Свойства произведения матриц

1. . 2. , .

3. . 4. . 5. .

Все свойства справедливы только в тех случаях, когда произведения матриц в левой (или правой) части равенства существуют. Первое свойство носит название ассоциативности, второе – дистрибутивности умножения относительно сложения.

Пример 10.7. Известно произведение . Найти:

а) , если ;

б) , если .

∆ На основании свойств получаем:

а) ;

б) .▲

Степени квадратной матрицы. Если – квадратная матрица, то определено произведение , которое называется квадратом матрицы и обозначается . Квадрат матрицы является квадратной матрицей того же порядка, что и , поэтому определено и произведение и так далее: для любого натурального числа по определению .

Квадратная матрица перестановочна с любой своей натуральной степенью, т.е. для любой квадратной матрицы и для любого натурального справедливо равенство , перестановочны также любые натуральные степени одной и той же квадратной матрицы. Более того, если матрицы и перестановочны, то перестановочны и любые их натуральные степени.

Если , то по определению считается, что .

Пример 10.8. Докажите, что для произвольных перестановочных матриц и при любом натуральном справедливо равенство

– (10.1)

формула бинома Ньютона.

∆ Доказательство проведем методом математической индукции.

1. При получаем: – равенство истинно.

2. Предположим, что равенство верно при , и докажем его для (в квадратных скобках будем пояснять выполняемые действия):

[применяем предположение индукции]

[раскрываем скобки]

[множители, не зависящие от индекса суммирования, вносим под знак суммы и используем перестановочность матриц и ]

[в первой сумме отделяем первое слагаемое, а во второй – последнее]

[во второй сумме делаем замену индекса ]

[во второй сумме полагаем ]

[объединяем две суммы в одну]

[используем свойства биномиальных коэффициентов , ]

[все слагаемые объединяем в одну сумму] .▲

Пример 10.9. Найти -ю степень матрицы .

∆ На основании определения с использованием результата примера 10.4 при получаем:

При каждом последующем умножении на матрицу к аргументу просто будет прибавлять еще одно слагаемое . Окончательно получим ▲

Пример 10.10. Вычислить -ю степень для следующих матриц:

а) ; б) ; в) ; в) .

∆ а) На основании примера 10.5 а) получаем

; .б) Частный случай примера а): .

в) На основании примера 10.5 б) при умножении матрицы на любую матрицу слева столбцы последней передвигаются на одну позицию вправо. Таким образом,

;

Так как третья степень матрицы – нулевая матрица, то и все последующие ее степени также будут нулевыми матрицами.

в) Запишем матрицу в виде .

При решении примера 10.5 доказано, что матрицы и коммутируют, поэтому можно воспользоваться формулой (10.1): . Так как все степени матрицы , начиная с третьей, равны нулевой матрице, то в правой части останется только три слагаемых. Таким образом,

Замечание. Отметим следующий интересный факт: в каждой строке матрицы , начиная с диагонального элемента, последовательно записаны слагаемые бинома , причем их будет столько, сколько позволяет порядок матрицы. Это утверждение справедливо и для матриц любого порядка. Так, например, если

то ; .▲

Определение 10.4. Пусть задан некоторый многочлен . Для любой квадратной матрицы будем считать по определению, что

Если , то говорят, что матрица является корнем многочлена .

Пример 10.11. Доказать, что матрица является корнем многочлена .

∆ Согласно определению 10.4 . Найдем вначале : . Тогда

, что и требовалось доказать. ▲

Пример 10.12. Для матрицы найти для следующих многочленов:

а) ; б) .

∆ а) Поступаем так же, как и в предыдущем примере:

; ;

б) На основании примера 10.11 получаем . Поэтому первое слагаемое равно нулевой матрице независимо от того, каким будет первый сомножитель. Значит,

. ▲

Транспонирование матриц

Определение 10.5. Матрица называется транспонированной к матрице , если

Другими словами, при транспонировании матрицы строки становятся столбцами и наоборот. Кроме обозначения для матрицы, транспонированной к , используют еще и следующие: .