ДУ n – порядка имеет вид: 
.
Если его можно разрешить относительно старшей n -й производной, то уравнение примет вид:
(*)
Далее будем рассматривать ДУ высших порядков типа (*).
Теорема (о существовании и единственности решения). Если в ДУ (*) функция f и ее частные производные по аргументам y, y’, …, y(n - 1) непрерывны в некоторой области, содержащей точку x = x0, y = y0, y’ = y’0, …, y (n - 1) = y0(n - 1), то существует и при том единственное решение уравнения (*), удовлетворяющее условиям
.
Рассмотрим уравнения высших порядков, допускающие понижения порядка.
1. Уравнение вида: 
(в уравнении нет y, y’, …, y ( n - 1))
Интегрируя по х левую и правую части получим
Снова интегрируем
И так далее
…
После n -интегрирований получим общее решение.
Пример.
Найти частное решение уравнения 
, удовлетворяющее начальным условиям 
– общее решение.
Для нахождения частного решения подставим начальные условия:
: 
Þ С 1 = 0
: 
– частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
2. Уравнение вида: 
(уравнение не содержит явно y и может не содержать производных до порядка
(k – 1) включительно)
Такое уравнение допускает понижение порядка на k -единиц введением новой искомой функции 
. Исходное уравнение примет вид: 
– это ДУ (n – k) – порядка. Решив последнее уравнение получим общее решение: 
– это уравнение k -го порядка вида 1, решая его k -кратным интегрированием получим общее решение исходного уравнения.
Пример.
Найти общее решение уравнения 
Вводим новую функцию: 
Тогда уравнение примет вид 
– это ЛНДУ первого порядка. Решение будем искать в виде 
, при этом 
3. Уравнение вида: 
(уравнение не содержит явно независимой переменной х)
Решаем заменой:
тогда 
и так далее.
Таким образом, порядок уравнения понижается на 1.
Пример.
Найти общее решение уравнения 
Делаем подстановку: 
– это уравнение с разделяющимися переменными.
Тогда
– общий интеграл исходного уравнения.
Решение примерного варианта
Контрольной работы
Задача 1
Найти общее решение дифференциального уравнения 
Решение
Поделим на 
, получим
Правая часть является однородной функцией нулевой степени, так как
Следовательно, исходное уравнение является однородным.
Делаем замену 
, 
.
Подставим 
, тогда 
- общий интеграл.
Ответ: 
Задача 2
Решить уравнение и сделать проверку: 
.
Решение
- это линейное дифференциальное уравнение первого порядка.
Делаем замену 
.
(*)
– будем искать из условия 
(считаем постоянную равной 0, так как ищем одну из первообразных)
Тогда 
. Подставим 
в уравнение (*)
Тогда 
- общее решение.
Проверка: подставим 
в исходное уравнение 
– верно.
Ответ: 
.
Задача 3
Решить задачу Коши: 
Решение
- ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.
Составим характеристическое уравнение:
Тогда общее решение имеет вид:
Найдем производную:
Подставим начальные условия 
– частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
Ответ: 
Задача 4
Найти общее решение дифференциального уравнения 
Решение
Это ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида.
Составим соответствующее ЛОДУ:
Тогда характеристическое уравнение будет:
.
Следовательно, 
– общее решение однородного уравнения.
Найдем частное решение неоднородного уравнения. Так как 
то частное решение 
будем искать в виде: 
Подставим 
в исходное уравнение для нахождения неопределенных коэффициентов:
Следовательно, 
Так как 
, то 
– общее решение исходного уравнения.
Ответ: 
Задача 5
Указать вид общего решения, не находя неопределенных коэффициентов: 
Решение
Это ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида. Соответствующее ЛОДУ имеет вид:
Характеристическое уравнение:
Тогда 
– общее решение однородного уравнения.
Найдем частное решение неоднородного уравнения.
Так как 
, то 
Так как 
, то 
поэтому 
Так как, 
, то 
– общее решение исходного уравнения.
Ответ: 
Список литературы
Основная литература
1. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов: Учебник. – М.: ЮНИТИ, 2000.
2. Шипачев В.С. Высшая математика: Учебник для вузов. – М.: Высш. шк., 2001.
Дополнительная литература
1. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике: Учеб. пособие для втузов. – М., 2004.
2. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике. – М.: Высш. шк., 2001.
Оглавление
Введение.............................................................................................. 3
Контрольная работа 3.1. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных............................................................................................... 3
Контрольная работа 3.2. Дифференциальные уравнения.............. 21
Список литературы.............................................................................. 44
Печатается в авторской редакции
Технический редактор М.Н. Авдюхова
Лицензия А № 165724 от 11.04.06 г.
Подписано в печать 15.03.12 г. Формат 60 ´ 84 1/16 .
Гарнитура таймс. Уч.-изд. л. 1,5. Усл. п.л. 3,2.
Тир. 4. Зак.
ФГБОУ ВПО «Череповецкий государственный университет»
162600 г. Череповец, пр. Луначарского, 5.
