Отношений
Интервальная
Упорядоченно-упорядоченная
Упорядоченно-частично Частично упорядоченно-
упорядоченная упорядоченная
Упорядоченно- Частично упорядоченно- Номинально-
номинальная частично упорядоченная упорядоченная
Частично упорядоченно- Номинально-частично
номинальная упорядоченная
Номинально-номинальная
Главная проблема измерения состоит в том, чтобы показать, что данная эмпирическая область выявляет ту же самую структуру, как и некоторая арифметическая система числа, а если идентифицирована общая структура, то говорить, что арифметическая система изоморфна эмпирической области. После того, как изоморфизм установлен, вопросы в отношении эмпирической области могут быть отнесены к арифметической системе и к расчетам, произведенным в ней, а затем результаты переведены обратно и интерпретированы.
П. Суппес и Дж. Зиннес дали определение этого изоморфизма, используя понят 
ие системы с отношениями[105]. Следуя им, система с отношениями есть конечная последовательность <S; R1, …, Rn>, где S — не пустое множество элементов, называемое областью системы, а R1, R2, …, Rn суть отношения в S. Две системы с отношениями <S; R> и <T; Q> называются изоморфными, если существует функция f, одно-однозначно отображающая S в T, такая, что для всех x и y в S имеет место xRy, если и только если в T имеет место f(x)Qf(x).
Если отображения не является необходимо одно-однозначным, то говорят, что системы гомоморфны или (T; Q) является гомоморфным отображением (S; R). Гомоморфные системы с отношениями используются Суппесом и Зиннесом в качестве основы для формального определения и классификации шкал измерения.
Предположим, что U= (S; R) — эмпирическая система с отношениями, а U – гомоморфное отображение в систему V= (T; Q), в которой T — некоторое множество действительных чисел. В таком случае упорядоченная тройка (U, V, f) называется шкалой. Типы шкал получаются посредством преобразования g = φ (f) таким путем, что (U, V, f) является также шкалой.
Кортеж (U, V, g) может быть:
1) шкалой отношений, если
где 
>0;
2) интервальной шкалой, если
, где β>0;
3) ординарной шкалой, если
- монотонная функция;
4) номинальной шкалой, если 
— перестановка.
Сейчас идет весьма плодотворная работа по определению строгой формально-логической характеристики шкал. В какой-то мере осуществляется синтез подходов Кемпбелла и Сти-
венса-Кумбса. В какой-то мере это реализуется в работе Суппеса и 3иннеса: они подразделяют измерения в социальных науках на первичные и производные, как это сделал Кемпбелл в отношении измерения в физических науках. Вместе с тем они развивают идею Стивенса о различии шкал измерений, как первичных, так и производных.
Система с отношениями есть A = <A, R1, …, Rn>, где А область системы с отношениями, R1,..., Rn — отношения в А. Числовая система - система с отношениями <А, R1,..., Rn>, у которой область А есть подмножество действительных чисел. В случае, если А — все множество действительных чисел, то имеет место полная числовая система с отношениями. Эмпирическая система с отношениями - система, в которой областью являются эмпирические объекты.
Пусть А - эмпирическая система с отношениями, R — полная числовая система с отношениями, f — функция, гомоморфно отображающая А в подсистему R, т.е. первичное числовое представление для эмпирической системы А.
Шкалой называется упорядоченная тройка <А, R, f>.
В зависимости от свойства f определяются свойства измерения.
Первичные измерения на множестве A относятся к эмпирической системе A. И шкала <A, R, f> — первичная шкала измерения.
Если B = <B, f1, …, fn> — производная система измерения, то тройка <В, R, g > —производная шкала, где R -представляющее отношение, g —производное числовое представление. Имеет широкое распространение точка зрения известного специалиста по теории измерения У. Торгерсоyа, который не относит номинальную шкалу к проблеме измерения, а рассматривает ее как просто реализацию классификации. С измерением он связывает процесс, для которого важны три элемента: порядок, начало отсчета и единица измерения.
В зависимости от наличия или отсутствия этих элементов возникают те или новые шкалы измерения. Важно отметить, что порядок присущ, по Торгерсону, любому измерению[106].
