Основные типы ДУ первого порядка

 

1. Уравнения с разделенными переменными.

Уравнением с разделенными переменными называется ДУ вида M (x) dx + N (y) dy = 0. Решается интегрированием

 

.

Пример.

 

Семейство интегральных кривых представляет собой концентрические окружности с центром в начале координат.

 

2. Уравнения с разделяющимися переменными.

Это ДУ вида .

 

Решение

 

;

 

;

Пример.

.

 

Решение

 

, ,

 

.

Семейство интегральных кривых представляет собой семейство прямых, проходящих через начало координат.

Замечание: Уравнением с разделяющимися переменными будет также уравнение вида: или

3. Однородные уравнения.

Функция f (x, y) называется однородной функцией степени k относительно переменных x и y, если при любом t справедливо тождество f (tx, ty) = t^k f (x, y).

Примеры.

1)

= .

 

Следовательно, исходная функция является однородной первой степени.

 

2)

.

 

Следовательно, исходная функция является однородной нулевой степени.

 

ДУ первого порядка y’ = f (x, y) называется однородным относительно переменных х и у, если функция f (x, y) является однородной функцией нулевой степени относительно переменных х и у.

 

Решение

 

По условию

.

Исходное уравнение примет вид .

Сделаем замену: (производная произведения). При этом исходное уравнение будет уравнением с разделяющимися переменными.

 

 

Пример.

 

Ранее было показано, что функция в правой части является однородной нулевой степени => данное уравнение однородное. Делаем замену:

 

 

 

Вернемся к замене Тогда, применив свойства логарифмов, получим – общий интеграл (общее решение в неявном виде).

Замечание: Однородным ДУ первого порядка будет также уравнение вида в том случае, если функции M и N являются однородными функциями одной степени. Решение также заменой , при этом .

 

4. Линейные ДУ первого порядка

Линейным ДУ первого порядка называется ДУ первого порядка, линейное относительно неизвестной функции и ее производной: , где p (x), f (x) – заданные непрерывные функции.

Если f(x) = 0, то уравнение называется линейным однородным уравнением первого порядка (ЛОДУ первого порядка).

Если f(x) ≠0, то уравнением называется линейным неоднородным уравнением первого порядка (ЛНДУ первого порядка).

ЛОДУ первого порядка является уравнением с разделяющимися переменными.

Решение ЛНДУ будем искать в виде произведения двух функций y = u (x) ∙ v (x) или , тогда . Подставим в исходное уравнение: ;

Функцию v выбираем произвольно, поэтому выберем так, чтобы выражение в скобках равнялось нулю: , это уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, найдем функцию v, при этом C считаем равной 0. Далее найденную функцию v будем подставлять в последнее уравнение, получим: – это также уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, найдем функцию u, при этом C некоторая постоянная. Вернувшись к замене y = u ∙ v, получим общее решение исходного уравнения.

Пример.

это ЛНДУ, делаем замену

- это уравнение с разделяющимися переменными

(считаем постоянную равной 0). Возвращаемся к исходному уравнению

– общее решение исходного уравнения.

 

5. Уравнения в полных дифференциалах

Известно, что выражение M (x, y) dx + N (x, y) dy является полным дифференциалом некоторой функции тогда и только тогда, когда выполняется следующее равенство частных производных: .

ДУ первого порядка вида M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 называется уравнением в полных дифференциалах, если M и N непрерывные дифференцируемые функции, для которых выполняется: .

Один из способов решения уравнений в полных дифференциалах состоит в том, что задаются произвольные x ₀, y ₀ (из области определения) и общий интеграл уравнения находится по одной из формул:

 

,

 

или

Пример.

,

 

Следовательно, это уравнение в полных дифференциалах. Выберем x ₀= 0; y ₀= 1.

3. Линейные дифференциальные
уравнения второго порядка

 

 

ДУ второго порядка имеет вид:

 

 

Общее решение ДУ второго порядка имеет вид:

 

.

 

ДУ второго порядка вида , где p (x), , f (x) – непрерывные функции от х, называется линейным неоднородным ДУ второго порядка (ЛНДУ). Функции p (x) и q (x) называют коэффициентами уравнения. Если f (x) = 0, то уравнение (2), называется линейным однородным ДУ второго порядка (ЛОДУ). Если уравнение (2) имеет те же коэффициенты, что и уравнение (1), то уравнение (2) называется однородным уравнением соответствующим неоднородному уравнению (1).

Функции определенные и непрерывные на некотором интервале, называются линейно зависимыми на этом интервале, если существуют числа (неравные одновременно 0) такие, что для всех х из рассматриваемого интервала выполняется тождество: . Если указанное тождество имеет место только при , то функции y₁ и y₂ называют линейно независимыми.

Теорема 1 (об общем решении ЛОДУ второго порядка). Если линейно независимые частные решения ЛОДУ второго порядка , то общее решение этого уравнения имеет вид – произвольные постоянные.

Замечание: условно данную теорему можно записать: («оо» – общее решение однородного уравнения, «чо» – частное решение однородного уравнения).

Определителем Вронского (или вронскианом) двух функций называется определитель: .

Теорема 2. Если функции линейно независимы на некотором интервале, то определитель Вронского, составленный из них, отличен от нуля на этом интервале.

Пример.

– это ЛОДУ второго порядка.

Легко заметить, что его частными решениями будут
.

Составим для этих функций определитель Вронского: данные решения линейно независимы, тогда

Теорема 3 (об общем решении ЛНДУ второго порядка). Общее решение ЛДНУ второго порядка равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения исходного неоднородного уравнения («он» – общее решение неоднородного уравнения, «чн» – частное решение неоднородного уравнения).

 

В общем случае задача отыскания частного решения ЛНДУ является сложной. Можно найти частное решение методом вариации произвольных постоянных, если известно общее решение соотвествующего ЛОДУ . Суть метода в том, что частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде , где – некоторые искомые функции от х.

Находить будем подстановкой в исходное уравнение. Будем подбирать так, чтобы

 

 

Главный определитель системы является определителем Вронского для функций y _1, y ₂, а так как они линейно независимы, то определитель Вронского отличен от нуля => система имеет единственное решение относительно C' ₁(x) и C' ₂(x). Далее, интегрируя, найдем C ₁(x) и C ₂(x) и можем получить у _чн и у _он.

 

4. ЛОДУ второго порядка
с постоянными коэффициентами

 

ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

, (1)

где p, q – некоторые действительные числа.

Уравнение

(2)

 

– называется характеристическим уравнением уравнения (1).

Теорема 1 (о решениях ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами):

1. Если k – вещественный корень уравнения (2), то будетрешением уравнения (1).

2. Если числа – комплексные корни уравнения (2), то - решения уравнения (1).

Замечание: если k - вещественный корень уравнения (2), при этом дискриминант равен 0, то будетрешением уравнения (1).

Теорема 2 (об общем решении ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами).

1. Если корни уравнения (2) действительные различные (D > 0, k₁ ≠ k₂), то общее решение уравнения (1) имеет вид: .

2. Если корни уравнения (2) действительные равные (D = 0,
k₁ = k₂ = k), то общее решение уравнения (1) имеет вид:

3. Если корни уравнения (2) комплексные (D < 0, , то общее решение уравнения (1) имеет вид:

 

.

 

Примеры.

Найти общее решение уравнений.

1)

Þ

2)

3) ­