членами, если все его члены неотрицательны.

Теорема 5 (признак сравнения). Пусть даны два ряда с положительными членами:

 

(u) , (v) ,

 

причём члены ряда (u) не больше соответствующих членов ряда (v): , . Тогда

а) если ряд (v) сходится и имеет сумму , то ряд (u) также сходится, и его сумма ;

б) если ряд (u) расходится, то ряд (v) также расходится.

Замечание. Теорема 5 остаётся справедливой, если неравенство выполняется, начиная с некоторого номера .

Для сравнения обычно используют геометрический, гармонический и обобщённый гармонический ряды. Обобщённым гармоническим называется числовой ряд вида

 

, (2)

 

сходящийся при значениях параметра и расходящийся при (при он является гармоническим рядом).

Для доказательства сходимости некоторого заданного ряда с помощью признака сравнения нужно подобрать сходящийся ряд с бóльшими членами, а для доказательства расходимости – расходящийся ряд с мéньшими членами. Часто на помощь приходит теорема 1 о почленном умножении ряда на число.

Пример 6. Исследуем сходимость ряда . Поскольку при справедливо неравенство , то . Рассмотрим ряд . Он получен из сходящегося обобщённого гармонического ряда умножением на и, следовательно, сходится. По части а) признака сравнения исследуемый ряд сходится.

Теорема 6 (признак Даламбера). Если для ряда со строго положительными членами () существует конечный предел , то при данный ряд сходится, при – расходится.

Признак Даламбера удобно применять в тех случаях, когда общий член ряда содержит факториалы и показательные относительно номера функции.

Пример 7. Исследуем сходимость ряда . Имеем: , , , поэтому ряд сходится.

Замечание 1. Если , то ряд расходится.

Замечание 2. Если предел равен 1 или вовсе не существует, то ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся. Так, ряд сходится, а гармонический ряд расходится, хотя и в том, и в другом случае .

Теорема 7 (радикальный признак Коши). Если для ряда с положительными членами существует конечный предел , то при данный ряд сходится, при – расходится.

Радикальный признак Коши удобно применять в тех случаях, когда корень извлекается.

Пример 8. Исследуем сходимость ряда .

. Поскольку , то ряд сходится.

К радикальному признаку Коши можно сделать такие же замечания 1, 2, что и к признаку Даламбера.

Теорема 8 (интегральный признак Коши). Пусть функция непрерывна, положительна и не возрастает при . Тогда числовой ряд сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом .

С помощью интегрального признака доказывается, например, сходимость обобщённого гармонического ряда (2).

 

Знакопеременные ряды

Такое название носят числовые ряды, содержащие бесконечное множество как положительных, так и отрицательных членов. Частным случаем знакопеременных рядов являются знакочередующиеся ряды.

Определение. Знакочередующимся называется числовой ряд, у которого соседние члены имеют разные знаки.

Знакочередующийся ряд, у которого первый член положителен, обычно записывается в виде

 

, (3)

 

где – абсолютные величины членов ряда, .

Теорема 9 (признак Лейбница). Если члены знакочередующегося ряда (3) монотонно убывают по абсолютной величине: , и общий член ряда стремится к нулю при : , то ряд сходится, и его сумма удовлетворяет неравенству .

Пример 9. Исследуем сходимость знакочередующегося ряда .

Поскольку и для всех , то ряд сходится, и его сумма удовлетворяет неравенству .

Ряд, удовлетворяющий условиям теоремы 9, часто называют рядом Лейбница.

Следствие. k -ый остаток ряда Лейбница имеет знак своего первого члена и меньше его по абсолютной величине: .

Следствием пользуются при приближённых вычислениях с помощью рядов, так как оно позволяет легко определять количество слагаемых ряда (2) для приближённого вычисления его суммы. Если ряд не удовлетворяет условиям теоремы 9, сделать это значительно труднее.

Пример 10. Вычислить с погрешностью, не превосходящей , сумму ряда .

Очевидно, что ряд удовлетворяет условиям теоремы 9. Поскольку у этого ряда , то . Отбросив остаток из суммы ряда S, получим, что с точностью

 

.