Иногда переменные, представляющие измерения на одном уровне, трактуются как если бы они были измерены по другой шкале, что приводит или к потере информации, которой мы обладаем, или к оперированию с информацией, которой мы не обладаем. Так, величина роста человека – относительная пере-
менная, но при ранжировании людей по росту мы отказываемся от части информации и удовлетворяемся ординальной шкалой. С одной стороны, балл экзаменующегося представляет собой ординальную переменную, так как, например, мы не можем сказать, что умственные способности индивида, получившего балл, например 4, в два раза больше способности индивида, получившего балл 2, или что индивид, знания которого оценены баллом 5, настолько отличается от индивида с баллом 4, как индивид с баллом 4 — от индивида с баллом 3, т.е. балл не является ни интервальной, ни относительной переменной. Однако к баллам экзаменующихся применяются все операции математической статистики, т.е. рассматривают их как интервальную переменную. Все социологические и социально-психологические измерения пока проводятся по номинальной и ординальной шкале, т.е. все измерения сводятся лишь к классификации и упорядочению (ранжированию) социологических объектов, явлений и характеристик и делаются только робкие шаги в переходе к более развитым шкалам.
Все социологические и социально-психологические измерения переменных типа «отношение к труду» пока проводятся по номинальной и ординарной шкале, т.е. все измерения сводятся лишь к классификации и упорядочению (ранжированию) социальных объектов, явлений и характеристик, и делаются только робкие попытки перехода к более развитым шкалам, главным образом в двух направлениях[107]: во-первых, выра6атываются и уточняются общие принципы теории социального измерения; во-вторых, развиваются н отрабатываются методы измерения в социологии.
Некоторыми учеными была предпринята попытка дать сравнительный анализ понятий естественнонаучного и социологического измерения в том его понимании, какое мы встречаем у польских социологов, исходящих из концепции измерения, сформулированной известным польским логиком Айдукевичем. Оба эти подхода представляются как частные случаи некоторой общей теории. Наша цель состоит в том, чтобы показать, что теория измерений по Айдукевичу может быть сведена к теории измерения по Суппесу и 3иннесу, которая рассматривается, как более общая теоретическая концепция измерений[108].
Во втором круге работ по измерению также можно выделить несколько направлений. Прежде всего следует выделить работу по сравнительной оценке известных шкал измерения Терстона, Ликерта, Гуттмана[109].
Советскими учеными проводятся эксперименты по сравнению методов ранжирования. Рассматриваются оценки — средний ранг, средняя пятибалльная оценка и средняя позиция в номинальной шкале и с помощью различных статистических критериев выявляется наибольшая устойчивость среди этих четырех методов оценки[110]. Строятся шкалы на базе альтернативной постановки вопроса, которая приводит к определенной типологии ответов, и эти шкалы выражаются посредством агрегативных индексов[111]. Для оценки результатов шкалирования и проверки индексов на надежность (релиабильность) весьма успешно применяется так называемая информационная статистика[112]. Предпринята попытка, в какой-то мере близкая к закону сравнительного суждения Терстона, получить интервальную шкалу для качественных, упорядоченных, неаддитивных признаков при некоторых ограничениях на функцию распределения[113].
Заслуживают внимания исследования проблематики производного измерения-системы правил получения интегральной характеристики сложного качества на основании нескольких оценок компонент. Выделяют две стороны процесса — сложный признак (объект) и системы признаков – индикаторов, дающих информацию. Объекты (сложный признак) рассматриваются по ранжированным (градуцированным) группам в зависимости от степени связанности признаков-индикаторов — близости на главной диагонали матрицы сопряженности[114].
В настоящее время все большее внимание советских социологов привлекает латентно-структурный анализ Лазарсфельда[115]. В работах советских социологов можно обнаружить но-
вые моменты. Так, вместо решения расчетного уравнения Лазарсфельда предлагается осуществить классификацию посредством алгоритма распознавания образов[116]. Затем решается бейесова задача определения вероятностей отнесения к классу, которые могут служить основанием для определения расстояния между классами и тем самым для реализации шкалы.
Большое число работ связано с решением задач измерения в связи с исследованием специфических социальных проблем – критериев оптимальности, измерения информативности, измерения социальных установок[117], оценки привлекательности профессии[118]. Но эти работы в сущности уже смыкаются с работами по применению математических методов при анализе первичной социальной информации и моделирования.
Глава вторая
Основные понятия математической статистики
И измерение связи
