Метод наложения (суперпозиции)

Метод основан на принципе суперпозиции, обусловленным линейно­стью электрической цепи. Если линейная цепь подвергается воздействию одновременно нескольких источников, то реакция цепи равна сумме реак­ций на каждое воздействие отдельно. Тогда принцип наложения можно сформулировать следующим образом: ток в любой ветви ЭЦ равен сумме токов, обусловленных в отдельности каждым источником, действующим в отсутствии остальных; напряжение между двумя точками ветви равно сумме напряжений, обусловленных в отдельности каждым источником, действующим в отсутствии остальных.

4.1. Алгоритм расчета тока в k -той ветви (напряжения между точками «а» - «б» в k -той ветви).

I. Получают столько L частичных схем, сколько в исходной схеме ЭЦ ис­точников (ИИН и ИИТ).

II. В каждой частичной схеме оставляют один источник, заменяя осталь­ные их внутренними сопротивлениями [0 для ИИН, ∞ (разрыв) для ИИТ].

III. Рассчитывается ток k -той ветви - I_kl (напряжение Uаб_kl в k -той ветви) каждой l- ной частичной схемы.

IV. Рассчитывается ток k -той ветви - I_k (напряжение Uаб_k в k -той ветви):

I_k = . Uаб_k = , руководствуясь правилом знаков – если направления токов (напряжений) в полной и частичной схеме совпадают, то токи (напряжения) берутся со знаком «+», если не совпадают – со знаком «-».

Пример 4

Рассчитать ток ветви а-б схемы рис.4 методом наложения.

Дано:

Е1, В	J, А	R1, Ом	R2, Ом	R3, Ом	R4, Ом
	0,2

Расчет.

Поскольку исходная схема содержит два источника, ток I_х будет определяться как суперпозиция токов I_х = I_х` ± I_х`` ветви а-б двух частичных схем (рис. 5 и рис.6).

I. Расчет тока I_х` осуществляется с ис­пользование правила делителя тока, так как ток J разветвляется по двум ветвям:

I_х` = .

II. Для расчета тока I_х`` можно воспользоваться методом узловых потен­циалов при условии, что потенциал точки «в» ра­вен нулю, тогда ток

I_х`= .

Согласно МУП потен­циал φ_а определяется из уравнения

Подставив числовые значения получаем:

I_х = I_х` ± I_х``= 0,34 А

 

 

Пример 5

Рассчитать напряжение U_аб схемы рис.7 методом наложения.

Дано:

Е1, В	J, А	R1, Ом	R2, Ом	R3, Ом
	0,2

Расчет:

Поскольку исходная схема содержит два источника, напряжение U_аб будет оп­ределяться как суперпозиция напряжений U_аб = U_аб ` ± U_аб ``для двух частичных схем (рис.8 и рис.9).

Очевидно, что напряжение U_аб `= - Е₁, поскольку источник Е₁ работает в режиме Х.Х. и точка «а» имеет отрицательный потенциал.

Напряжение

U_аб ``= - J R₁ = -10 В.

Таким образом, напряжение U_аб= -60В.

5. Метод эквива­лентного генератора

Метод применяется в том случае, когда необходимо рассчи­тать ток какой-либо ветви сложной схемы. Ветвь с искомым током I_X (рис.10) представляется нагрузкой активного двухполюсника (АД), который заменяет собой всю остальную схему ЭЦ. АД в свою очередь реализуется в виде реального источника напряжения (РИН), величина ЭДС которого равна напряжению холостого хода на зажимах 1-2 АД, а внутреннее сопротивление - вход­ному сопротивлению этого АД. Напряжение холостого хода можно рассчитать любым из известных методов расчета схемы ЭЦ, для расчета же входного сопротивления необходимо превратить АД в пассивный двухполюсник, для чего заменить в нем идеальные источники энергии их внутренними сопротивлениями (ИИН - 0; ИИТ - ∞).

Пример 6

Рассчитать ток ветви 2-4 схемы рис.11 используя метод эквивалент­ного генератора (ЭГ).

Дано:

Е1, В	Е2, В	J, А	R1, Ом	R2, Ом	R3, Ом	R4, Ом	R5, Ом
		0,2

 

Расчет.

Расчет параметров ЭГ.

Расчет внутреннего сопротивления ЭГ производится по схеме рис.12, как входного сопротивления относительно зажимов 2-4 пассивного двухполюсника:

= 73,3 Ом.

Для расчета напряжения холостого хода целесообразно использовать метод наложения. Согласно методу - U₂₄ = U₂₄ ` ± U<sub>24</sub> ``, где U<sub>24</sub> `- напряже­ние между точками 2-4 первой частичной схемы, U₂₄ ``- напряжение между точками 2-4 второй частичной схемы. Для контура обхода схемы рис.13 имеет место следующее равенство: U<sub>24</sub>` - I(R<sub>2</sub>+R<sub>4</sub>)+E<sub>1</sub>= 0, где ток I = . U<sub>24</sub>` = =I(R<sub>2</sub>+R<sub>4</sub>)-E<sub>1</sub> = -16,6 В, Для контура обхода схемы рис.14 можно записать: U<sub>24</sub>`` + I₂R₄ – I₁R₂ = 0, откуда = I₁R₂ - I₂R₄ = Токи I₁ и I₂ определяются по правилу деления тока источника J:

= 0,079 А = 0,12 А.

U₂₄`` = 3,45 В. Итак, U_XXЭГ = U₂₄. = -13,15 В. Следует обратить внимание на то, что ЭДС ЭГ (Е_ЭГ) направлено от точки 2 к точке 4, т.к. U_XXЭГ – отрица­тельная величина.

Расчет искомого тока. Согласно закону Ома для полной цепи:

I_Х = .

Подставив в полученные выражения числовые значения получаем:

I_Х= 0,566 А.

Баланс мощностей

Поскольку в цепи постоянного тока не происходит накопления энергии, согласно закону её сохранения, сумма мощностей, расходуемых в пассивных двухполюсниках и мощностей теряемых внутри генераторов должна быть равна алгебраической сумме мощностей, отдаваемых всеми генераторами:

. (5)

Соотношение 4.1 и называется балансом мощностей ЭЦ постоян­ного тока.

Анализируемая схема может содержать источники двух видов: ИИН и ИИТ, поэтому левую часть равенства 4.1 можно представить в виде:

(6)

где I_n – ток ветви с ИИН (всего ИИН – N), (φ_a – φ_b) – разность потенциалов зажимов ИИТ (всего ИИТ – M).

Пример 11

Рассчитать баланс мощностей для схемы рис.1, воспользовавшись результатами расчета токов примера 1. Согласно соотношениям (5) и (6) выражение, описывающее баланс мощностей, имеет вид:

.

В числовом выражении (величину φ₁ возьмем из примера 7) получаем примерное, обусловленное конечной разрядностью, равенство 55 ≈ 56.